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Theorem nfnid 4676
Description: A setvar variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4638, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
nfnid  |-  -.  F/_ x x

Proof of Theorem nfnid
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4638 . . 3  |-  -.  A. z  z  =  w
2 ax-ext 2445 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
)  ->  z  =  w )
32sps 1814 . . . 4  |-  ( A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w )  ->  z  =  w )
43alimi 1614 . . 3  |-  ( A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  ->  A. z  z  =  w )
51, 4mto 176 . 2  |-  -.  A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )
6 df-nfc 2617 . . 3  |-  ( F/_ x x  <->  A. y F/ x  y  e.  x )
7 sbnf2 2166 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x ) )
8 elsb4 2162 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  z )
9 elsb4 2162 . . . . . . 7  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  w )
108, 9bibi12i 315 . . . . . 6  |-  ( ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w ) )
11102albii 1621 . . . . 5  |-  ( A. z A. w ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  [ w  /  x ] y  e.  x )  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
127, 11bitri 249 . . . 4  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w ) )
1312albii 1620 . . 3  |-  ( A. y F/ x  y  e.  x  <->  A. y A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
14 alrot3 1795 . . 3  |-  ( A. y A. z A. w
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
156, 13, 143bitri 271 . 2  |-  ( F/_ x x  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
165, 15mtbir 299 1  |-  -.  F/_ x x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184   A.wal 1377   F/wnf 1599   [wsb 1711   F/_wnfc 2615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-nfc 2617
This theorem is referenced by:  nfcvb  4677
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