MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfielex Structured version   Unicode version

Theorem nfielex 7741
Description: If a class is not finite, it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfielex  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  x  e.  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nfielex
StepHypRef Expression
1 0fin 7740 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2526 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 233 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A  e. 
Fin )
43con3i 135 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  A  =  (/) )
5 neq0 3794 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
64, 5sylib 196 1  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  x  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   (/)c0 3783   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-om 6674  df-en 7510  df-fin 7513
This theorem is referenced by:  cusgrafi  24684  esumcst  28292
  Copyright terms: Public domain W3C validator