Theorem nfixp 7528

Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfixp.1	|- F/_ y A
nfixp.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfixp	|- F/_ y X_ x e. A B

Proof of Theorem nfixp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ixp 7510	. 2 |- X_ x e. A B = { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
2		nfcv 2566	. . . . 5 |- F/_ y z
3		nftru 1649	. . . . . . 7 |- F/ x T.
4		nfcvf 2591	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
5	4	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y x )
6		nfixp.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y A )
8	5, 7	nfeld 2574	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y x e. A )
9	3, 8	nfabd2 2587	. . . . . 6 |- ( T. -> F/_ y { x | x e. A } )
10	9	trud 1416	. . . . 5 |- F/_ y { x | x e. A }
11	2, 10	nffn 5660	. . . 4 |- F/ y z Fn { x | x e. A }
12		df-ral 2761	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z ` x ) e. B <-> A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y z )
14	13, 5	nffvd 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y ( z ` x ) )
15		nfixp.2	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y B
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y B )
17	14, 16	nfeld 2574	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( z ` x ) e. B )
18	8, 17	nfimd 1947	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
19	3, 18	nfald2 2101	. . . . . 6 |- ( T. -> F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
20	19	trud 1416	. . . . 5 |- F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B )
21	12, 20	nfxfr 1668	. . . 4 |- F/ y A. x e. A ( z ` x ) e. B
22	11, 21	nfan 1958	. . 3 |- F/ y ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B )
23	22	nfab 2570	. 2 |- F/_ y { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
24	1, 23	nfcxfr 2564	1 |- F/_ y X_ x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1405   T. wtru 1408   F/wnf 1639   e. wcel 1844   {cab 2389   F/_wnfc 2552   A.wral 2756   Fn wfn 5566   ` cfv 5571   X_cixp 7509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-fv 5579  df-ixp 7510

This theorem is referenced by: (None)