Theorem nfnid 4629

Description: A setvar variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4592, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nfnid	|- -. F/_ x x

Proof of Theorem nfnid

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4592	. . 3 |- -. A. z z = w
2		ax-ext 2451	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> z = w )
3	2	sps 1963	. . . 4 |- ( A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> z = w )
4	3	alimi 1692	. . 3 |- ( A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> A. z z = w )
5	1, 4	mto 181	. 2 |- -. A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w )
6		df-nfc 2601	. . 3 |- ( F/_ x x <-> A. y F/ x y e. x )
7		sbnf2 2288	. . . . 5 |- ( F/ x y e. x <-> A. z A. w ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) )
8		elsb4 2284	. . . . . . 7 |- ( [ z / x ] y e. x <-> y e. z )
9		elsb4 2284	. . . . . . 7 |- ( [ w / x ] y e. x <-> y e. w )
10	8, 9	bibi12i 322	. . . . . 6 |- ( ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) <-> ( y e. z <-> y e. w ) )
11	10	2albii 1700	. . . . 5 |- ( A. z A. w ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) <-> A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
12	7, 11	bitri 257	. . . 4 |- ( F/ x y e. x <-> A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
13	12	albii 1699	. . 3 |- ( A. y F/ x y e. x <-> A. y A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
14		alrot3 1941	. . 3 |- ( A. y A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) <-> A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) )
15	6, 13, 14	3bitri 279	. 2 |- ( F/_ x x <-> A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) )
16	5, 15	mtbir 306	1 |- -. F/_ x x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   A.wal 1450   F/wnf 1675   [wsb 1805   F/_wnfc 2599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-nul 4527  ax-pow 4579

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-nfc 2601

This theorem is referenced by:  nfcvb  4630