Theorem ngpds 21617

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds.n	|- N = ( norm ` G )
ngpds.x	|- X = ( Base ` G )
ngpds.m	|- .- = ( -g ` G )
ngpds.d	|- D = ( dist ` G )

Assertion

Ref	Expression
ngpds	|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem ngpds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds.n	. . . . . 6 |- N = ( norm ` G )
2		ngpds.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
3		ngpds.d	. . . . . 6 |- D = ( dist ` G )
4		ngpds.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
5		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( D |` ( X X. X ) ) = ( D |` ( X X. X ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 21611	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. MetSp /\ ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) ) )
7	6	simp3bi 1025	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) )
8	7	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) )
9	8	oveqd 6307	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( N o. .- ) B ) = ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
10		ngpgrp 21613	. . . . . 6 |- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp )
11	4, 2	grpsubf 16733	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .- : ( X X. X ) --> X )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp -> .- : ( X X. X ) --> X )
13	12	3ad2ant1 1029	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> .- : ( X X. X ) --> X )
14		opelxpi 4866	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
15	14	3adant1 1026	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
16		fvco3 5942	. . . 4 |- ( ( .- : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) ) )
18		df-ov 6293	. . 3 |- ( A ( N o. .- ) B ) = ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. )
19		df-ov 6293	. . . 4 |- ( A .- B ) = ( .- ` <. A , B >. )
20	19	fveq2i 5868	. . 3 |- ( N ` ( A .- B ) ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) )
21	17, 18, 20	3eqtr4g 2510	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( N o. .- ) B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )
22		ovres 6436	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
23	22	3adant1 1026	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
24	9, 21, 23	3eqtr3rd 2494	1 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   <.cop 3974   X. cxp 4832   |` cres 4836   o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199   Grpcgrp 16669   -gcsg 16671   MetSpcmt 21333   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598

This theorem is referenced by:  ngpdsr  21618  ngpds2  21619  ngprcan  21623  ngpinvds  21626  nmmtri  21635  nmrtri  21637  subgngp  21643  nrgdsdi  21668  nrgdsdir  21669  nlmdsdi  21684  nlmdsdir  21685  nrginvrcnlem  21693  nmods  21765  ipcnlem2  22215  minveclem2  22368  minveclem3b  22370  minveclem4  22374  minveclem6  22376  minveclem2OLD  22380  minveclem3bOLD  22382  minveclem4OLD  22386  minveclem6OLD  22388