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Theorem neitr 19808
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neitr  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  B )  =  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
) )

Proof of Theorem neitr
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1708 . . . . . 6  |-  F/ d ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )
2 nfv 1708 . . . . . . 7  |-  F/ d  c  C_  U. ( Jt  A )
3 nfre1 2918 . . . . . . 7  |-  F/ d E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c )
42, 3nfan 1929 . . . . . 6  |-  F/ d ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) )
51, 4nfan 1929 . . . . 5  |-  F/ d ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) )  ->  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )
76anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) ) )
8 simp-5r 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )
9 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
10 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  A  C_  X )
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  = 
U. J
1211restuni 19790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
139, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
1413ad5antr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
158, 14sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  C_  A )
1610ad5antr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  A  C_  X )
1715, 16sstrd 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  C_  X )
189ad5antr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  J  e.  Top )
19 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  e  e.  J )
2011eltopss 19543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  e  e.  J )  ->  e  C_  X )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  e  C_  X )
2221ssdifssd 3638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
e  \  A )  C_  X )
2317, 22unssd 3676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
c  u.  ( e 
\  A ) ) 
C_  X )
24 simpr1l 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( ( B  C_  d  /\  d  C_  c
)  /\  e  e.  J  /\  d  =  ( e  i^i  A ) ) )  ->  B  C_  d )
25243anassrs 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  B  C_  d )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  d  =  ( e  i^i 
A ) )
2725, 26sseqtrd 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  B  C_  ( e  i^i  A
) )
28 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  i^i  A )  C_  e
2927, 28syl6ss 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  B  C_  e )
30 inundif 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  i^i  A )  u.  ( e  \  A ) )  =  e
31 simpr1r 1054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( ( B  C_  d  /\  d  C_  c
)  /\  e  e.  J  /\  d  =  ( e  i^i  A ) ) )  ->  d  C_  c )
32313anassrs 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  d  C_  c )
3326, 32eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
e  i^i  A )  C_  c )
34 unss1 3669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  i^i  A ) 
C_  c  ->  (
( e  i^i  A
)  u.  ( e 
\  A ) ) 
C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  (
( e  i^i  A
)  u.  ( e 
\  A ) ) 
C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) )
3630, 35syl5eqssr 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  e  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) )
37 sseq2 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  ( B  C_  b  <->  B  C_  e
) )
38 sseq1 3520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  (
b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) )  <->  e  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) )
3937, 38anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A ) ) )  <-> 
( B  C_  e  /\  e  C_  ( c  u.  ( e  \  A ) ) ) ) )
4039rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  J  /\  ( B  C_  e  /\  e  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )  ->  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )
4119, 29, 36, 40syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) )
42 indir 3753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  u.  ( e 
\  A ) )  i^i  A )  =  ( ( c  i^i 
A )  u.  (
( e  \  A
)  i^i  A )
)
43 incom 3687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( e  \  A ) )  =  ( ( e  \  A )  i^i  A
)
44 disjdif 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( e  \  A ) )  =  (/)
4543, 44eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  \  A )  i^i  A )  =  (/)
4645uneq2i 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  i^i  A )  u.  ( ( e 
\  A )  i^i 
A ) )  =  ( ( c  i^i 
A )  u.  (/) )
47 un0 3819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  i^i  A )  u.  (/) )  =  ( c  i^i  A )
4842, 46, 473eqtri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  u.  ( e 
\  A ) )  i^i  A )  =  ( c  i^i  A
)
49 df-ss 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  A  <->  ( c  i^i  A )  =  c )
5049biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
C_  A  ->  (
c  i^i  A )  =  c )
5148, 50syl5req 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( c 
C_  A  ->  c  =  ( ( c  u.  ( e  \  A ) )  i^i 
A ) )
5215, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  c  =  ( ( c  u.  ( e  \  A ) )  i^i 
A ) )
53 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
54 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  e  e. 
