Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngptgp Structured version   Unicode version

Theorem ngptgp 21016
 Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngptgp NrmGrp

Proof of Theorem ngptgp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 20985 . . 3 NrmGrp
3 ngpms 20986 . . . 4 NrmGrp
43adantr 465 . . 3 NrmGrp
5 mstps 20824 . . 3
64, 5syl 16 . 2 NrmGrp
7 eqid 2467 . . . . . 6
8 eqid 2467 . . . . . 6
97, 8grpsubf 15988 . . . . 5
102, 9syl 16 . . . 4 NrmGrp
11 rphalfcl 11256 . . . . . . . 8
1211adantl 466 . . . . . . 7 NrmGrp
13 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp NrmGrp
1413, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
15 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
17 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
197, 18mscl 20830 . . . . . . . . . . . 12
2014, 16, 17, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
2115simprd 463 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
237, 18mscl 20830 . . . . . . . . . . . 12
2414, 21, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
25 rpre 11238 . . . . . . . . . . . 12
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
27 lt2halves 10785 . . . . . . . . . . 11
2820, 24, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
2913, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
307, 8grpsubcl 15989 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 16, 21, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
327, 8grpsubcl 15989 . . . . . . . . . . . . . 14
3329, 17, 22, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
347, 8grpsubcl 15989 . . . . . . . . . . . . . 14
3529, 17, 21, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
367, 18mstri 20838 . . . . . . . . . . . . 13
3714, 31, 33, 35, 36syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
3813simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp NrmGrp
397, 8, 18ngpsubcan 20999 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
4038, 16, 17, 21, 39syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
437, 41, 42, 8grpsubval 15964 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4417, 21, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
457, 41, 42, 8grpsubval 15964 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
4744, 46oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
487, 42grpinvcl 15966 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4929, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
507, 42grpinvcl 15966 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5129, 22, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
527, 41, 18ngplcan 20996 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
5313, 49, 51, 17, 52syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
547, 42, 18ngpinvds 20998 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
5513, 21, 22, 54syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
5647, 53, 553eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
5740, 56oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
5837, 57breqtrd 4477 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
597, 18mscl 20830 . . . . . . . . . . . . 13
6014, 31, 33, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
6120, 24readdcld 9635 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
62 lelttr 9687 . . . . . . . . . . . 12
6360, 61, 26, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
6458, 63mpand 675 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
6528, 64syld 44 . . . . . . . . 9 NrmGrp
6616, 17ovresd 6438 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
6766breq1d 4463 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
6821, 22ovresd 6438 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
6968breq1d 4463 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
7067, 69anbi12d 710 . . . . . . . . 9 NrmGrp
7131, 33ovresd 6438 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
7271breq1d 4463 . . . . . . . . 9 NrmGrp
7365, 70, 723imtr4d 268 . . . . . . . 8 NrmGrp
7473ralrimivva 2888 . . . . . . 7 NrmGrp
75 breq2 4457 . . . . . . . . . . 11
76 breq2 4457 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
7877imbi1d 317 . . . . . . . . 9
79782ralbidv 2911 . . . . . . . 8
8079rspcev 3219 . . . . . . 7
8112, 74, 80syl2anc 661 . . . . . 6 NrmGrp
8281ralrimiva 2881 . . . . 5 NrmGrp
8382ralrimivva 2888 . . . 4 NrmGrp
84 msxms 20823 . . . . . 6
85 eqid 2467 . . . . . . 7
867, 85xmsxmet 20825 . . . . . 6
874, 84, 863syl 20 . . . . 5 NrmGrp
88 eqid 2467 . . . . . 6
8988, 88, 88txmetcn 20917 . . . . 5
9087, 87, 87, 89syl3anc 1228 . . . 4 NrmGrp
9110, 83, 90mpbir2and 920 . . 3 NrmGrp
92 eqid 2467 . . . . . . 7
9392, 7, 85mstopn 20821 . . . . . 6
944, 93syl 16 . . . . 5 NrmGrp
9594, 94oveq12d 6313 . . . 4 NrmGrp
9695, 94oveq12d 6313 . . 3 NrmGrp
9791, 96eleqtrrd 2558 . 2 NrmGrp
9892, 8istgp2 20456 . 2
992, 6, 97, 98syl3anbrc 1180 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818   class class class wbr 4453   cxp 5003   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cr 9503   caddc 9507   clt 9640   cle 9641   cdiv 10218  c2 10597  crp 11232  cbs 14506   cplusg 14571  cds 14580  ctopn 14693  cgrp 15924  cminusg 15925  csg 15926  cabl 16670  cxmt 18271  cmopn 18276  ctps 19264   ccn 19591   ctx 19927  ctgp 20436  cxme 20686  cmt 20687  NrmGrpcngp 20964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-plusf 15744  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-tmd 20437  df-tgp 20438  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-nm 20969  df-ngp 20970 This theorem is referenced by:  nrgtgp  21047  nlmtlm  21068
 Copyright terms: Public domain W3C validator