MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Structured version   Unicode version

Theorem nfitg 22008
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if  y is (effectively) not free in  A and  B, it is not free in  S. A B  _d x. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1  |-  F/_ y A
nfitg.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfitg  |-  F/_ y S. A B  _d x
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 22003 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ y
( 0 ... 3
)
4 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
5 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ y  x.
6 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y S.2
7 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ y RR
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
98nfcri 2622 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  A
10 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
0
11 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
12 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
Re
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
14 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y  /
1513, 14, 4nfov 6308 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
1612, 15nffv 5873 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
1710, 11, 16nfbr 4491 . . . . . . . 8  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
189, 17nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1918, 16, 10nfif 3968 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
207, 19nfmpt 4535 . . . . 5  |-  F/_ y
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
216, 20nffv 5873 . . . 4  |-  F/_ y
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
224, 5, 21nfov 6308 . . 3  |-  F/_ y
( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
233, 22nfsum 13479 . 2  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
242, 23nfcxfr 2627 1  |-  F/_ y S. A B  _d x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   _ici 9495    x. cmul 9498    <_ cle 9630    / cdiv 10207   3c3 10587   ...cfz 11673   ^cexp 12135   Recre 12896   sum_csu 13474   S.2citg2 21852   S.citg 21854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-sum 13475  df-itg 21859
This theorem is referenced by:  itgfsum  22060  itgulm2  22630  fourierdlem112  31746
  Copyright terms: Public domain W3C validator