MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Structured version   Unicode version

Theorem nfitg 22609
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if  y is (effectively) not free in  A and  B, it is not free in  S. A B  _d x. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1  |-  F/_ y A
nfitg.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfitg  |-  F/_ y S. A B  _d x
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 22604 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nfcv 2591 . . 3  |-  F/_ y
( 0 ... 3
)
4 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
5 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ y  x.
6 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ y S.2
7 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ y RR
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
98nfcri 2584 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  A
10 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
0
11 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
12 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
Re
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
14 nfcv 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y  /
1513, 14, 4nfov 6331 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
1612, 15nffv 5888 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
1710, 11, 16nfbr 4470 . . . . . . . 8  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
189, 17nfan 1986 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1918, 16, 10nfif 3944 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
207, 19nfmpt 4514 . . . . 5  |-  F/_ y
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
216, 20nffv 5888 . . . 4  |-  F/_ y
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
224, 5, 21nfov 6331 . . 3  |-  F/_ y
( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
233, 22nfsum 13735 . 2  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
242, 23nfcxfr 2589 1  |-  F/_ y S. A B  _d x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   _ici 9540    x. cmul 9543    <_ cle 9675    / cdiv 10268   3c3 10660   ...cfz 11782   ^cexp 12269   Recre 13139   sum_csu 13730   S.2citg2 22451   S.citg 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-sum 13731  df-itg 22458
This theorem is referenced by:  itgfsum  22661  itgulm2  23229  fourierdlem112  37653
  Copyright terms: Public domain W3C validator