Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nghmfval 21739
 Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1
Assertion
Ref Expression
nghmfval NGHom

Proof of Theorem nghmfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6304 . . . . . 6
2 nmofval.1 . . . . . 6
31, 2syl6eqr 2505 . . . . 5
43cnveqd 5013 . . . 4
54imaeq1d 5170 . . 3
6 df-nghm 21725 . . 3 NGHom NrmGrp NrmGrp
7 ovex 6323 . . . . . 6
82, 7eqeltri 2527 . . . . 5
98cnvex 6745 . . . 4
10 imaexg 6735 . . . 4
119, 10ax-mp 5 . . 3
125, 6, 11ovmpt2a 6432 . 2 NrmGrp NrmGrp NGHom
136mpt2ndm0 6515 . . 3 NrmGrp NrmGrp NGHom
14 nmoffn 21728 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp
15 fndm 5680 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp NrmGrp NrmGrp
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 NrmGrp NrmGrp
1716ndmov 6458 . . . . . . . 8 NrmGrp NrmGrp
182, 17syl5eq 2499 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
1918cnveqd 5013 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
20 cnv0 5242 . . . . . 6
2119, 20syl6eq 2503 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
2221imaeq1d 5170 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
23 0ima 5187 . . . 4
2422, 23syl6eq 2503 . . 3 NrmGrp NrmGrp
2513, 24eqtr4d 2490 . 2 NrmGrp NrmGrp NGHom
2612, 25pm2.61i 168 1 NGHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  cvv 3047  c0 3733   cxp 4835  ccnv 4836   cdm 4837  cima 4840   wfn 5580  (class class class)co 6295  cr 9543  NrmGrpcngp 21604  cnmo 21718   NGHom cnghm 21720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-ico 11648  df-nmo 21723  df-nghm 21725 This theorem is referenced by:  isnghm  21740
 Copyright terms: Public domain W3C validator