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Theorem neitx 19843
Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x  |-  X  = 
U. J
neitx.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
neitx  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) ) )

Proof of Theorem neitx
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21neii1 19373 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  A  C_  X )
32ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  A  C_  X )
4 neitx.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
54neii1 19373 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  B  C_  Y )
65ad2ant2l 745 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  B  C_  Y )
7 xpss12 5106 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  Y )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( X  X.  Y ) )
83, 6, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( X  X.  Y
) )
91, 4txuni 19828 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( J  tX  K ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( J  tX  K ) )
118, 10sseqtrd 3540 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
) )
12 simp-5l 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e. 
Top ) )
13 simp-4r 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  a  e.  J )
14 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  b  e.  K )
15 txopn 19838 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  K
) )  ->  (
a  X.  b )  e.  ( J  tX  K ) )
1612, 13, 14, 15syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( a  X.  b )  e.  ( J  tX  K ) )
17 simpr1l 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  (
( C  C_  a  /\  a  C_  A )  /\  b  e.  K  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) ) )  ->  C  C_  a )
18173anassrs 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  C  C_  a
)
19 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  D  C_  b
)
20 xpss12 5106 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  a  /\  D  C_  b )  -> 
( C  X.  D
)  C_  ( a  X.  b ) )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b ) )
22 simpr1r 1054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  (
( C  C_  a  /\  a  C_  A )  /\  b  e.  K  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) ) )  ->  a  C_  A )
23223anassrs 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  a  C_  A )
24 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  b  C_  B )
25 xpss12 5106 . . . . . 6  |-  ( ( a  C_  A  /\  b  C_  B )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( A  X.  B ) )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) )
27 sseq2 3526 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
( C  X.  D
)  C_  c  <->  ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b ) ) )
28 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
c  C_  ( A  X.  B )  <->  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) )
2927, 28anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) ) )
3029rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( a  X.  b
)  e.  ( J 
tX  K )  /\  ( ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
3116, 21, 26, 30syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
32 neii2 19375 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3332ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3433ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3531, 34r19.29a 3003 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K ) ( ( C  X.  D
)  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
36 neii2 19375 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  E. a  e.  J  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )
3736ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. a  e.  J  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )
3835, 37r19.29a 3003 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
39 txtop 19805 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
4039adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( J  tX  K )  e. 
Top )
411neiss2 19368 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  C  C_  X )
4241ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  C  C_  X )
434neiss2 19368 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  D  C_  Y )
4443ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  D  C_  Y )
45 xpss12 5106 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  X  /\  D  C_  Y )  -> 
( C  X.  D
)  C_  ( X  X.  Y ) )
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( C  X.  D )  C_  ( X  X.  Y
) )
4746, 10sseqtrd 3540 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( C  X.  D )  C_  U. ( J  tX  K
) )
48 eqid 2467 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
4948isnei 19370 . . 3  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  ( C  X.  D
)  C_  U. ( J  tX  K ) )  ->  ( ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
)  /\  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5040, 47, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( ( nei `  ( J 
tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
)  /\  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5111, 38, 50mpbir2and 920 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   U.cuni 4245    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Topctop 19161   neicnei 19364    tX ctx 19796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-nei 19365  df-tx 19798
This theorem is referenced by:  utop2nei  20488  utop3cls  20489
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