_V
55 difexg 4604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  _V  ->  (
e  \  A )  e.  _V )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( e 
\  A )  e. 
_V
5753, 56unex 6597 . . . . . . . . 9  |-  ( c  u.  ( e  \  A ) )  e. 
_V
58 sseq1 3520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
a  C_  X  <->  ( c  u.  ( e  \  A
) )  C_  X
) )
59 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
b  C_  a  <->  b  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) )
6059anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
( B  C_  b  /\  b  C_  a )  <-> 
( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A ) ) ) ) )
6160rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  ( E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a )  <->  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  (
e  \  A )
) ) ) )
6258, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  <-> 
( ( c  u.  ( e  \  A
) )  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) ) ) )
63 ineq1 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
a  i^i  A )  =  ( ( c  u.  ( e  \  A ) )  i^i 
A ) )
6463eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
c  =  ( a  i^i  A )  <->  c  =  ( ( c  u.  ( e  \  A
) )  i^i  A
) ) )
6562, 64anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( c  u.  ( e  \  A
) )  ->  (
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  <->  ( (
( c  u.  (
e  \  A )
)  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )  /\  c  =  ( ( c  u.  (
e  \  A )
)  i^i  A )
) ) )
6657, 65spcev 3201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  u.  ( e  \  A
) )  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  ( c  u.  ( e  \  A
) ) ) )  /\  c  =  ( ( c  u.  (
e  \  A )
)  i^i  A )
)  ->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) )
6723, 41, 52, 66syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_  U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  /\  e  e.  J
)  /\  d  =  ( e  i^i  A
) )  ->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) )
689ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  J  e.  Top )
69 uniexg 6596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
709, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  U. J  e.  _V )
7111, 70syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  _V )
7271, 10ssexd 4603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  _V )
7372ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  A  e.  _V )
74 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  d  e.  ( Jt  A ) )
75 elrest 14845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( d  e.  ( Jt  A )  <->  E. e  e.  J  d  =  ( e  i^i  A
) ) )
7675biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  ->  E. e  e.  J  d  =  ( e  i^i  A ) )
7768, 73, 74, 76syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  E. e  e.  J  d  =  ( e  i^i  A ) )
7867, 77r19.29a 2999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  C_ 
U. ( Jt  A ) )  /\  d  e.  ( Jt  A ) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  E. a ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )
797, 78sylanl1 650 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  (
c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  /\  d  e.  ( Jt  A
) )  /\  ( B  C_  d  /\  d  C_  c ) )  ->  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )
80 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
815, 79, 80r19.29af 2997 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )  ->  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )
82 inss2 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  i^i  A )  C_  A
83 sseq1 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
c  C_  A  <->  ( a  i^i  A )  C_  A
) )
8482, 83mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( a  i^i 
A )  ->  c  C_  A )
8584adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  ->  c  C_  A )
8685exlimiv 1723 . . . . . . 7  |-  ( E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
c  C_  A )
8786adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  c  C_  A
)
8813adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
8987, 88sseqtrd 3535 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  c  C_  U. ( Jt  A ) )
909ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  J  e.  Top )
9172ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  A  e.  _V )
92 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  b  e.  J )
93 elrestr 14846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V  /\  b  e.  J )  ->  (
b  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( b  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
95 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  B  C_  b
)
96 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
9796ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  B  C_  A
)
9895, 97ssind 3718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  B  C_  (
b  i^i  A )
)
99 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  b  C_  a )
100 ssrin 3719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b 
C_  a  ->  (
b  i^i  A )  C_  ( a  i^i  A
) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
)
102 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  c  =  ( a  i^i  A
) )
103101, 102sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( b  i^i  A )  C_  c
)
10494, 98, 103jca32 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  /\  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  ->  ( (
b  i^i  A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
105104ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  J )  ->  ( ( B  C_  b  /\  b  C_  a
)  ->  ( (
b  i^i  A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
106105reximdva 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  /\  a  C_  X )  ->  ( E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
