Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nexple Structured version   Unicode version

Theorem nexple 27830
Description: A lower bound for an exponentiation. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nexple  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )

Proof of Theorem nexple
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
2 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
3 simpl3 1001 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  2  <_  B )
41, 2, 33jca 1176 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B ) )
5 biidd 237 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B ) ) )
6 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
7 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
86, 7breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) )
95, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
11 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
1210, 11breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  n  <_  ( B ^ n ) ) )
1312imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) ) ) )
14 biidd 237 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B ) ) )
15 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
16 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
n  +  1 ) ) )
1715, 16breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( B ^ (
n  +  1 ) ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( B ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
19 biidd 237 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B ) ) )
20 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
21 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ A
) )
2220, 21breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
2319, 22imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) ) ) )
24 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  B  e.  RR )
25 1nn0 10823 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  NN0 )
27 1re 9607 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  RR )
29 2re 10617 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  e.  RR )
31 1le2 10761 . . . . . . . 8  |-  1  <_  2
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  2 )
33 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  <_  B )
3428, 30, 24, 32, 33letrd 9750 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  B )
3524, 26, 34expge1d 12309 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  ( B ^ 1 ) )
36 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN )
3736nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN0 )
3837nn0red 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  RR )
3927a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  e.  RR )
4038, 39readdcld 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
41243ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  RR )
4238, 41remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  e.  RR )
4341, 37reexpcld 12307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
4443, 41remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( ( B ^ n )  x.  B )  e.  RR )
4529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  e.  RR )
4638, 45remulcld 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  e.  RR )
47 nnge1 10574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
4836, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  <_  n
)
4939, 38, 38, 48leadd2dd 10179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  +  n ) )
5038recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  CC )
5150times2d 10794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  =  ( n  +  n ) )
5249, 51breqtrrd 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  2 ) )
5337nn0ge0d 10867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  n
)
54 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  <_  B
)
5545, 41, 38, 53, 54lemul2ad 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  <_  (
n  x.  B ) )
5640, 46, 42, 52, 55letrd 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  B ) )
57 0nn0 10822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  NN0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  e.  NN0 )
5958nn0red 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  e.  RR )
60 0le2 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  2 )
6259, 30, 24, 61, 33letrd 9750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  B )
63623ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  B
)
64 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  <_  ( B ^ n ) )
6538, 43, 41, 63, 64lemul1ad 10497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
6640, 42, 44, 56, 65letrd 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
6741recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  CC )
68 expp1 12153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( B ^ n )  x.  B ) )
6967, 37, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( B ^ n
)  x.  B ) )
7066, 69breqtrrd 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) )
71703expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )
)  ->  ( n  <_  ( B ^ n
)  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( B ^ (
n  +  1 ) ) ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  <_  ( B ^ n )  -> 
( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
7372a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) )  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
749, 13, 18, 23, 35, 73nnind 10566 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
75743impib 1194 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
764, 75syl 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
77 0le1 10088 . . . 4  |-  0  <_  1
7877a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  1
)
79 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  =  0 )
8079oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  ( B ^ 0 ) )
81 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  RR )
8281recnd 9634 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  CC )
8382exp0d 12284 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^
0 )  =  1 )
8480, 83eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  1 )
8578, 79, 843brtr4d 4483 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
86 elnn0 10809 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
8786biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
88873ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
8976, 85, 88mpjaodan 784 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    <_ cle 9641   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  oddpwdc  28118
  Copyright terms: Public domain W3C validator