MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpms Unicode version

Theorem ngpms 18600
Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpms  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )

Proof of Theorem ngpms
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 18596 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp2bi 973 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    C_ wss 3280    o. ccom 4841   ` cfv 5413   distcds 13493   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643   MetSpcmt 18301   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578
This theorem is referenced by:  ngpxms  18601  ngptps  18602  isngp4  18611  nmf  18614  nmmtri  18621  nmrtri  18623  subgngp  18629  ngptgp  18630  tngngp2  18646  nlmvscnlem2  18674  nlmvscnlem1  18675  nlmvscn  18676  nrginvrcn  18680  nghmcn  18732  nmcn  18828  nmhmcn  19081  ipcnlem2  19151  ipcnlem1  19152  ipcn  19153  minveclem2  19280  minveclem3b  19282  minveclem3  19283  minveclem4  19286  minveclem7  19289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-co 4846  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ngp 18584
  Copyright terms: Public domain W3C validator