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Theorem nfixp 7500
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 7482 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1609 . . . . . . 7  |-  F/ x T.
4 nfcvf 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2637 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2650 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1388 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5683 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2822 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2637 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 1864 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 2046 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1388 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1625 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 1875 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2633 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2627 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377   T. wtru 1380   F/wnf 1599    e. wcel 1767   {cab 2452   F/_wnfc 2615   A.wral 2817    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   X_cixp 7481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-ixp 7482
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