MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngptgp Structured version   Unicode version

Theorem ngptgp 20234
Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngptgp  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem ngptgp
Dummy variables  u  r  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 20203 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  Grp )
3 ngpms 20204 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  MetSp )
5 mstps 20042 . . 3  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  TopSp
)
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  TopSp )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
97, 8grpsubf 15617 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
102, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
11 rphalfcl 11027 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
1211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
13 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel ) )
1413, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  MetSp )
15 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
17 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  u  e.  ( Base `  G ) )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
197, 18mscl 20048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  u  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x
( dist `  G )
u )  e.  RR )
2014, 16, 17, 19syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( dist `  G ) u )  e.  RR )
2115simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
v  e.  ( Base `  G ) )
237, 18mscl 20048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  y  e.  ( Base `  G
)  /\  v  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( y
( dist `  G )
v )  e.  RR )
2414, 21, 22, 23syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( dist `  G ) v )  e.  RR )
25 rpre 11009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  RR )
27 lt2halves 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x ( dist `  G ) u )  e.  RR  /\  (
y ( dist `  G
) v )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( x (
dist `  G )
u )  <  (
z  /  2 )  /\  ( y (
dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z ) )
2820, 24, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( dist `  G
) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z ) )
2913, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  Grp )
307, 8grpsubcl 15618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
3129, 16, 21, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
327, 8grpsubcl 15618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) v )  e.  ( Base `  G
) )
3329, 17, 22, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) v )  e.  ( Base `  G
) )
347, 8grpsubcl 15618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
3529, 17, 21, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
367, 18mstri 20056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  (
( x ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( u
( -g `  G ) v )  e.  (
Base `  G )  /\  ( u ( -g `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <_  ( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) y ) )  +  ( ( u ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) ) )
3714, 31, 33, 35, 36syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <_  ( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) y ) )  +  ( ( u ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) ) )
3813simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e. NrmGrp )
397, 8, 18ngpsubcan 20217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( dist `  G
) ( u (
-g `  G )
y ) )  =  ( x ( dist `  G ) u ) )
4038, 16, 17, 21, 39syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) y ) )  =  ( x (
dist `  G )
u ) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
437, 41, 42, 8grpsubval 15593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) y )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) )
4417, 21, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) y )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
457, 41, 42, 8grpsubval 15593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
u ( -g `  G
) v )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  v )
) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( u ( -g `  G ) v )  =  ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  v
) ) )
4744, 46oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  =  ( ( u ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( dist `  G
) ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  v
) ) ) )
487, 42grpinvcl 15595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  ( Base `  G ) )
4929, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  ( Base `  G ) )
507, 42grpinvcl 15595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  v  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  v
)  e.  ( Base `  G ) )
5129, 22, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  v
)  e.  ( Base `  G ) )
527, 41, 18ngplcan 20214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  ( Base `  G )  /\  (
( invg `  G ) `  v
)  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) ) ( dist `  G ) ( u ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 v ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( dist `  G
) ( ( invg `  G ) `
 v ) ) )
5313, 49, 51, 17, 52syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) ) ( dist `  G ) ( u ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 v ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( dist `  G
) ( ( invg `  G ) `
 v ) ) )
547, 42, 18ngpinvds 20216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) (
dist `  G )
( ( invg `  G ) `  v
) )  =  ( y ( dist `  G
) v ) )
5513, 21, 22, 54syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) (
dist `  G )
( ( invg `  G ) `  v
) )  =  ( y ( dist `  G
) v ) )
5647, 53, 553eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( u (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  =  ( y (
dist `  G )
v ) )
5740, 56oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) y ) )  +  ( ( u ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) )  =  ( ( x ( dist `  G ) u )  +  ( y (
dist `  G )
v ) ) )
5837, 57breqtrd 4328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <_  ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) ) )
597, 18mscl 20048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( u
( -g `  G ) v )  e.  (
Base `  G )
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  e.  RR )
6014, 31, 33, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  e.  RR )
6120, 24readdcld 9425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
dist `  G )
u )  +  ( y ( dist `  G
) v ) )  e.  RR )
62 lelttr 9477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  e.  RR  /\  (
( x ( dist `  G ) u )  +  ( y (
dist `  G )
v ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <_  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  /\  ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
