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Theorem nfnid 4629
Description: A setvar variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4592, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
nfnid  |-  -.  F/_ x x

Proof of Theorem nfnid
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4592 . . 3  |-  -.  A. z  z  =  w
2 ax-ext 2451 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
)  ->  z  =  w )
32sps 1963 . . . 4  |-  ( A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w )  ->  z  =  w )
43alimi 1692 . . 3  |-  ( A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  ->  A. z  z  =  w )
51, 4mto 181 . 2  |-  -.  A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )
6 df-nfc 2601 . . 3  |-  ( F/_ x x  <->  A. y F/ x  y  e.  x )
7 sbnf2 2288 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x ) )
8 elsb4 2284 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  z )
9 elsb4 2284 . . . . . . 7  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  w )
108, 9bibi12i 322 . . . . . 6  |-  ( ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w ) )
11102albii 1700 . . . . 5  |-  ( A. z A. w ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  [ w  /  x ] y  e.  x )  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
127, 11bitri 257 . . . 4  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w ) )
1312albii 1699 . . 3  |-  ( A. y F/ x  y  e.  x  <->  A. y A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
14 alrot3 1941 . . 3  |-  ( A. y A. z A. w
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
156, 13, 143bitri 279 . 2  |-  ( F/_ x x  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
165, 15mtbir 306 1  |-  -.  F/_ x x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189   A.wal 1450   F/wnf 1675   [wsb 1805   F/_wnfc 2599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-nul 4527  ax-pow 4579
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-nfc 2601
This theorem is referenced by:  nfcvb  4630
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