MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds3 Structured version   Unicode version

Theorem ngpds3 20954
Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
ngpds2.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds2.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpds3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  (  .0.  D ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem ngpds3
StepHypRef Expression
1 ngpds2.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 ngpds2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 ngpds2.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
4 ngpds2.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  G
)
51, 2, 3, 4ngpds2 20952 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( ( A  .-  B ) D  .0.  ) )
6 ngpxms 20948 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  *MetSp )
763ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  *MetSp )
8 ngpgrp 20946 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
91, 3grpsubcl 15932 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .-  B
)  e.  X )
108, 9syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .-  B )  e.  X )
1183ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
121, 2grpidcl 15892 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
141, 4xmssym 20795 . . 3  |-  ( ( G  e.  *MetSp  /\  ( A  .-  B
)  e.  X  /\  .0.  e.  X )  -> 
( ( A  .-  B ) D  .0.  )  =  (  .0. 
D ( A  .-  B ) ) )
157, 10, 13, 14syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A  .-  B
) D  .0.  )  =  (  .0.  D
( A  .-  B
) ) )
165, 15eqtrd 2508 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  (  .0.  D ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   distcds 14567   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   -gcsg 15733   *MetSpcxme 20647  NrmGrpcngp 20925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-0g 14700  df-topgen 14702  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-xms 20650  df-ms 20651  df-nm 20930  df-ngp 20931
This theorem is referenced by:  ngpds3r  20955
  Copyright terms: Public domain W3C validator