MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmco Structured version   Unicode version

Theorem nghmco 21111
Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nghmco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )

Proof of Theorem nghmco
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 21105 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 21106 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
5 nghmghm 21107 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
6 nghmghm 21107 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 ghmco 16157 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
85, 6, 7syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( T
normOp U )  =  ( T normOp U )
109nghmcl 21100 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 21100 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
13 remulcl 9589 . . 3  |-  ( ( ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR  /\  (
( S normOp T ) `
 G )  e.  RR )  ->  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR )
1410, 12, 13syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( (
( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR )
15 eqid 2467 . . 3  |-  ( S
normOp U )  =  ( S normOp U )
1615, 9, 11nmoco 21110 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1715bddnghm 21099 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )  /\  ( ( ( ( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G ) )  <_  ( ( ( T normOp U ) `  F )  x.  (
( S normOp T ) `
 G ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
182, 4, 8, 14, 16, 17syl32anc 1236 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4453    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503    x. cmul 9509    <_ cle 9641    GrpHom cghm 16135  NrmGrpcngp 20964   normOpcnmo 21078   NGHom cnghm 21079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-0g 14713  df-topgen 14715  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-grp 15928  df-ghm 16136  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-xms 20689  df-ms 20690  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nmo 21081  df-nghm 21082
This theorem is referenced by:  nmhmco  21129
  Copyright terms: Public domain W3C validator