MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds3r Structured version   Unicode version

Theorem ngpds3r 21418
Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
ngpds2.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds2.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpds3r  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  (  .0.  D ( B  .-  A ) ) )

Proof of Theorem ngpds3r
StepHypRef Expression
1 ngpxms 21411 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  *MetSp )
2 ngpds2.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 ngpds2.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
42, 3xmssym 21258 . . 3  |-  ( ( G  e.  *MetSp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
51, 4syl3an1 1263 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
6 ngpds2.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
7 ngpds2.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
82, 6, 7, 3ngpds3 21417 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B D A )  =  (  .0.  D ( B  .-  A ) ) )
983com23 1203 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D A )  =  (  .0.  D ( B  .-  A ) ) )
105, 9eqtrd 2443 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  (  .0.  D ( B  .-  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   distcds 14916   0gc0g 15052   -gcsg 16377   *MetSpcxme 21110  NrmGrpcngp 21388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-0g 15054  df-topgen 15056  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-xms 21113  df-ms 21114  df-nm 21393  df-ngp 21394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator