MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmplusg Structured version   Unicode version

Theorem nghmplusg 21429
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nghmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmplusg  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )

Proof of Theorem nghmplusg
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 21421 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
213ad2ant2 1017 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 21422 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
433ad2ant2 1017 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5 id 22 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
6 nghmghm 21423 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 nghmghm 21423 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
8 nghmplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
98ghmplusg 17066 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
105, 6, 7, 9syl3an 1270 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
11 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 21416 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
13123ad2ant2 1017 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  e.  RR )
1411nghmcl 21416 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
15143ad2ant3 1018 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  G
)  e.  RR )
1613, 15readdcld 9571 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S normOp T ) `
 G ) )  e.  RR )
1711, 8nmotri 21428 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  ( F  oF  .+  G
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1811bddnghm 21415 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  ( F  oF  .+  G
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
192, 4, 10, 16, 17, 18syl32anc 1236 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    oFcof 6473   RRcr 9439    + caddc 9443    <_ cle 9577   +g cplusg 14799    GrpHom cghm 16478   Abelcabl 17013  NrmGrpcngp 21280   normOpcnmo 21394   NGHom cnghm 21395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ico 11504  df-0g 14946  df-topgen 14948  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-ghm 16479  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-xms 21005  df-ms 21006  df-nm 21285  df-ngp 21286  df-nmo 21397  df-nghm 21398
This theorem is referenced by:  nmhmplusg  21446
  Copyright terms: Public domain W3C validator