Theorem nfnid 4629

Description: A setvar variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4594, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nfnid	|- -. F/_ x x

Proof of Theorem nfnid

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4594	. . 3 |- -. A. z z = w
2		ax-ext 2431	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> z = w )
3	2	sps 1943	. . . 4 |- ( A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> z = w )
4	3	alimi 1684	. . 3 |- ( A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) -> A. z z = w )
5	1, 4	mto 180	. 2 |- -. A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w )
6		df-nfc 2581	. . 3 |- ( F/_ x x <-> A. y F/ x y e. x )
7		sbnf2 2268	. . . . 5 |- ( F/ x y e. x <-> A. z A. w ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) )
8		elsb4 2264	. . . . . . 7 |- ( [ z / x ] y e. x <-> y e. z )
9		elsb4 2264	. . . . . . 7 |- ( [ w / x ] y e. x <-> y e. w )
10	8, 9	bibi12i 317	. . . . . 6 |- ( ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) <-> ( y e. z <-> y e. w ) )
11	10	2albii 1692	. . . . 5 |- ( A. z A. w ( [ z / x ] y e. x <-> [ w / x ] y e. x ) <-> A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
12	7, 11	bitri 253	. . . 4 |- ( F/ x y e. x <-> A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
13	12	albii 1691	. . 3 |- ( A. y F/ x y e. x <-> A. y A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) )
14		alrot3 1924	. . 3 |- ( A. y A. z A. w ( y e. z <-> y e. w ) <-> A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) )
15	6, 13, 14	3bitri 275	. 2 |- ( F/_ x x <-> A. z A. w A. y ( y e. z <-> y e. w ) )
16	5, 15	mtbir 301	1 |- -. F/_ x x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   A.wal 1442   F/wnf 1667   [wsb 1797   F/_wnfc 2579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-nul 4534  ax-pow 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-nfc 2581

This theorem is referenced by:  nfcvb  4630