Theorem nfixp 7541

Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfixp.1	|- F/_ y A
nfixp.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfixp	|- F/_ y X_ x e. A B

Proof of Theorem nfixp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ixp 7523	. 2 |- X_ x e. A B = { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
2		nfcv 2592	. . . . 5 |- F/_ y z
3		nftru 1677	. . . . . . 7 |- F/ x T.
4		nfcvf 2615	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
5	4	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y x )
6		nfixp.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y A )
8	5, 7	nfeld 2600	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y x e. A )
9	3, 8	nfabd2 2611	. . . . . 6 |- ( T. -> F/_ y { x | x e. A } )
10	9	trud 1453	. . . . 5 |- F/_ y { x | x e. A }
11	2, 10	nffn 5672	. . . 4 |- F/ y z Fn { x | x e. A }
12		df-ral 2742	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z ` x ) e. B <-> A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y z )
14	13, 5	nffvd 5874	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y ( z ` x ) )
15		nfixp.2	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y B
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y B )
17	14, 16	nfeld 2600	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( z ` x ) e. B )
18	8, 17	nfimd 2000	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
19	3, 18	nfald2 2165	. . . . . 6 |- ( T. -> F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
20	19	trud 1453	. . . . 5 |- F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B )
21	12, 20	nfxfr 1696	. . . 4 |- F/ y A. x e. A ( z ` x ) e. B
22	11, 21	nfan 2011	. . 3 |- F/ y ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B )
23	22	nfab 2596	. 2 |- F/_ y { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
24	1, 23	nfcxfr 2590	1 |- F/_ y X_ x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1442   T. wtru 1445   F/wnf 1667   e. wcel 1887   {cab 2437   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   Fn wfn 5577   ` cfv 5582   X_cixp 7522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590  df-ixp 7523

This theorem is referenced by: (None)