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Theorem nfixp 7528
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 7510 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2566 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1649 . . . . . . 7  |-  F/ x T.
4 nfcvf 2591 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2574 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2587 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1416 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5660 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2761 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2574 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 1947 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 2101 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1416 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1668 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 1958 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2570 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2564 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1405   T. wtru 1408   F/wnf 1639    e. wcel 1844   {cab 2389   F/_wnfc 2552   A.wral 2756    Fn wfn 5566   ` cfv 5571   X_cixp 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-fv 5579  df-ixp 7510
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