Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nexple Structured version   Unicode version

Theorem nexple 28166
Description: A lower bound for an exponentiation. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nexple  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )

Proof of Theorem nexple
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
2 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
3 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  2  <_  B )
4 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
5 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
64, 5breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) )
76imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  1  <_  ( B ^ 1 ) ) ) )
8 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
9 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
108, 9breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  n  <_  ( B ^ n ) ) )
1110imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) ) ) )
12 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
13 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
n  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( B ^ (
n  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( B ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
16 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
17 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ A
) )
1816, 17breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <_  ( B ^ k )  <->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  k  <_  ( B ^ k
) )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) ) ) )
20 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  B  e.  RR )
21 1nn0 10832 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  NN0 )
23 1red 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  e.  RR )
24 2re 10626 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  e.  RR )
26 1le2 10770 . . . . . . . 8  |-  1  <_  2
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  2 )
28 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
2  <_  B )
2923, 25, 20, 27, 28letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  B )
3020, 22, 29expge1d 12332 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
1  <_  ( B ^ 1 ) )
31 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN )
3231nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  NN0 )
3332nn0red 10874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  RR )
34 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  e.  RR )
3533, 34readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
36203ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  RR )
3733, 36remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  e.  RR )
3836, 32reexpcld 12330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
3938, 36remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( ( B ^ n )  x.  B )  e.  RR )
4024a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  e.  RR )
4133, 40remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  e.  RR )
4231nnge1d 10599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  1  <_  n
)
4334, 33, 33, 42leadd2dd 10188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  +  n ) )
4433recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  e.  CC )
4544times2d 10803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  =  ( n  +  n ) )
4643, 45breqtrrd 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  2 ) )
4732nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  n
)
48 simp2r 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  2  <_  B
)
4940, 36, 33, 47, 48lemul2ad 10506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  2 )  <_  (
n  x.  B ) )
5035, 41, 37, 46, 49letrd 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
n  x.  B ) )
51 0red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  e.  RR )
52 0le2 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  2 )
5451, 25, 20, 53, 28letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  -> 
0  <_  B )
55543ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  0  <_  B
)
56 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  n  <_  ( B ^ n ) )
5733, 38, 36, 55, 56lemul1ad 10505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  x.  B )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
5835, 37, 39, 50, 57letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  (
( B ^ n
)  x.  B ) )
5936recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  B  e.  CC )
6059, 32expp1d 12314 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( B ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( B ^ n
)  x.  B ) )
6158, 60breqtrrd 4482 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  n  <_  ( B ^ n ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) )
62613exp 1195 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  <_  ( B ^ n )  -> 
( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
6362a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  n  <_  ( B ^ n
) )  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( n  +  1 )  <_  ( B ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
647, 11, 15, 19, 30, 63nnind 10574 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A ) ) )
65643impib 1194 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
661, 2, 3, 65syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  e.  NN )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
67 0le1 10097 . . . 4  |-  0  <_  1
6867a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  1
)
69 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  =  0 )
7069oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  ( B ^ 0 ) )
71 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  RR )
7271recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  B  e.  CC )
7372exp0d 12307 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^
0 )  =  1 )
7470, 73eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  ( B ^ A )  =  1 )
7568, 69, 743brtr4d 4486 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  /\  A  =  0 )  ->  A  <_  ( B ^ A ) )
76 elnn0 10818 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
7776biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
78773ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
7966, 75, 78mpjaodan 786 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR  /\  2  <_  B )  ->  A  <_  ( B ^ A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ^cexp 12169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-seq 12111  df-exp 12170
This theorem is referenced by:  oddpwdc  28490
  Copyright terms: Public domain W3C validator