MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmco Structured version   Unicode version

Theorem nghmco 20332
Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nghmco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )

Proof of Theorem nghmco
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 20326 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 20327 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
5 nghmghm 20328 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
6 nghmghm 20328 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 ghmco 15781 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
85, 6, 7syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( T
normOp U )  =  ( T normOp U )
109nghmcl 20321 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 20321 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
13 remulcl 9382 . . 3  |-  ( ( ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR  /\  (
( S normOp T ) `
 G )  e.  RR )  ->  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR )
1410, 12, 13syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( (
( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR )
15 eqid 2443 . . 3  |-  ( S
normOp U )  =  ( S normOp U )
1615, 9, 11nmoco 20331 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1715bddnghm 20320 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )  /\  ( ( ( ( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G ) )  <_  ( ( ( T normOp U ) `  F )  x.  (
( S normOp T ) `
 G ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
182, 4, 8, 14, 16, 17syl32anc 1226 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4307    o. ccom 4859   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   RRcr 9296    x. cmul 9302    <_ cle 9434    GrpHom cghm 15759  NrmGrpcngp 20185   normOpcnmo 20299   NGHom cnghm 20300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ico 11321  df-0g 14395  df-topgen 14397  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-grp 15560  df-ghm 15760  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-xms 19910  df-ms 19911  df-nm 20190  df-ngp 20191  df-nmo 20302  df-nghm 20303
This theorem is referenced by:  nmhmco  20350
  Copyright terms: Public domain W3C validator