107106impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  /\  ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
108107an32s 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
109108expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
110109exlimdv 1725 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  ( E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) ) )
111110imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  E. b  e.  J  ( ( b  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  ( B  C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) ) )
112 sseq2 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( b  i^i 
A )  ->  ( B  C_  d  <->  B  C_  (
b  i^i  A )
) )
113 sseq1 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( b  i^i 
A )  ->  (
d  C_  c  <->  ( b  i^i  A )  C_  c
) )
114112, 113anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( b  i^i 
A )  ->  (
( B  C_  d  /\  d  C_  c )  <-> 
( B  C_  (
b  i^i  A )  /\  ( b  i^i  A
)  C_  c )
) )
115114rspcev 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  ( B 
C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
116115rexlimivw 2946 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  J  ( ( b  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  ( B 
C_  ( b  i^i 
A )  /\  (
b  i^i  A )  C_  c ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
117111, 116syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) )
11889, 117jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  /\  E. a ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) )  ->  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) )
11981, 118impbida 832 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) )  <->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) ) )
120 resttop 19788 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
1219, 72, 120syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
12296, 13sseqtrd 3535 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_ 
U. ( Jt  A ) )
123 eqid 2457 . . . . 5  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
124123isnei 19731 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  B  C_  U. ( Jt  A ) )  -> 
( c  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  B )  <->  ( c  C_ 
U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A ) ( B 
C_  d  /\  d  C_  c ) ) ) )
125121, 122, 124syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  B
)  <->  ( c  C_  U. ( Jt  A )  /\  E. d  e.  ( Jt  A
) ( B  C_  d  /\  d  C_  c
) ) ) )
126 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( ( nei `  J ) `
 B )  e. 
_V
127 restval 14844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  B )  e.  _V  /\  A  e. 
_V )  ->  (
( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  =  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) ) )
128126, 72, 127sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  =  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) ) )
129128eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  <->  c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  |->  ( a  i^i  A
) ) ) )
13096, 10sstrd 3509 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  X )
131 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( ( nei `  J ) `  B
)  |->  ( a  i^i 
A ) )  =  ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  |->  ( a  i^i  A
) )
132131elrnmpt 5259 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  _V  ->  (
c  e.  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) )  <->  E. a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
c  =  ( a  i^i  A ) ) )
13353, 132ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J ) `  B
)  |->  ( a  i^i 
A ) )  <->  E. a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
c  =  ( a  i^i  A ) )
134 df-rex 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B ) c  =  ( a  i^i 
A )  <->  E. a
( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  /\  c  =  (
a  i^i  A )
) )
135133, 134bitri 249 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J ) `  B
)  |->  ( a  i^i 
A ) )  <->  E. a
( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  /\  c  =  (
a  i^i  A )
) )
13611isnei 19731 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) ) ) )
137136anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  /\  c  =  (
a  i^i  A )
)  <->  ( ( a 
C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) ) )
138137exbidv 1715 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( E. a ( a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) )  <->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) ) )
139135, 138syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( c  e.  ran  ( a  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  |->  ( a  i^i  A
) )  <->  E. a
( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a
) )  /\  c  =  ( a  i^i 
A ) ) ) )
1409, 130, 139syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ran  (
a  e.  ( ( nei `  J ) `
 B )  |->  ( a  i^i  A ) )  <->  E. a ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) ) )
141129, 140bitrd 253 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
)  <->  E. a ( ( a  C_  X  /\  E. b  e.  J  ( B  C_  b  /\  b  C_  a ) )  /\  c  =  ( a  i^i  A ) ) ) )
142119, 125, 1413bitr4d 285 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
c  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  B
)  <->  c  e.  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
) ) )
143142eqrdv 2454 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  B )  =  ( ( ( nei `  J
) `  B )t  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Topctop 19521   neicnei 19725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-nei 19726
This theorem is referenced by:  cnextfres  20694
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