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Theorem neitr 17198
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neitr  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  B )  =  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
) )

Proof of Theorem neitr
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ d ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )
2 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ d  c  C_  U. ( Jt  A )
3 nfre1 2722 . . . . . . 7  |-  F/ d E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c )
42, 3nfan 1842 . . . . . 6  |-  F/ d ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) )
51, 4nfan 1842 . . . . 5  |-  F/ d ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )
6 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) )  ->  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )
76anim2i 553 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) ) )
8 simp-5r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )
9 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
10 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  A  C_  X )
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  = 
U. J
1211restuni 17180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
139, 10, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
1413ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
158, 14sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  C_  A )
1610ad5antr 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  A  C_  X )
1715, 16sstrd 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  C_  X )
189ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  J  e.  Top )
19 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  e  e.  J )
2011eltopss 16935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  e  e.  J )  ->  e  C_  X )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  e  C_  X )
2221ssdifssd 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
e  \  A )  C_  X )
2317, 22unssd 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
c  u.  ( e 
\  A ) ) 
C_  X )
24 simpr1l 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( ( B  C_  d  /\  d  C_  c
)  /\  e  e.  J  /\  d  =  ( e  i^i  A ) ) )  ->  B  C_  d )
25243anassrs 1175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  B  C_  d )
26 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  d  =  ( e  i^i 
A ) )
2725, 26sseqtrd 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  B  C_  ( e  i^i  A
) )
28 inss1 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  i^i  A )  C_  e
2927, 28syl6ss 3320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  B  C_  e )
30 inundif 3666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  i^i  A )  u.  ( e  \  A ) )  =  e
31 simpr1r 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( ( B  C_  d  /\  d  C_  c
)  /\  e  e.  J  /\  d  =  ( e  i^i  A ) ) )  ->  d  C_  c )
32313anassrs 1175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  d  C_  c )
3326, 32eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
e  i^i  A )  C_  c )
34 unss1 3476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  i^i  A ) 
C_  c  ->  (
( e  i^i  A
)  u.  ( e 
\  A ) ) 
C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
( e  i^i  A
)  u.  ( e 
\  A ) ) 
C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) )
3630, 35syl5eqssr 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  e  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) )
37 sseq2 3330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  ( B  C_  b  <->  B  C_  e
) )
38 sseq1 3329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  (
b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) )  <->  e  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) )
3937, 38anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A ) ) )  <-> 
( B  C_  e  /\  e  C_  ( c  u.  ( e  \  A ) ) ) ) )
4039rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  J  /\  ( B  C_  e  /\  e  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )  ->  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )
4119, 29, 36, 40syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) )
42 indir 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  u.  ( e 
\  A ) )  i^i  A )  =  ( ( c  i^i 
A )  u.  (
( e  \  A
)  i^i  A )
)
43 incom 3493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( e  \  A ) )  =  ( ( e  \  A )  i^i  A
)
44 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( e  \  A ) )  =  (/)
4543, 44eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  \  A )  i^i  A )  =  (/)
4645uneq2i 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  i^i  A )  u.  ( ( e 
\  A )  i^i 
A ) )  =  ( ( c  i^i 
A )  u.  (/) )
47 un0 3612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  i^i  A )  u.  (/) )  =  ( c  i^i  A )
4842, 46, 473eqtri 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  u.  ( e 
\  A ) )  i^i  A )  =  ( c  i^i  A
)
49 df-ss 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  A  <->  ( c  i^i  A )  =  c )
5049biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
C_  A  ->  (
c  i^i  A )  =  c )
5148, 50syl5req 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( c 
C_  A  ->  c  =  ( ( c  u.  ( e  \  A ) )  i^i 
A ) )
5215, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  =  ( ( c  u.  ( e  \  A ) )  i^i 
A ) )
53 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
54 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  e  e. 
_V
55 difexg 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  _V  ->  (
e  \  A )  e.  _V )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( e 
\  A )  e. 
_V
5753, 56unex 4666 . . . . . . . . 9  |-  ( c  u.  ( e  \  A ) )  e. 
