Theorem nfixp 7547

Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfixp.1	|- F/_ y A
nfixp.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfixp	|- F/_ y X_ x e. A B

Proof of Theorem nfixp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ixp 7529	. 2 |- X_ x e. A B = { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
2		nfcv 2585	. . . . 5 |- F/_ y z
3		nftru 1674	. . . . . . 7 |- F/ x T.
4		nfcvf 2610	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
5	4	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y x )
6		nfixp.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y A )
8	5, 7	nfeld 2593	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y x e. A )
9	3, 8	nfabd2 2606	. . . . . 6 |- ( T. -> F/_ y { x | x e. A } )
10	9	trud 1447	. . . . 5 |- F/_ y { x | x e. A }
11	2, 10	nffn 5688	. . . 4 |- F/ y z Fn { x | x e. A }
12		df-ral 2781	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z ` x ) e. B <-> A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y z )
14	13, 5	nffvd 5888	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y ( z ` x ) )
15		nfixp.2	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y B
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y B )
17	14, 16	nfeld 2593	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( z ` x ) e. B )
18	8, 17	nfimd 1974	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
19	3, 18	nfald2 2129	. . . . . 6 |- ( T. -> F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
20	19	trud 1447	. . . . 5 |- F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B )
21	12, 20	nfxfr 1693	. . . 4 |- F/ y A. x e. A ( z ` x ) e. B
22	11, 21	nfan 1985	. . 3 |- F/ y ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B )
23	22	nfab 2589	. 2 |- F/_ y { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
24	1, 23	nfcxfr 2583	1 |- F/_ y X_ x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1436   T. wtru 1439   F/wnf 1664   e. wcel 1869   {cab 2408   F/_wnfc 2571   A.wral 2776   Fn wfn 5594   ` cfv 5599   X_cixp 7528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-ixp 7529

This theorem is referenced by: (None)