Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmplusg Structured version   Unicode version

Theorem nghmplusg 21429
 Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nghmplusg.p
Assertion
Ref Expression
nghmplusg NGHom NGHom NGHom

Proof of Theorem nghmplusg
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 21421 . . 3 NGHom NrmGrp
213ad2ant2 1017 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
3 nghmrcl2 21422 . . 3 NGHom NrmGrp
433ad2ant2 1017 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
5 id 22 . . 3
6 nghmghm 21423 . . 3 NGHom
7 nghmghm 21423 . . 3 NGHom
8 nghmplusg.p . . . 4
98ghmplusg 17066 . . 3
105, 6, 7, 9syl3an 1270 . 2 NGHom NGHom
11 eqid 2400 . . . . 5
1211nghmcl 21416 . . . 4 NGHom
13123ad2ant2 1017 . . 3 NGHom NGHom
1411nghmcl 21416 . . . 4 NGHom
15143ad2ant3 1018 . . 3 NGHom NGHom
1613, 15readdcld 9571 . 2 NGHom NGHom
1711, 8nmotri 21428 . 2 NGHom NGHom
1811bddnghm 21415 . 2 NrmGrp NrmGrp NGHom
192, 4, 10, 16, 17, 18syl32anc 1236 1 NGHom NGHom NGHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840   class class class wbr 4392  cfv 5523  (class class class)co 6232   cof 6473  cr 9439   caddc 9443   cle 9577   cplusg 14799   cghm 16478  cabl 17013  NrmGrpcngp 21280  cnmo 21394   NGHom cnghm 21395 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ico 11504  df-0g 14946  df-topgen 14948  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-ghm 16479  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-xms 21005  df-ms 21006  df-nm 21285  df-ngp 21286  df-nmo 21397  df-nghm 21398 This theorem is referenced by:  nmhmplusg  21446
 Copyright terms: Public domain W3C validator