MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpgrp Structured version   Unicode version

Theorem ngpgrp 20849
Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpgrp  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem ngpgrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2462 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2462 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 20846 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp1bi 1006 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762    C_ wss 3471    o. ccom 4998   ` cfv 5581   distcds 14555   Grpcgrp 15718   -gcsg 15721   MetSpcmt 20551   normcnm 20827  NrmGrpcngp 20828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-co 5003  df-iota 5544  df-fv 5589  df-ngp 20834
This theorem is referenced by:  ngpds  20853  ngpds2  20855  ngpds3  20857  ngprcan  20859  isngp4  20861  ngpinvds  20862  ngpsubcan  20863  nmf  20864  nmge0  20866  nmeq0  20867  nminv  20870  nmmtri  20871  nmsub  20872  nmrtri  20873  nm2dif  20874  nmtri  20875  nm0  20876  ngptgp  20880  tngngp2  20896  nlmdsdi  20920  nlmdsdir  20921  nrginvrcnlem  20929  nmo0  20972  nmotri  20976  0nghm  20978  nmoid  20979  idnghm  20980  nmods  20981  nmcn  21079  nmoleub2lem2  21329  nmhmcn  21333  ipcnlem2  21414  qqhcn  27596
  Copyright terms: Public domain W3C validator