6360, 61, 26, 62syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <_  ( (
x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  /\  ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
6458, 63mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( dist `  G
) u )  +  ( y ( dist `  G ) v ) )  <  z  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( dist `  G ) ( u ( -g `  G
) v ) )  <  z ) )
6528, 64syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( dist `  G
) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
6616, 17ovresd 6243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  =  ( x ( dist `  G
) u ) )
6766breq1d 4314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
( z  /  2
)  <->  ( x (
dist `  G )
u )  <  (
z  /  2 ) ) )
6821, 22ovresd 6243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  =  ( y ( dist `  G
) v ) )
6968breq1d 4314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( y ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
)  <->  ( y (
dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) ) )
7067, 69anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
) )  <->  ( (
x ( dist `  G
) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( dist `  G )
v )  <  (
z  /  2 ) ) ) )
7131, 33ovresd 6243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y ) ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u ( -g `  G ) v ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) ) )
7271breq1d 4314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z  <->  ( ( x ( -g `  G
) y ) (
dist `  G )
( u ( -g `  G ) v ) )  <  z ) )
7365, 70, 723imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( Base `  G )  /\  v  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
( z  /  2
)  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
7473ralrimivva 2820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
75 breq2 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  <  r  <->  ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 ) ) )
76 breq2 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r  <->  ( y ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) v )  <  ( z  /  2 ) ) )
7775, 76anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
r  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
r )  <->  ( (
x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) ) ) )
7877imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( ( x ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  < 
r  /\  ( y
( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
r )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z )  <->  ( (
( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  <  (
z  /  2 )  /\  ( y ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  < 
( z  /  2
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) )
79782ralbidv 2769 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. u  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  G ) ( ( ( x ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z )  <->  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) )
8079rspcev 3085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. u  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  ( z  /  2 )  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  (
z  /  2 ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
8112, 74, 80syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
8281ralrimiva 2811 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
8382ralrimivva 2820 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) )
84 msxms 20041 . . . . . 6  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  *MetSp )
85 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  =  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
867, 85xmsxmet 20043 . . . . . 6  |-  ( G  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  G
) ) )
874, 84, 863syl 20 . . . . 5  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  G
) ) )
88 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) )
8988, 88, 88txmetcn 20135 . . . . 5  |-  ( ( ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  G ) )  /\  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  G ) )  /\  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( -g `  G )  e.  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  <->  ( ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) ) )
9087, 87, 87, 89syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( -g `  G )  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen
`  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) )  <->  ( ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. u  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  G
) ( ( ( x ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) u )  <  r  /\  ( y ( (
dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) v )  <  r
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) y ) ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ( u (
-g `  G )
v ) )  < 
z ) ) ) )
9110, 83, 90mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ) ) )
92 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
9392, 7, 85mstopn 20039 . . . . . 6  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( TopOpen `  G )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) )
944, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( TopOpen
`  G )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )
9594, 94oveq12d 6121 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) ) )
9695, 94oveq12d 6121 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G )
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  G
)  |`  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  G )  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) ) ) )
9791, 96eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
9892, 8istgp2 19674 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  ( -g `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
992, 6, 97, 98syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e. 
Abel )  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304    X. cxp 4850    |` cres 4854   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293    + caddc 9297    < clt 9430    <_ cle 9431    / cdiv 10005   2c2 10383   RR+crp 11003   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   distcds 14259   TopOpenctopn 14372   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423   -gcsg 15425   Abelcabel 16290   *Metcxmt 17813   MetOpencmopn 17818   TopSpctps 18513    Cn ccn 18840    tX ctx 19145   TopGrpctgp 19654   *MetSpcxme 19904   MetSpcmt 19905  NrmGrpcngp 20182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-plusf 15428  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-tmd 19655  df-tgp 19656  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-nm 20187  df-ngp 20188
This theorem is referenced by:  nrgtgp  20265  nlmtlm  20286
  Copyright terms: Public domain W3C validator