Theorem ngpds 20207

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds.n	|- N = ( norm ` G )
ngpds.x	|- X = ( Base ` G )
ngpds.m	|- .- = ( -g ` G )
ngpds.d	|- D = ( dist ` G )

Assertion

Ref	Expression
ngpds	|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem ngpds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds.n	. . . . . 6 |- N = ( norm ` G )
2		ngpds.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
3		ngpds.d	. . . . . 6 |- D = ( dist ` G )
4		ngpds.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
5		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( D |` ( X X. X ) ) = ( D |` ( X X. X ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 20201	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. MetSp /\ ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) ) )
7	6	simp3bi 1005	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) )
8	7	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N o. .- ) = ( D |` ( X X. X ) ) )
9	8	oveqd 6120	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( N o. .- ) B ) = ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
10		ngpgrp 20203	. . . . . 6 |- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp )
11	4, 2	grpsubf 15617	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .- : ( X X. X ) --> X )
12	10, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp -> .- : ( X X. X ) --> X )
13	12	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> .- : ( X X. X ) --> X )
14		opelxpi 4883	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
15	14	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
16		fvco3 5780	. . . 4 |- ( ( .- : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) ) )
18		df-ov 6106	. . 3 |- ( A ( N o. .- ) B ) = ( ( N o. .- ) ` <. A , B >. )
19		df-ov 6106	. . . 4 |- ( A .- B ) = ( .- ` <. A , B >. )
20	19	fveq2i 5706	. . 3 |- ( N ` ( A .- B ) ) = ( N ` ( .- ` <. A , B >. ) )
21	17, 18, 20	3eqtr4g 2500	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( N o. .- ) B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )
22		ovres 6242	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
23	22	3adant1 1006	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
24	9, 21, 23	3eqtr3rd 2484	1 |- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   <.cop 3895   X. cxp 4850   |` cres 4854   o. ccom 4856   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   distcds 14259   Grpcgrp 15422   -gcsg 15425   MetSpcmt 19905   normcnm 20181  NrmGrpcngp 20182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-0g 14392  df-topgen 14394  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-xms 19907  df-ms 19908  df-nm 20187  df-ngp 20188

This theorem is referenced by:  ngpdsr  20208  ngpds2  20209  ngprcan  20213  ngpinvds  20216  nmmtri  20225  nmrtri  20227  subgngp  20233  nrgdsdi  20258  nrgdsdir  20259  nlmdsdi  20274  nlmdsdir  20275  nrginvrcnlem  20283  nmods  20335  ipcnlem2  20768  minveclem2  20925  minveclem3b  20927  minveclem4  20931  minveclem6  20933