Theorem ngpds 21249

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds.n	|- N = ( norm ` G )
ngpds.x	|- X = ( Base ` G )
ngpds.m	|- .- = ( -g ` G )
ngpds.d	|- D = ( dist ` G )

Assertion

Ref	Expression
ngpds	|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem ngpds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds.n	. . . . . 6 |- N = ( norm ` G )
2		ngpds.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
3		ngpds.d	. . . . . 6 |- D = ( dist ` G )
4		ngpds.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
5		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( D |` ( X X. X ) ) = ( D |` ( X X. X ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 21243	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. MetSp /\ ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) ) )
7	6	simp3bi 1013	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) )
8	7	3ad2ant1 1017	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) )
9	8	oveqd 6313	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( N o. .- ) B ) = ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
10		ngpgrp 21245	. . . . . 6 |- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp )
11	4, 2	grpsubf 16244	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .- : ( X X. X ) --> X )
12	10, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp -> .- : ( X X. X ) --> X )
13	12	3ad2ant1 1017	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> .- : ( X X. X ) --> X )
14		opelxpi 5040	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
15	14	3adant1 1014	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
16		fvco3 5950	. . . 4 |- ( ( .- : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) ) )
18		df-ov 6299	. . 3 |- ( A ( N o. .- ) B ) = ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. )
19		df-ov 6299	. . . 4 |- ( A .- B ) = ( .- ` <. A , B >. )
20	19	fveq2i 5875	. . 3 |- ( N ` ( A .- B ) ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) )
21	17, 18, 20	3eqtr4g 2523	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( N o. .- ) B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )
22		ovres 6441	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
23	22	3adant1 1014	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
24	9, 21, 23	3eqtr3rd 2507	1 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   <.cop 4038   X. cxp 5006   |` cres 5010   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   distcds 14721   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   MetSpcmt 20947   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230

This theorem is referenced by:  ngpdsr  21250  ngpds2  21251  ngprcan  21255  ngpinvds  21258  nmmtri  21267  nmrtri  21269  subgngp  21275  nrgdsdi  21300  nrgdsdir  21301  nlmdsdi  21316  nlmdsdir  21317  nrginvrcnlem  21325  nmods  21377  ipcnlem2  21810  minveclem2  21967  minveclem3b  21969  minveclem4  21973  minveclem6  21975