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Theorem nfdisj 4404
Description: Bound-variable hypothesis builder for disjoint collection. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfdisj.1  |-  F/_ y A
nfdisj.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfdisj  |-  F/ yDisj  x  e.  A  B

Proof of Theorem nfdisj
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfdisj2 4394 . 2  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. z E* x ( x  e.  A  /\  z  e.  B ) )
2 nftru 1674 . . . . 5  |-  F/ x T.
3 nfcvf 2610 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
4 nfdisj.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y A )
63, 5nfeld 2593 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  x  e.  A )
7 nfdisj.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y B
87nfcri 2578 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  e.  B
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y 
z  e.  B )
106, 9nfand 1982 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y
( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )
1110adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )
122, 11nfmod2 2280 . . . 4  |-  ( T. 
->  F/ y E* x
( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )
1312trud 1447 . . 3  |-  F/ y E* x ( x  e.  A  /\  z  e.  B )
1413nfal 2004 . 2  |-  F/ y A. z E* x
( x  e.  A  /\  z  e.  B
)
151, 14nfxfr 1693 1  |-  F/ yDisj  x  e.  A  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 371   A.wal 1436   T. wtru 1439   F/wnf 1664    e. wcel 1869   E*wmo 2267   F/_wnfc 2571  Disj wdisj 4392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-rmo 2784  df-disj 4393
This theorem is referenced by:  disjxiun  4418
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