MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmplusg Structured version   Unicode version

Theorem nghmplusg 20977
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nghmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmplusg  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )

Proof of Theorem nghmplusg
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 20969 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
213ad2ant2 1013 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 20970 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
433ad2ant2 1013 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5 id 22 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
6 nghmghm 20971 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 nghmghm 20971 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
8 nghmplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
98ghmplusg 16640 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
105, 6, 7, 9syl3an 1265 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
11 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 20964 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
13123ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  e.  RR )
1411nghmcl 20964 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
15143ad2ant3 1014 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  G
)  e.  RR )
1613, 15readdcld 9614 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S normOp T ) `
 G ) )  e.  RR )
1711, 8nmotri 20976 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  ( F  oF  .+  G
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1811bddnghm 20963 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  ( F  oF  .+  G
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
192, 4, 10, 16, 17, 18syl32anc 1231 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515   RRcr 9482    + caddc 9486    <_ cle 9620   +g cplusg 14546    GrpHom cghm 16054   Abelcabl 16590  NrmGrpcngp 20828   normOpcnmo 20942   NGHom cnghm 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ico 11526  df-0g 14688  df-topgen 14690  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-ghm 16055  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-xms 20553  df-ms 20554  df-nm 20833  df-ngp 20834  df-nmo 20945  df-nghm 20946
This theorem is referenced by:  nmhmplusg  20994
  Copyright terms: Public domain W3C validator