Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nexple Structured version   Unicode version

Theorem nexple 28670
Description: A lower bound for an exponentiation. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nexple  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )

Proof of Theorem nexple
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
2 simpl2 1009 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
3 simpl3 1010 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  2  <_  B )
4 id 23 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
5 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
64, 5breq12d 4439 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) )
76imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) ) )
8 id 23 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
9 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
108, 9breq12d 4439 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  n  <_  ( B ^ n ) ) )
1110imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) ) ) )
12 id 23 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
13 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
n  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4439 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( B ^ (
n  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( B ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
16 id 23 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
17 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ A
) )
1816, 17breq12d 4439 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
1918imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) ) ) )
20 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  B  e.  RR )
21 1nn0 10885 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  NN0 )
23 1red 9657 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  RR )
24 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  e.  RR )
26 1le2 10823 . . . . . . . 8  |-  1  <_  2
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  2 )
28 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  <_  B )
2923, 25, 20, 27, 28letrd 9791 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  B )
3020, 22, 29expge1d 12432 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  ( B ^ 1 ) )
31 simp1 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN )
3231nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN0 )
3332nn0red 10926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  RR )
34 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  e.  RR )
3533, 34readdcld 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
36203ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  RR )
3733, 36remulcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  e.  RR )
3836, 32reexpcld 12430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
3938, 36remulcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( ( B ^ n )  x.  B )  e.  RR )
4024a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  e.  RR )
4133, 40remulcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  e.  RR )
4231nnge1d 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  <_  n
)
4334, 33, 33, 42leadd2dd 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  +  n ) )
4433recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  CC )
4544times2d 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  =  ( n  +  n ) )
4643, 45breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  2 ) )
4732nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  n
)
48 simp2r 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  <_  B
)
4940, 36, 33, 47, 48lemul2ad 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  <_  (
n  x.  B ) )
5035, 41, 37, 46, 49letrd 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  B ) )
51 0red 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  e.  RR )
52 0le2 10700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  2 )
5451, 25, 20, 53, 28letrd 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  B )
55543ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  B
)
56 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  <_  ( B ^ n ) )
5733, 38, 36, 55, 56lemul1ad 10546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
5835, 37, 39, 50, 57letrd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
5936recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  CC )
6059, 32expp1d 12414 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( B ^ n
)  x.  B ) )
6158, 60breqtrrd 4452 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) )
62613exp 1204 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  <_  ( B ^ n )  -> 
( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
6362a2d 29 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) )  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
647, 11, 15, 19, 30, 63nnind 10627 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
65643impib 1203 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
661, 2, 3, 65syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
67 0le1 10136 . . . 4  |-  0  <_  1
6867a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  1
)
69 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  =  0 )
7069oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  ( B ^ 0 ) )
71 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  RR )
7271recnd 9668 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  CC )
7372exp0d 12407 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^
0 )  =  1 )
7470, 73eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  1 )
7568, 69, 743brtr4d 4456 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
76 elnn0 10871 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
7776biimpi 197 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
78773ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
7966, 75, 78mpjaodan 793 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    <_ cle 9675   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  oddpwdc  29013
  Copyright terms: Public domain W3C validator