_V
58 sseq1 3329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
a  C_  X  <->  ( c  u.  ( e  \  A
) )  C_  X
) )
59 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
b  C_  a  <->  b  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) )
6059anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
( B  C_  b  /\  b  C_  a )  <-> 
( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A ) ) ) ) )
6160rexbidv 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  ( E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a )  <->  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) ) )
6258, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  <-> 
( ( c  u.  ( e  \  A
) )  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) ) ) )
63 ineq1 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
a  i^i  A )  =  ( ( c  u.  ( e  \  A ) )  i^i 
A ) )
6463eqeq2d 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
c  =  ( a  i^i  A )  <->  c  =  ( ( c  u.  ( e  \  A
) )  i^i  A
) ) )
6562, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  <->  ( (
( c  u.  (
e  \  A )
)  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )  /\  c  =  ( ( c  u.  (
e  \  A )
)  i^i  A )
) ) )
6657, 65spcev 3003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  u.  ( e  \  A
) )  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )  /\  c  =  ( ( c  u.  (
e  \  A )
)  i^i  A )
)  ->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) )
6723, 41, 52, 66syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) )
689ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  J  e.  Top )
69 uniexg 4665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
709, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  U. J  e.  _V )
7111, 70syl5eqel 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  _V )
7271, 10ssexd 4310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  _V )
7372ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  A  e.  _V )
74 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  d  e.  ( Jt  A ) )
75 elrest 13610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( d  e.  ( Jt  A )  <->  E. e  e.  J  d  =  ( e  i^i  A
) ) )
7675biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  ->  E. e  e.  J  d  =  ( e  i^i  A ) )
7768, 73, 74, 76syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  E. e  e.  J  d  =  ( e  i^i  A ) )
7867, 77r19.29a 2810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  E. a ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )
797, 78sylanl1 632 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  (
c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  /\  d  e.  ( Jt  A
) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )
80 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
815, 79, 80r19.29af 2809 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  ->  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )
82 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  i^i  A )  C_  A
83 sseq1 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
c  C_  A  <->  ( a  i^i  A )  C_  A
) )
8482, 83mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( a  i^i 
A )  ->  c  C_  A )
8584adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  ->  c  C_  A )
8685exlimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
c  C_  A )
8786adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  c  C_  A
)
8813adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
8987, 88sseqtrd 3344 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  c  C_  U. ( Jt  A ) )
909ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  J  e.  Top )
9172ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  A  e.  _V )
92 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  b  e.  J )
93 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V  /\  b  e.  J )  ->  (
b  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( b  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
95 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  B  C_  b
)
96 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
9796ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  B  C_  A
)
9895, 97ssind 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  B  C_  (
b  i^i  A )
)
99 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  b  C_  a )
100 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b 
C_  a  ->  (
b  i^i  A )  C_  ( a  i^i  A
) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
)
102 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  c  =  ( a  i^i  A
) )
103101, 102sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  c
)
10494, 98, 103jca32 522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( (
b  i^i  A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
105104ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  ->  ( ( B  C_  b  /\  b  C_  a
)  ->  ( (
b  i^i  A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
106105reximdva 2778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  /\  a  C_  X )  ->  ( E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
107106impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  /\  ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
108107an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
109108expl 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
110109exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  ( E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
111110imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
112 sseq2 3330 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( b  i^i 
A )  ->  ( B  C_  d  <->  B  C_  (
b  i^i  A )
) )
113 sseq1 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( b  i^i 
A )  ->  (
d  C_  c  <->  ( b  i^i  A )  C_  c
) )
114112, 113anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( b  i^i 
A )  ->  (
( B  C_  d  /\  d  C_  c )  <-> 
( B  C_  (
b  i^i  A )  /\  ( b  i^i  A
)  C_  c )
) )
115114rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  ( B 
C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
116115rexlimivw 2786 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  J  ( ( b  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  ( B 
C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
117111, 116syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
11889, 117jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )
11981, 118impbida 806 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) )  <->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) ) )
120 resttop 17178 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
1219, 72, 120syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
12296, 13sseqtrd 3344 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_ 
U. ( Jt  A ) )
123 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
124123isnei 17122 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  B  C_  U. ( Jt  A ) )  -> 
( c  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  B )  <->  ( c  C_ 
U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) ) ) )
125121, 122, 124syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  B
)  <->  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) ) )
126 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( ( nei `  J ) `
 B )  e. 
_V
127 restval 13609 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  B )  e.  _V  /\  A  e. 
_V )  ->  (
( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  =  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) ) )
128126, 72, 127sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  =  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) ) )
129128eleq2d 2471 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  <->  c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  |->  ( a  i^i  A
) ) ) )
13096, 10sstrd 3318 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  X )
131 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( ( nei `  J ) `  B
)  |->  ( a  i^i 
A ) )  =  ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  |->  ( a  i^i  A
) )
132131elrnmpt 5076 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  _V  ->  (
c  e.  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) )  <->  E. a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
c  =  ( a  i^i  A ) ) )
13353, 132ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J ) `  B
)  |->  ( a  i^i 
A ) )  <->  E. a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
c  =  ( a  i^i  A ) )
134 df-rex 2672 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B ) c  =  ( a  i^i 
A )  <->  E. a
( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  /\  c  =  (
a  i^i  A )
) )
135133, 134bitri 241 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J ) `  B
)  |->  ( a  i^i 
A ) )  <->  E. a
( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  /\  c  =  (
a  i^i  A )
) )
13611isnei 17122 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) ) ) )
137136anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  /\  c  =  (
a  i^i  A )
)  <->  ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) ) )
138137exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( E. a ( a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  <->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) ) )
139135, 138syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  |->  ( a  i^i  A
) )  <->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) ) )
1409, 130, 139syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) )  <->  E. a ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) ) )
141129, 140bitrd 245 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  <->  E. a ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) ) )
142119, 125, 1413bitr4d 277 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  B
)  <->  c  e.  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
) ) )
143142eqrdv 2402 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  B )  =  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   neicnei 17116
This theorem is referenced by:  cnextfres  18052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-nei 17117
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