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Theorem ngptgp 18630
Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngptgp  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem ngptgp
Dummy variables  u  r  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18599 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  Grp )
3 ngpms 18600 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
43adantr 452 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  MetSp )
5 mstps 18438 . . 3  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  TopSp
)
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  TopSp )
7 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
97, 8grpsubf 14823 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
102, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
11 rphalfcl 10592 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
1211adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
13 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel ) )
1413, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  MetSp )
15 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )
1615simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
17 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  u  e.  ( Base `  G ) )
18 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
197, 18mscl 18444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  u  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x
( dist `  G )
u )  e.  RR )
2014, 16, 17, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( dist `  G ) u )  e.  RR )
2115simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
v  e.  ( Base `  G ) )
237, 18mscl 18444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  y  e.  ( Base `  G
)  /\  v  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( y
( dist `  G )
v )  e.  RR )
2414, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( dist `  G ) v )  e.  RR )
25 rpre 10574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
2625ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  RR )
27 lt2halves 10158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x ( dist `  G ) u )  e.  RR  /\  (
y ( dist `  G
) v )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( x (
dist `  G )
u )  <  (
z  /  2 )  /\  ( y (
dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z ) )
2820, 24, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( dist `  G
) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z ) )
2913, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  Grp )
307, 8grpsubcl 14824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
3129, 16, 21, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
327, 8grpsubcl 14824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) v )  e.  ( Base `  G
) )
3329, 17, 22, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) v )  e.  ( Base `  G
) )
347, 8grpsubcl 14824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
3529, 17, 21, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
367, 18mstri 18452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  (
( x ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( u
( -g `  G ) v )  e.  (
Base `  G )  /\  ( u ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <_  ( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) y ) )  +  ( ( u ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) ) )
3714, 31, 33, 35, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <_  ( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) y ) )  +  ( ( u ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) ) )
3813simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e. NrmGrp )
397, 8, 18ngpsubcan 18613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( dist `  G
) ( u (
-g `  G )
y ) )  =  ( x ( dist `  G ) u ) )
4038, 16, 17, 21, 39syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) y ) )  =  ( x (
dist `  G )
u ) )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
437, 41, 42, 8grpsubval 14803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) y )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) )
4417, 21, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) y )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
457, 41, 42, 8grpsubval 14803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) v )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  v )
) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) v )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  v
) ) )
4744, 46oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  =  ( ( u ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( dist `  G
) ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  v
) ) ) )
487, 42grpinvcl 14805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  ( Base `  G ) )
4929, 21, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  ( Base `  G ) )
507, 42grpinvcl 14805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  v  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  v
)  e.  ( Base `  G ) )
5129, 22, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  v
)  e.  ( Base `  G ) )
527, 41, 18ngplcan 18610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  ( Base `  G )  /\  (
( inv g `  G ) `  v
)  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) ) ( dist `  G ) ( u ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 v ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( dist `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 v ) ) )
5313, 49, 51, 17, 52syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) ) ( dist `  G ) ( u ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 v ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( dist `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 v ) ) )
547, 42, 18ngpinvds 18612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) (
dist `  G )
( ( inv g `  G ) `  v
) )  =  ( y ( dist `  G
) v ) )
5513, 21, 22, 54syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) (
dist `  G )
( ( inv g `  G ) `  v
) )  =  ( y ( dist `  G
) v ) )
5647, 53, 553eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  =  ( y (
dist `  G )
v ) )
5740, 56oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) y ) )  +  ( ( u ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) )  =  ( ( x ( dist `  G ) u )  +  ( y (
dist `  G )
v ) ) )
5837, 57breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <_  ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) ) )
597, 18mscl 18444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( u
( -g `  G ) v )  e.  (
Base `  G )
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  e.  RR )
6014, 31, 33, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  e.  RR )
6120, 24readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
dist `  G )
u )  +  ( y ( dist `  G
) v ) )  e.  RR )
62 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  e.  RR  /\  (
( x ( dist `  G ) u )  +  ( y (
dist `  G )
v ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <_  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  /\  ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
6360, 61, 26, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <_  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  /\  ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
6458, 63mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <  z ) )
6528, 64syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( dist `  G
) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
6616, 17ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  =  ( x ( dist `  G
) u ) )
6766breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
( z  /  2
)  <->  ( x (
dist `  G )
u )  <  (
z  /  2 ) ) )
6821, 22ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  =  ( y ( dist `  G
) v ) )
6968breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( y ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
)  <->  ( y (
dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) ) )
7067, 69anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
) )  <->  ( (
x ( dist `  G
) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) ) ) )
7131, 33ovresd 6173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u ( -g `  G ) v ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) )
7271breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z  <->  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
7365, 70, 723imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
7473ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
75 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  <  r  <->  ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 ) ) )
76 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r  <->  ( y ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) v )  <  ( z  /  2 ) ) )
7775, 76anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
r  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
r )  <->  ( (
x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) ) ) )
7877imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
r  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
r )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z )  <->  ( (
( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  <  (
z  /  2 )  /\  ( y ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) )
79782ralbidv 2708 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. u  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  G ) ( ( ( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z )  <->  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) )
8079rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. u  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
8112, 74, 80syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
8281ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
8382ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
84 msxms 18437 . . . . . 6  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  *
MetSp )
85 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  =  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
867, 85xmsxmet 18439 . . . . . 6  |-  ( G  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  G
) ) )
874, 84, 863syl 19 . . . . 5  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  G
) ) )
88 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) )
8988, 88, 88txmetcn 18531 . . . . 5  |-  ( ( ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  G ) )  /\  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  G ) )  /\  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( -g `  G )  e.  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  <->  ( ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) ) )
9087, 87, 87, 89syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( -g `  G )  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen
`  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) )  <->  ( ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) ) )
9110, 83, 90mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ) ) )
92 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
9392, 7, 85mstopn 18435 . . . . . 6  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( TopOpen `  G )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) )
944, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( TopOpen
`  G )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )
9594, 94oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) ) )
9695, 94oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G )
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) ) )
9791, 96eleqtrrd 2481 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
9892, 8istgp2 18074 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  ( -g `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
992, 6, 97, 98syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   distcds 13493   TopOpenctopn 13604   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643   Abelcabel 15368   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646   TopSpctps 16916    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   TopGrpctgp 18054   *
MetSpcxme 18300   MetSpcmt 18301  NrmGrpcngp 18578
This theorem is referenced by:  nrgtgp  18661  nlmtlm  18682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584
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