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Theorem nic-luk1 1570
Description: Proof of luk-1 1534 from nic-ax 1552 and nic-mp 1550 (and definitions nic-dfim 1548 and nic-dfneg 1549). Note that the standard axioms ax-1 6, ax-2 7, and ax-3 8 are proved from the Lukasiewicz axioms by theorems ax1 1545, ax2 1546, and ax3 1547. (Contributed by Jeff Hoffman, 18-Nov-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nic-luk1  |-  ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )

Proof of Theorem nic-luk1
StepHypRef Expression
1 nic-dfim 1548 . . . 4  |-  ( ( ( ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) ) 
-/\  ( ph  ->  ps ) )  -/\  (
( ( ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) ) )  -/\  ( ( ph  ->  ps )  -/\  ( ph  ->  ps )
) ) )
21nic-bi2 1568 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ps )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) ) ) )
3 nic-ax 1552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) )  -/\  (
( ta  -/\  ( ta  -/\  ta ) ) 
-/\  ( ( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )  -/\  (
( ph  -/\  ( ch 
-/\  ch ) )  -/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\ 
ch ) ) ) ) ) )
43nic-isw2 1560 . . . . . 6  |-  ( (
ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) )  -/\  (
( ( ( ch 
-/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) ) )  -/\  ( ta  -/\  ( ta  -/\  ta ) ) ) )
54nic-idel 1563 . . . . 5  |-  ( (
ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) )  -/\  (
( ( ( ch 
-/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) ) )  -/\  (
( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) ) ) ) )
6 nic-dfim 1548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch )
) ) )
76nic-bi1 1567 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) )  -/\  (
( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) )
87nic-idbl 1565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) )  -/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) ) ) )
98nic-imp 1554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) ) )  -/\  (
( ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) 
-/\  ( ( ch 
-/\  ch )  -/\  ps )
)  -/\  ( (
( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ch  -/\  ch )  -/\  ps ) ) ) )
10 nic-dfim 1548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ps  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ps  ->  ch ) )  -/\  (
( ( ps  -/\  ( ch  -/\  ch )
)  -/\  ( ps  -/\  ( ch  -/\  ch )
) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  -/\  ( ps  ->  ch ) ) ) )
1110nic-bi2 1568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ps  -/\  ( ch  -/\  ch )
)  -/\  ( ps  -/\  ( ch  -/\  ch )
) ) )
12 nic-swap 1558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  -/\  ( ch  -/\ 
ch ) )  -/\  ( ( ( ch 
-/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )
) )
1311, 12nic-ich 1564 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ( ch 
-/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )
) )
1413nic-imp 1554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) )  -/\  ( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )
)  -/\  ( (
( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) )  -/\  ( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
159, 14nic-ich 1564 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ch  -/\  ch )  -/\  ps )  -/\  ( ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) 
-/\  ( ph  -/\  ( ch  -/\  ch ) ) ) )  -/\  (
( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch )
) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
165, 15nic-ich 1564 . . . 4  |-  ( (
ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) )  -/\  (
( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch )
) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
17 nic-dfim 1548 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch )
) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )  -/\  ( ( ( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) ) 
-/\  ( ( ps 
->  ch )  -/\  (
( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) ) ) 
-/\  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
1817nic-bi1 1567 . . . 4  |-  ( ( ( ps  ->  ch )  -/\  ( ( ph  ->  ch )  -/\  ( ph  ->  ch ) ) )  -/\  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
1916, 18nic-ich 1564 . . 3  |-  ( (
ph  -/\  ( ps  -/\  ps ) )  -/\  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
202, 19nic-ich 1564 . 2  |-  ( (
ph  ->  ps )  -/\  ( ( ( ps 
->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) 
-/\  ( ( ps 
->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) )
21 nic-dfim 1548 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  ->  ps )  -/\  ( (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) 
-/\  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) 
-/\  ( ( ( ( ph  ->  ps )  -/\  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) 
-/\  ( ( ph  ->  ps )  -/\  (
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )  -/\  (
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  -> 
( ph  ->  ch )
) )  -/\  (
( ph  ->  ps )  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) ) )
2221nic-bi1 1567 . 2  |-  ( ( ( ph  ->  ps )  -/\  ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) )  -/\  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) 
-/\  ( ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) 
-/\  ( ( ph  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) ) ) )
2320, 22nic-mp 1550 1  |-  ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ( ph  ->  ch ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    -/\ wnan 1379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-nan 1380
This theorem is referenced by: (None)
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