Theorem nfixp 7500

Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfixp.1	|- F/_ y A
nfixp.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfixp	|- F/_ y X_ x e. A B

Proof of Theorem nfixp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ixp 7482	. 2 |- X_ x e. A B = { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
2		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ y z
3		nftru 1609	. . . . . . 7 |- F/ x T.
4		nfcvf 2654	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
5	4	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y x )
6		nfixp.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y A )
8	5, 7	nfeld 2637	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y x e. A )
9	3, 8	nfabd2 2650	. . . . . 6 |- ( T. -> F/_ y { x | x e. A } )
10	9	trud 1388	. . . . 5 |- F/_ y { x | x e. A }
11	2, 10	nffn 5683	. . . 4 |- F/ y z Fn { x | x e. A }
12		df-ral 2822	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z ` x ) e. B <-> A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y z )
14	13, 5	nffvd 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y ( z ` x ) )
15		nfixp.2	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y B
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y B )
17	14, 16	nfeld 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( z ` x ) e. B )
18	8, 17	nfimd 1864	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
19	3, 18	nfald2 2046	. . . . . 6 |- ( T. -> F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
20	19	trud 1388	. . . . 5 |- F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B )
21	12, 20	nfxfr 1625	. . . 4 |- F/ y A. x e. A ( z ` x ) e. B
22	11, 21	nfan 1875	. . 3 |- F/ y ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B )
23	22	nfab 2633	. 2 |- F/_ y { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
24	1, 23	nfcxfr 2627	1 |- F/_ y X_ x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   T. wtru 1380   F/wnf 1599   e. wcel 1767   {cab 2452   F/_wnfc 2615   A.wral 2817   Fn wfn 5589   ` cfv 5594   X_cixp 7481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-ixp 7482

This theorem is referenced by: (None)