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Theorem nfnid 4666
Description: A setvar variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4628, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
nfnid  |-  -.  F/_ x x

Proof of Theorem nfnid
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4628 . . 3  |-  -.  A. z  z  =  w
2 ax-ext 2432 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
)  ->  z  =  w )
32sps 1870 . . . 4  |-  ( A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w )  ->  z  =  w )
43alimi 1638 . . 3  |-  ( A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  ->  A. z  z  =  w )
51, 4mto 176 . 2  |-  -.  A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )
6 df-nfc 2604 . . 3  |-  ( F/_ x x  <->  A. y F/ x  y  e.  x )
7 sbnf2 2185 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x ) )
8 elsb4 2181 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  z )
9 elsb4 2181 . . . . . . 7  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  w )
108, 9bibi12i 313 . . . . . 6  |-  ( ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w ) )
11102albii 1646 . . . . 5  |-  ( A. z A. w ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  [ w  /  x ] y  e.  x )  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
127, 11bitri 249 . . . 4  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w ) )
1312albii 1645 . . 3  |-  ( A. y F/ x  y  e.  x  <->  A. y A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
14 alrot3 1851 . . 3  |-  ( A. y A. z A. w
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
156, 13, 143bitri 271 . 2  |-  ( F/_ x x  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
165, 15mtbir 297 1  |-  -.  F/_ x x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184   A.wal 1396   F/wnf 1621   [wsb 1744   F/_wnfc 2602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568  ax-pow 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-nfc 2604
This theorem is referenced by:  nfcvb  4667
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