MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfixp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nfixp 7541
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 7523 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1677 . . . . . . 7  |-  F/ x T.
4 nfcvf 2615 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2600 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2611 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1453 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5672 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2742 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2600 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 2000 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 2165 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1453 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1696 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 2011 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2596 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2590 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442   T. wtru 1445   F/wnf 1667    e. wcel 1887   {cab 2437   F/_wnfc 2579   A.wral 2737    Fn wfn 5577   ` cfv 5582   X_cixp 7522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590  df-ixp 7523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator