MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nelfzo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nelfzo 11925
Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nelfzo  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e/  ( M..^ N
)  <->  ( K  < 
M  \/  N  <_  K ) ) )

Proof of Theorem nelfzo
StepHypRef Expression
1 df-nel 2625 . 2  |-  ( K  e/  ( M..^ N
)  <->  -.  K  e.  ( M..^ N ) )
2 ianor 491 . . . 4  |-  ( -.  ( M  <_  K  /\  K  <  N )  <-> 
( -.  M  <_  K  \/  -.  K  <  N ) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( M  <_  K  /\  K  <  N )  <-> 
( -.  M  <_  K  \/  -.  K  <  N ) ) )
4 elfzo 11922 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
54notbid 296 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  <->  -.  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
6 zre 10941 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
7 zre 10941 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
86, 7anim12i 570 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
983adant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
10 ltnle 9713 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( K  <  M  <->  -.  M  <_  K )
)
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  M  <->  -.  M  <_  K ) )
12 zre 10941 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
136, 12anim12ci 571 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
14133adant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
15 lenlt 9712 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( N  <_  K  <->  -.  K  <  N ) )
1614, 15syl 17 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  -.  K  <  N ) )
1711, 16orbi12d 716 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  <  M  \/  N  <_  K )  <-> 
( -.  M  <_  K  \/  -.  K  <  N ) ) )
183, 5, 173bitr4d 289 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  <->  ( K  <  M  \/  N  <_  K ) ) )
191, 18syl5bb 261 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e/  ( M..^ N
)  <->  ( K  < 
M  \/  N  <_  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    e. wcel 1887    e/ wnel 2623   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZcz 10937  ..^cfzo 11915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  12701
  Copyright terms: Public domain W3C validator