MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpdsr Structured version   Unicode version

Theorem ngpdsr 21416
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ngpds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpdsr  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )

Proof of Theorem ngpdsr
StepHypRef Expression
1 ngpxms 21413 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  *MetSp )
2 ngpds.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 ngpds.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
42, 3xmssym 21260 . . 3  |-  ( ( G  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
51, 4syl3an1 1263 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
6 ngpds.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
7 ngpds.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
86, 2, 7, 3ngpds 21415 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B D A )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
983com23 1203 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D A )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
105, 9eqtrd 2443 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( B  .-  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   distcds 14918   -gcsg 16379   *MetSpcxme 21112   normcnm 21389  NrmGrpcngp 21390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-0g 15056  df-topgen 15058  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-xms 21115  df-ms 21116  df-nm 21395  df-ngp 21396
This theorem is referenced by:  ngpinvds  21424  nminv  21432  nlmvscnlem2  21486  nrginvrcnlem  21491  ipcnlem2  21976  minveclem2  22133  qqhcn  28424  qqhucn  28425
  Copyright terms: Public domain W3C validator