MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngplcan Structured version   Unicode version

Theorem ngplcan 20177
Description: Cancel left addition inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ngprcan.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngplcan  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C  .+  A ) D ( C  .+  B
) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ngplcan
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  G  e.  Abel )
2 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
3 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
4 ngprcan.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 ngprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
64, 5ablcom 16285 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C  .+  A )  =  ( A  .+  C
) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C  .+  A )  =  ( A  .+  C ) )
8 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
94, 5ablcom 16285 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C  .+  B )  =  ( B  .+  C
) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C  .+  B )  =  ( B  .+  C ) )
117, 10oveq12d 6104 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C  .+  A ) D ( C  .+  B
) )  =  ( ( A  .+  C
) D ( B 
.+  C ) ) )
12 ngprcan.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
134, 5, 12ngprcan 20176 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  .+  C ) D ( B  .+  C
) )  =  ( A D B ) )
1413adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  .+  C ) D ( B  .+  C
) )  =  ( A D B ) )
1511, 14eqtrd 2470 1  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C  .+  A ) D ( C  .+  B
) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   distcds 14239   Abelcabel 16269  NrmGrpcngp 20145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-0g 14372  df-topgen 14374  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-xms 19870  df-ms 19871  df-nm 20150  df-ngp 20151
This theorem is referenced by:  ngptgp  20197
  Copyright terms: Public domain W3C validator