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Theorem nghmcn 18732
Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nghmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nghmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmcn  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem nghmcn
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nghmghm 18721 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
42, 3ghmf 14965 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR+ )
7 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
87nghmcl 18714 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
9 nghmrcl1 18719 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
10 nghmrcl2 18720 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
117nmoge0 18708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  (
( S normOp T ) `
 F ) )
129, 10, 1, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( ( S normOp T ) `
 F ) )
138, 12ge0p1rpd 10630 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
1413adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  e.  RR+ )
156, 14rpdivcld 10621 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+ )
16 ngpms 18600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
179, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e.  MetSp
)
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  MetSp
)
19 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
21 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
222, 21mscl 18444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
2318, 19, 20, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
246adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR+ )
2524rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR )
2613ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
2723, 25, 26ltmuldiv2d 10648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  <->  ( x (
dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
28 ngpms 18600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2910, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e.  MetSp
)
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  T  e.  MetSp
)
315ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3231, 19ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
3331, 20ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
353, 34mscl 18444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  MetSp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
3630, 32, 33, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
378ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
3837, 23remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
3926rpred 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR )
4039, 23remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
417, 2, 21, 34nmods 18731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
42413expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( S normOp T ) `  F )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) ) )
4342adantlrr 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
44 msxms 18437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *
MetSp )
4518, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  *
MetSp )
462, 21xmsge0 18446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  * MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  0  <_  ( x ( dist `  S ) y ) )
4745, 19, 20, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  0  <_  ( x ( dist `  S
) y ) )
4837lep1d 9898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )
4937, 39, 23, 47, 48lemul1ad 9906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  <_  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) ) )
5036, 38, 40, 43, 49letrd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
51 lelttr 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5236, 40, 25, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5350, 52mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5427, 53sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( dist `  S
) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5519, 20ovresd 6173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  =  ( x ( dist `  S ) y ) )
5655breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  <->  ( x
( dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
5732, 33ovresd 6173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) ) )
5857breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r  <->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5954, 56, 583imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r ) )
6059ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) )  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
61 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  <->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) ) ) )
6261imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  s  ->  ( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6362ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6463rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6515, 60, 64syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6665ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
67 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
682, 67xmsxmet 18439 . . . . 5  |-  ( S  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
6917, 44, 683syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
70 msxms 18437 . . . . 5  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *
MetSp )
71 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
723, 71xmsxmet 18439 . . . . 5  |-  ( T  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
7329, 70, 723syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
74 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
75 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
7674, 75metcn 18526 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
7769, 73, 76syl2anc 643 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
785, 66, 77mpbir2and 889 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
79 nghmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
8079, 2, 67mstopn 18435 . . . 4  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
8117, 80syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
82 nghmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
8382, 3, 71mstopn 18435 . . . 4  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8429, 83syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8581, 84oveq12d 6058 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( J  Cn  K )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
8678, 85eleqtrrd 2481 1  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   RR+crp 10568   Basecbs 13424   distcds 13493   TopOpenctopn 13604    GrpHom cghm 14958   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646    Cn ccn 17242   *
MetSpcxme 18300   MetSpcmt 18301  NrmGrpcngp 18578   normOpcnmo 18692   NGHom cnghm 18693
This theorem is referenced by:  nmhmcn  19081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-ghm 14959  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nmo 18695  df-nghm 18696
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