MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpdsr Structured version   Unicode version

Theorem ngpdsr 20852
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ngpds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpdsr  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )

Proof of Theorem ngpdsr
StepHypRef Expression
1 ngpxms 20849 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  *MetSp )
2 ngpds.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 ngpds.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
42, 3xmssym 20696 . . 3  |-  ( ( G  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
51, 4syl3an1 1256 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
6 ngpds.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
7 ngpds.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
86, 2, 7, 3ngpds 20851 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B D A )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
983com23 1197 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D A )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
105, 9eqtrd 2501 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   distcds 14553   -gcsg 15719   *MetSpcxme 20548   normcnm 20825  NrmGrpcngp 20826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-0g 14686  df-topgen 14688  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-xms 20551  df-ms 20552  df-nm 20831  df-ngp 20832
This theorem is referenced by:  ngpinvds  20860  nminv  20868  nlmvscnlem2  20922  nrginvrcnlem  20927  ipcnlem2  21412  minveclem2  21569  qqhcn  27594  qqhucn  27595
  Copyright terms: Public domain W3C validator