MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neq0 Unicode version

Theorem neq0 3372
Description: A nonempty class has at least one element. Proposition 5.17(1) of [TakeutiZaring] p. 20. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
neq0  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem neq0
StepHypRef Expression
1 df-ne 2414 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
2 n0 3371 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
31, 2bitr3i 244 1  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   (/)c0 3362
This theorem is referenced by:  eq0  3376  ralidm  3463  snprc  3599  pwpw0  3663  sssn  3672  pwsnALT  3722  uni0b  3750  disjor  3904  isomin  5686  erdisj  6593  ixpprc  6723  domunsn  6896  sucdom2  6942  isinf  6961  enp1i  6978  xpfi  7013  scottex  7439  acndom  7562  axcclem  7967  axpowndlem3  8101  canthp1lem1  8154  isumltss  12181  ppttop  16576  ntreq0  16646  txindis  17160  txcon  17215  fmfnfm  17485  ptcmplem2  17579  ptcmplem3  17580  bddmulibl  19025  pf1rcl  19264  strlem1  22660  hpd  25335  bnj1143  27511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-v 2729  df-dif 3081  df-nul 3363
  Copyright terms: Public domain W3C validator