Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Unicode version

Theorem nlelchi 26803
 Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1
nlelch.2
Assertion
Ref Expression
nlelchi

Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3
21nlelshi 26802 . 2
3 vex 3121 . . . . . 6
43hlimveci 25930 . . . . 5
54adantl 466 . . . 4
6 eqid 2467 . . . . . . 7 fld fld
76cnfldhaus 21160 . . . . . 6 fld
87a1i 11 . . . . 5 fld
9 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
119, 10hhims 25912 . . . . . . . . . 10
12 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
139, 11, 12hhlm 25939 . . . . . . . . 9
14 resss 5303 . . . . . . . . 9
1513, 14eqsstri 3539 . . . . . . . 8
1615ssbri 4495 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
18 nlelch.2 . . . . . . . 8
1910, 12, 6hhcnf 26647 . . . . . . . 8 fld
2018, 19eleqtri 2553 . . . . . . 7 fld
2120a1i 11 . . . . . 6 fld
2217, 21lmcn 19674 . . . . 5 fld
231lnfnfi 26783 . . . . . . . . . 10
24 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11
2524adantlr 714 . . . . . . . . . 10
26 elnlfn2 26671 . . . . . . . . . 10
2723, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . 9
28 fvco3 5951 . . . . . . . . . 10
2928adantlr 714 . . . . . . . . 9
30 c0ex 9602 . . . . . . . . . . 11
3130fvconst2 6127 . . . . . . . . . 10
3231adantl 466 . . . . . . . . 9
3327, 29, 323eqtr4d 2518 . . . . . . . 8
3433ralrimiva 2881 . . . . . . 7
35 ffn 5737 . . . . . . . . . 10
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9
37 simpl 457 . . . . . . . . . 10
382shssii 25953 . . . . . . . . . 10
39 fss 5745 . . . . . . . . . 10
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . 9
41 fnfco 5756 . . . . . . . . 9
4236, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . 8
4330fconst 5777 . . . . . . . . 9
44 ffn 5737 . . . . . . . . 9
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8
46 eqfnfv 5982 . . . . . . . 8
4742, 45, 46sylancl 662 . . . . . . 7
4834, 47mpbird 232 . . . . . 6
496cnfldtopon 21158 . . . . . . . 8 fld TopOn
5049a1i 11 . . . . . . 7 fld TopOn
51 0cnd 9601 . . . . . . 7
52 1zzd 10907 . . . . . . 7
53 nnuz 11129 . . . . . . . 8
5453lmconst 19630 . . . . . . 7 fld TopOn fld
5550, 51, 52, 54syl3anc 1228 . . . . . 6 fld
5648, 55eqbrtrd 4473 . . . . 5 fld
578, 22, 56lmmo 19749 . . . 4
58 elnlfn 26670 . . . . 5
5923, 58ax-mp 5 . . . 4
605, 57, 59sylanbrc 664 . . 3
6160gen2 1602 . 2
62 isch2 25964 . 2
632, 61, 62mpbir2an 918 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1377   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817   wss 3481  csn 4033  cop 4039   class class class wbr 4453   cxp 5003   cres 5007   ccom 5009   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432  cc 9502  cc0 9504  c1 9505  cn 10548  cz 10876  ctopn 14694  cmopn 18278  ℂfldccnfld 18290  TopOnctopon 19264   ccn 19593  clm 19595  cha 19677  chil 25659   cva 25660   csm 25661  cno 25663   cmv 25665   chli 25667  csh 25668  cch 25669  cnl 25692  ccnfn 25693  clf 25694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-haus 19684  df-xms 20691  df-ms 20692  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-hnorm 25708  df-hvsub 25711  df-hlim 25712  df-sh 25947  df-ch 25962  df-nlfn 26588  df-cnfn 26589  df-lnfn 26590 This theorem is referenced by:  riesz3i  26804
 Copyright terms: Public domain W3C validator