Theorem nfdisj 4385

Description: Bound-variable hypothesis builder for disjoint collection. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfdisj.1	|- F/_ y A
nfdisj.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfdisj	|- F/ yDisj x e. A B

Proof of Theorem nfdisj

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisj2 4375	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. z E* x ( x e. A /\ z e. B ) )
2		nftru 1677	. . . . 5 |- F/ x T.
3		nfcvf 2615	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
4		nfdisj.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y A )
6	3, 5	nfeld 2600	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y x e. A )
7		nfdisj.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ y B
8	7	nfcri 2586	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. B
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y z e. B )
10	6, 9	nfand 2008	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> F/ y ( x e. A /\ z e. B ) )
11	10	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A /\ z e. B ) )
12	2, 11	nfmod2 2312	. . . 4 |- ( T. -> F/ y E* x ( x e. A /\ z e. B ) )
13	12	trud 1453	. . 3 |- F/ y E* x ( x e. A /\ z e. B )
14	13	nfal 2030	. 2 |- F/ y A. z E* x ( x e. A /\ z e. B )
15	1, 14	nfxfr 1696	1 |- F/ yDisj x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 371   A.wal 1442   T. wtru 1445   F/wnf 1667   e. wcel 1887   E*wmo 2300   F/_wnfc 2579  Disj wdisj 4373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-rmo 2745  df-disj 4374

This theorem is referenced by:  disjxiun  4399