Theorem nfnid 4676

Description: A setvar variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4638, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nfnid	|- -. F/_ x x

Proof of Theorem nfnid

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4638	. . 3 |- -. A. z z = w
2		ax-ext 2445	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> z = w )
3	2	sps 1814	. . . 4 |- ( A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> z = w )
4	3	alimi 1614	. . 3 |- ( A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> A. z z = w )
5	1, 4	mto 176	. 2 |- -. A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w )
6		df-nfc 2617	. . 3 |- ( F/_ x x <-> A. y F/ x y e. x )
7		sbnf2 2166	. . . . 5 |- ( F/ x y e. x <-> A. z A. w ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) )
8		elsb4 2162	. . . . . . 7 |- ( [ z / x ] y e. x <-> y e. z )
9		elsb4 2162	. . . . . . 7 |- ( [ w / x ] y e. x <-> y e. w )
10	8, 9	bibi12i 315	. . . . . 6 |- ( ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) <-> ( y e. z <-> y e. w ) )
11	10	2albii 1621	. . . . 5 |- ( A. z A. w ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) <-> A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
12	7, 11	bitri 249	. . . 4 |- ( F/ x y e. x <-> A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
13	12	albii 1620	. . 3 |- ( A. y F/ x y e. x <-> A. y A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
14		alrot3 1795	. . 3 |- ( A. y A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) <-> A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) )
15	6, 13, 14	3bitri 271	. 2 |- ( F/_ x x <-> A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) )
16	5, 15	mtbir 299	1 |- -. F/_ x x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   A.wal 1377   F/wnf 1599   [wsb 1711   F/_wnfc 2615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-nfc 2617

This theorem is referenced by:  nfcvb  4677