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Theorem nexple 26470
Description: A lower bound for an exponentiation. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nexple  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )

Proof of Theorem nexple
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
2 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
3 simpl3 993 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  2  <_  B )
41, 2, 33jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B ) )
5 biidd 237 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B ) ) )
6 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
7 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
86, 7breq12d 4326 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) )
95, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
11 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
1210, 11breq12d 4326 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  n  <_  ( B ^ n ) ) )
1312imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) ) ) )
14 biidd 237 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B ) ) )
15 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
16 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
n  +  1 ) ) )
1715, 16breq12d 4326 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( B ^ (
n  +  1 ) ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( B ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
19 biidd 237 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B ) ) )
20 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
21 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ A
) )
2220, 21breq12d 4326 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
2319, 22imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) ) ) )
24 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  B  e.  RR )
25 1nn0 10616 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  NN0 )
27 1re 9406 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  RR )
29 2re 10412 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  e.  RR )
31 1le2 10556 . . . . . . . 8  |-  1  <_  2
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  2 )
33 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  <_  B )
3428, 30, 24, 32, 33letrd 9549 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  B )
3524, 26, 34expge1d 12048 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  ( B ^ 1 ) )
36 simp1 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN )
3736nnnn0d 10657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN0 )
3837nn0red 10658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  RR )
3927a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  e.  RR )
4038, 39readdcld 9434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
41243ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  RR )
4238, 41remulcld 9435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  e.  RR )
4341, 37reexpcld 12046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
4443, 41remulcld 9435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( ( B ^ n )  x.  B )  e.  RR )
4529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  e.  RR )
4638, 45remulcld 9435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  e.  RR )
47 nnge1 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
4836, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  <_  n
)
4939, 38, 38, 48leadd2dd 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  +  n ) )
5038recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  CC )
5150times2d 10589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  =  ( n  +  n ) )
5249, 51breqtrrd 4339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  2 ) )
5337nn0ge0d 10660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  n
)
54 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  <_  B
)
5545, 41, 38, 53, 54lemul2ad 10294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  <_  (
n  x.  B ) )
5640, 46, 42, 52, 55letrd 9549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  B ) )
57 0nn0 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  NN0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  e.  NN0 )
5958nn0red 10658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  e.  RR )
60 0le2 10433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  2 )
6259, 30, 24, 61, 33letrd 9549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  B )
63623ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  B
)
64 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  <_  ( B ^ n ) )
6538, 43, 41, 63, 64lemul1ad 10293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
6640, 42, 44, 56, 65letrd 9549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
6741recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  CC )
68 expp1 11893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( B ^ n )  x.  B ) )
6967, 37, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( B ^ n
)  x.  B ) )
7066, 69breqtrrd 4339 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) )
71703expia 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )
)  ->  ( n  <_  ( B ^ n
)  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( B ^ (
n  +  1 ) ) ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  <_  ( B ^ n )  -> 
( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
7372a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) )  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
749, 13, 18, 23, 35, 73nnind 10361 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
75743impib 1185 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
764, 75syl 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
77 0le1 9884 . . . 4  |-  0  <_  1
7877a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  1
)
79 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  =  0 )
8079oveq2d 6128 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  ( B ^ 0 ) )
81 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  RR )
8281recnd 9433 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  CC )
8382exp0d 12023 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^
0 )  =  1 )
8480, 83eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  1 )
8578, 79, 843brtr4d 4343 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
86 elnn0 10602 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
8786biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
88873ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
8976, 85, 88mpjaodan 784 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    <_ cle 9440   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ^cexp 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-exp 11887
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