MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neq0 Unicode version

Theorem neq0 3598
Description: A nonempty class has at least one element. Proposition 5.17(1) of [TakeutiZaring] p. 20. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
neq0  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem neq0
StepHypRef Expression
1 df-ne 2569 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
2 n0 3597 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
31, 2bitr3i 243 1  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   (/)c0 3588
This theorem is referenced by:  eq0  3602  ralidm  3691  snprc  3831  pwpw0  3906  sssn  3917  pwsnALT  3970  uni0b  4000  disjor  4156  isomin  6016  mpt2xopynvov0g  6424  mpt2xopxnop0  6425  erdisj  6911  ixpprc  7042  domunsn  7216  sucdom2  7262  isinf  7281  nfielex  7296  enp1i  7302  xpfi  7337  scottex  7765  acndom  7888  axcclem  8293  axpowndlem3  8430  canthp1lem1  8483  isumltss  12583  ppttop  17026  ntreq0  17096  txindis  17619  txcon  17674  fmfnfm  17943  ptcmplem2  18037  ptcmplem3  18038  bddmulibl  19683  pf1rcl  19922  strlem1  23706  disjorf  23974  fnchoice  27567  bnj1143  28867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-v 2918  df-dif 3283  df-nul 3589
  Copyright terms: Public domain W3C validator