HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelshi Structured version   Unicode version

Theorem nlelshi 25463
Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nlelsh.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
nlelshi  |-  ( null `  T )  e.  SH

Proof of Theorem nlelshi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 24404 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelsh.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinFn
32lnfn0i 25445 . . 3  |-  ( T `
 0h )  =  0
42lnfnfi 25444 . . . 4  |-  T : ~H
--> CC
5 elnlfn 25331 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( 0h  e.  ( null `  T )  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `
 0h )  =  0 ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0h  e.  ( null `  T
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `  0h )  =  0
) )
71, 3, 6mpbir2an 911 . 2  |-  0h  e.  ( null `  T )
8 nlfnval 25284 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
null `  T )  =  ( `' T " { 0 } ) )
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( null `  T )  =  ( `' T " { 0 } )
10 cnvimass 5188 . . . . . . . . 9  |-  ( `' T " { 0 } )  C_  dom  T
119, 10eqsstri 3385 . . . . . . . 8  |-  ( null `  T )  C_  dom  T
124fdmi 5563 . . . . . . . 8  |-  dom  T  =  ~H
1311, 12sseqtri 3387 . . . . . . 7  |-  ( null `  T )  C_  ~H
1413sseli 3351 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  x  e.  ~H )
1513sseli 3351 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  y  e.  ~H )
16 hvaddcl 24413 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ~H )
182lnfnaddi 25446 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
1914, 15, 18syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
20 elnlfn 25331 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( x  e.  ( null `  T )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( T `
 x )  =  0 ) ) )
214, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  0 ) )
2221simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  x )  =  0 )
23 elnlfn 25331 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( y  e.  ( null `  T )  <->  ( y  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  =  0 ) ) )
244, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  ( T `  y )  =  0 ) )
2524simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  y )  =  0 )
2622, 25oveqan12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
( T `  x
)  +  ( T `
 y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
2719, 26eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
28 00id 9543 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28syl6eq 2490 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 )
30 elnlfn 25331 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  +h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 ) ) )
314, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  +h  y
) )  =  0 ) )
3217, 29, 31sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( null `  T
) )
3332rgen2 2811 . . 3  |-  A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )
34 hvmulcl 24414 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3515, 34sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
362lnfnmuli 25447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3715, 36sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3825oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( x  x.  ( T `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
39 mul01 9547 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4038, 39sylan9eqr 2496 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  x.  ( T `  y )
)  =  0 )
4137, 40eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  0 )
42 elnlfn 25331 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  .h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  .h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  .h  y ) )  =  0 ) ) )
434, 42ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  .h  y
) )  =  0 ) )
4435, 41, 43sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( null `  T ) )
4544rgen2 2811 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
4633, 45pm3.2i 455 . 2  |-  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) )
47 issh3 24621 . . 3  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T ) ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
) ) ) )
4813, 47ax-mp 5 . 2  |-  ( (
null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) ) ) )
497, 46, 48mpbir2an 911 1  |-  ( null `  T )  e.  SH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   {csn 3876   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   0cc0 9281    + caddc 9284    x. cmul 9286   ~Hchil 24320    +h cva 24321    .h csm 24322   0hc0v 24325   SHcsh 24329   nullcnl 24353   LinFnclf 24355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-hilex 24400  ax-hfvadd 24401  ax-hv0cl 24404  ax-hvaddid 24405  ax-hfvmul 24406  ax-hvmulid 24407
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-ltxr 9422  df-sub 9596  df-sh 24608  df-nlfn 25249  df-lnfn 25251
This theorem is referenced by:  nlelchi  25464
  Copyright terms: Public domain W3C validator