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Theorem neitx 17592
Description: The cross product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x  |-  X  = 
U. J
neitx.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
neitx  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) ) )

Proof of Theorem neitx
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21neii1 17125 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  A  C_  X )
32ad2ant2r 728 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  A  C_  X )
4 neitx.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
54neii1 17125 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  B  C_  Y )
65ad2ant2l 727 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  B  C_  Y )
7 xpss12 4940 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  Y )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( X  X.  Y ) )
83, 6, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( X  X.  Y
) )
91, 4txuni 17577 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( J  tX  K ) )
109adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( J  tX  K ) )
118, 10sseqtrd 3344 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
) )
12 simp-5l 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e. 
Top ) )
13 simp-4r 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  a  e.  J )
14 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  b  e.  K )
15 txopn 17587 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  K
) )  ->  (
a  X.  b )  e.  ( J  tX  K ) )
1612, 13, 14, 15syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( a  X.  b )  e.  ( J  tX  K ) )
17 simpr1l 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  (
( C  C_  a  /\  a  C_  A )  /\  b  e.  K  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) ) )  ->  C  C_  a )
18173anassrs 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  C  C_  a
)
19 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  D  C_  b
)
20 xpss12 4940 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  a  /\  D  C_  b )  -> 
( C  X.  D
)  C_  ( a  X.  b ) )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b ) )
22 simpr1r 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  (
( C  C_  a  /\  a  C_  A )  /\  b  e.  K  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) ) )  ->  a  C_  A )
23223anassrs 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  a  C_  A )
24 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  b  C_  B )
25 xpss12 4940 . . . . . 6  |-  ( ( a  C_  A  /\  b  C_  B )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( A  X.  B ) )
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) )
27 sseq2 3330 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
( C  X.  D
)  C_  c  <->  ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b ) ) )
28 sseq1 3329 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
c  C_  ( A  X.  B )  <->  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) )
2927, 28anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( a  X.  b )  ->  (
( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) ) )
3029rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( a  X.  b
)  e.  ( J 
tX  K )  /\  ( ( C  X.  D )  C_  (
a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( A  X.  B ) ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
3116, 21, 26, 30syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  /\  b  e.  K )  /\  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
32 neii2 17127 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3332ad2ant2l 727 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3433ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  ->  E. b  e.  K  ( D  C_  b  /\  b  C_  B ) )
3531, 34r19.29a 2810 . . 3  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  C )  /\  B  e.  ( ( nei `  K
) `  D )
) )  /\  a  e.  J )  /\  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K ) ( ( C  X.  D
)  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
36 neii2 17127 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  E. a  e.  J  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )
3736ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. a  e.  J  ( C  C_  a  /\  a  C_  A ) )
3835, 37r19.29a 2810 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) )
39 txtop 17554 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
4039adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( J  tX  K )  e. 
Top )
411neiss2 17120 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( ( nei `  J ) `  C ) )  ->  C  C_  X )
4241ad2ant2r 728 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  C  C_  X )
434neiss2 17120 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  ( ( nei `  K ) `  D ) )  ->  D  C_  Y )
4443ad2ant2l 727 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  D  C_  Y )
45 xpss12 4940 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  X  /\  D  C_  Y )  -> 
( C  X.  D
)  C_  ( X  X.  Y ) )
4642, 44, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( C  X.  D )  C_  ( X  X.  Y
) )
4746, 10sseqtrd 3344 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( C  X.  D )  C_  U. ( J  tX  K
) )
48 eqid 2404 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
4948isnei 17122 . . 3  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  ( C  X.  D
)  C_  U. ( J  tX  K ) )  ->  ( ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
)  /\  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5040, 47, 49syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( ( nei `  ( J 
tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( J  tX  K
)  /\  E. c  e.  ( J  tX  K
) ( ( C  X.  D )  C_  c  /\  c  C_  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5111, 38, 50mpbir2and 889 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  C )  /\  B  e.  (
( nei `  K
) `  D )
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( ( nei `  ( J  tX  K ) ) `
 ( C  X.  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   U.cuni 3975    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Topctop 16913   neicnei 17116    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  utop2nei  18233  utop3cls  18234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-nei 17117  df-tx 17547
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