Theorem nlfnval 11445

Description: Value of the null space of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
nlfnval	|- (T:~H-->CC -> (null` T) = {x e. ~H | (T` x) = 0})

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem nlfnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
2	1	rabex 3461	. 2 |- {x e. ~H | (T` x) = 0} e. _V
3		axcnex 6419	. 2 |- CC e. _V
4		fveq1 4680	. . . 4 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
5	4	eqeq1d 1892	. . 3 |- (t = T -> ((t` x) = 0 <-> (T` x) = 0))
6	5	rabbidv 2287	. 2 |- (t = T -> {x e. ~H | (t` x) = 0} = {x e. ~H | (T` x) = 0})
7		df-nlfn 11409	. 2 |- null = {<.t, y>. | (t:~H-->CC /\ y = {x e. ~H | (t` x) = 0})}
8	2, 1, 3, 6, 7	fvopabf4 5399	1 |- (T:~H-->CC -> (null` T) = {x e. ~H | (T` x) = 0})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298  {crab 2108  -->wf 3994  ` cfv 3998  CCcc 6384  0cc0 6386  ~Hchil 10420  nullcnl 10453

This theorem is referenced by:  elnlfn 11489  elnlfn2 11490  nlelshi 11630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-qs 5323  df-map 5383  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-nlfn 11409

Copyright terms: Public domain