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Theorem neitr 20196
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
neitr |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Proof of Theorem neitr
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1761 . . . . . 6 |- F/ d ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A )
2 nfv 1761 . . . . . . 7 |- F/ d c C_ U. ( J ↾t A )
3 nfre1 2848 . . . . . . 7 |- F/ d E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c )
42, 3nfan 2011 . . . . . 6 |- F/ d ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
51, 4nfan 2011 . . . . 5 |- F/ d ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
6 simpl 459 . . . . . . 7 |- ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
76anim2i 573 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) )
8 simp-5r 779 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
9 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A C_ X )
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U. J
1211restuni 20178 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
139, 10, 12syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
1413ad5antr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
158, 14sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ A )
1610ad5antr 740 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A C_ X )
1715, 16sstrd 3442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ X )
189ad5antr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> J e. Top )
19 simplr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e e. J )
2011eltopss 19937 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ e e. J ) -> e C_ X )
2118, 19, 20syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ X )
2221ssdifssd 3571 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e \ A ) C_ X )
2317, 22unssd 3610 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X )
24 simpr1l 1065 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> B C_ d )
25243anassrs 1232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ d )
26 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d = ( e i^i A ) )
2725, 26sseqtrd 3468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ ( e i^i A ) )
28 inss1 3652 . . . . . . . . . 10 |- ( e i^i A ) C_ e
2927, 28syl6ss 3444 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ e )
30 inundif 3845 . . . . . . . . . 10 |- ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) = e
31 simpr1r 1066 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> d C_ c )
32313anassrs 1232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d C_ c )
3326, 32eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e i^i A ) C_ c )
34 unss1 3603 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( e i^i A ) C_ c -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3630, 35syl5eqssr 3477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
37 sseq2 3454 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( B C_ b <-> B C_ e ) )
38 sseq1 3453 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( b C_ ( c u. ( e \ A ) ) <-> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
3937, 38anbi12d 717 . . . . . . . . . 10 |- ( b = e -> ( ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) <-> ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
4039rspcev 3150 . . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
4119, 29, 36, 40syl12anc 1266 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
42 indir 3691 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) )
43 incom 3625 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = ( ( e \ A ) i^i A )
44 disjdif 3839 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = (/)
4543, 44eqtr3i 2475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e \ A ) i^i A ) = (/)
4645uneq2i 3585 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) ) = ( ( c i^i A ) u. (/) )
47 un0 3759 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. (/) ) = ( c i^i A )
4842, 46, 473eqtri 2477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( c i^i A )
49 df-ss 3418 . . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ A <-> ( c i^i A ) = c )
5049biimpi 198 . . . . . . . . . 10 |- ( c C_ A -> ( c i^i A ) = c )
5148, 50syl5req 2498 . . . . . . . . 9 |- ( c C_ A -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
5215, 51syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
53 vex 3048 . . . . . . . . . 10 |- c e. _V
54 vex 3048 . . . . . . . . . . 11 |- e e. _V
55 difexg 4551 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> ( e \ A ) e. _V )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( e \ A ) e. _V
5753, 56unex 6589 . . . . . . . . 9 |- ( c u. ( e \ A ) ) e. _V
58 sseq1 3453 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a C_ X <-> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X ) )
59 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( b C_ a <-> b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
6059anbi2d 710 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6160rexbidv 2901 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6258, 61anbi12d 717 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) <-> ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) ) )
63 ineq1 3627 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a i^i A ) = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
6463eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( c = ( a i^i A ) <-> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) )
6562, 64anbi12d 717 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) ) )
6657, 65spcev 3141 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
6723, 41, 52, 66syl21anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
689ad3antrrr 736 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> J e. Top )
69 uniexg 6588 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
709, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> U. J e. _V )
7111, 70syl5eqel 2533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> X e. _V )
7271, 10ssexd 4550 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A e. _V )
7372ad3antrrr 736 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> A e. _V )
74 simplr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> d e. ( J ↾t A ) )
75 elrest 15326 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( d e. ( J ↾t A ) <-> E. e e. J d = ( e i^i A ) ) )
7675biimpa 487 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. _V ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7768, 73, 74, 76syl21anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7867, 77r19.29a 2932 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
797, 78sylanl1 656 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
80 simprr 766 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
815, 79, 80r19.29af 2930 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
82 inss2 3653 . . . . . . . . . 10 |- ( a i^i A ) C_ A
83 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10 |- ( c = ( a i^i A ) -> ( c C_ A <-> ( a i^i A ) C_ A ) )
8482, 83mpbiri 237 . . . . . . . . 9 |- ( c = ( a i^i A ) -> c C_ A )
8584adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8685exlimiv 1776 . . . . . . 7 |- ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8786adantl 468 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ A )
8813adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
8987, 88sseqtrd 3468 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
909ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> J e. Top )
9172ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> A e. _V )
92 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b e. J )
93 elrestr 15327 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V /\ b e. J ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
95 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ b )
96 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ A )
9796ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ A )
9895, 97ssind 3656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ ( b i^i A ) )
99 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b C_ a )
100 ssrin 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ a -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
102 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> c = ( a i^i A ) )
103101, 102sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ c )
10494, 98, 103jca32 538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
105104ex 436 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
106105reximdva 2862 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
107106impr 625 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
108107an32s 813 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
109108expl 624 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
110109exlimdv 1779 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
111110imp 431 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
112 sseq2 3454 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( B C_ d <-> B C_ ( b i^i A ) ) )
113 sseq1 3453 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( d C_ c <-> ( b i^i A ) C_ c ) )
114112, 113anbi12d 717 . . . . . . . 8 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( ( B C_ d /\ d C_ c ) <-> ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
115114rspcev 3150 . . . . . . 7 |- ( ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
116115rexlimivw 2876 . . . . . 6 |- ( E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
117111, 116syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
11889, 117jca 535 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
11981, 118impbida 843 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
120 resttop 20176 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
1219, 72, 120syl2anc 667 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
12296, 13sseqtrd 3468 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
123 eqid 2451 . . . . 5 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
124123isnei 20119 . . . 4 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ B C_ U. ( J ↾t A ) ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
125121, 122, 124syl2anc 667 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
126 fvex 5875 . . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V
127 restval 15325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
128126, 72, 127sylancr 669 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
129128eleq2d 2514 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) ) )
13096, 10sstrd 3442 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ X )
131 eqid 2451 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) = ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) )
132131elrnmpt 5081 . . . . . . . 8 |- ( c e. _V -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) ) )
13353, 132ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) )
134 df-rex 2743 . . . . . . 7 |- ( E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
135133, 134bitri 253 . . . . . 6 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
13611isnei 20119 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) )
137136anbi1d 711 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
138137exbidv 1768 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
139135, 138syl5bb 261 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
1409, 130, 139syl2anc 667 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
141129, 140bitrd 257 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
142119, 125, 1413bitr4d 289 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) ) )
143142eqrdv 2449 1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   Topctop 19917   neicnei 20113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-nei 20114
This theorem is referenced by:  flfcntr  21058  cnextfres1  21083
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