Theorem nlim0 3721

Description: The empty set is not a limit ordinal. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nlim0	|- -. Lim (/)

Proof of Theorem nlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2879	. . 3 |- -. (/) e. (/)
2		simp2 877	. . 3 |- ((Ord (/) /\ (/) e. (/) /\ (/) = U.(/)) -> (/) e. (/))
3	1, 2	mto 121	. 2 |- -. (Ord (/) /\ (/) e. (/) /\ (/) = U.(/))
4		dflim2 3719	. 2 |- (Lim (/) <-> (Ord (/) /\ (/) e. (/) /\ (/) = U.(/)))
5	3, 4	mtbir 209	1 |- -. Lim (/)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  U.cuni 3177  Ord word 3656  Lim wlim 3658

This theorem is referenced by:  0ellim 3726  dflim3OLD 3931  tz7.44lem1 5135  dfrdg2 5141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-lim 3662

Copyright terms: Public domain