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Theorem neitr 17198
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
neitr |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Proof of Theorem neitr
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1626 . . . . . 6 |- F/ d ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A )
2 nfv 1626 . . . . . . 7 |- F/ d c C_ U. ( J ↾t A )
3 nfre1 2722 . . . . . . 7 |- F/ d E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c )
42, 3nfan 1842 . . . . . 6 |- F/ d ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
51, 4nfan 1842 . . . . 5 |- F/ d ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
6 simpl 444 . . . . . . 7 |- ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
76anim2i 553 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) )
8 simp-5r 746 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
9 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A C_ X )
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U. J
1211restuni 17180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
139, 10, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
1413ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
158, 14sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ A )
1610ad5antr 715 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A C_ X )
1715, 16sstrd 3318 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ X )
189ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> J e. Top )
19 simplr 732 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e e. J )
2011eltopss 16935 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ e e. J ) -> e C_ X )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ X )
2221ssdifssd 3445 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e \ A ) C_ X )
2317, 22unssd 3483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X )
24 simpr1l 1014 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> B C_ d )
25243anassrs 1175 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ d )
26 simpr 448 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d = ( e i^i A ) )
2725, 26sseqtrd 3344 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ ( e i^i A ) )
28 inss1 3521 . . . . . . . . . 10 |- ( e i^i A ) C_ e
2927, 28syl6ss 3320 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ e )
30 inundif 3666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) = e
31 simpr1r 1015 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> d C_ c )
32313anassrs 1175 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d C_ c )
3326, 32eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e i^i A ) C_ c )
34 unss1 3476 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( e i^i A ) C_ c -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3630, 35syl5eqssr 3353 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
37 sseq2 3330 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( B C_ b <-> B C_ e ) )
38 sseq1 3329 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( b C_ ( c u. ( e \ A ) ) <-> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
3937, 38anbi12d 692 . . . . . . . . . 10 |- ( b = e -> ( ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) <-> ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
4039rspcev 3012 . . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
4119, 29, 36, 40syl12anc 1182 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
42 indir 3549 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) )
43 incom 3493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = ( ( e \ A ) i^i A )
44 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = (/)
4543, 44eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e \ A ) i^i A ) = (/)
4645uneq2i 3458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) ) = ( ( c i^i A ) u. (/) )
47 un0 3612 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. (/) ) = ( c i^i A )
4842, 46, 473eqtri 2428 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( c i^i A )
49 df-ss 3294 . . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ A <-> ( c i^i A ) = c )
5049biimpi 187 . . . . . . . . . 10 |- ( c C_ A -> ( c i^i A ) = c )
5148, 50syl5req 2449 . . . . . . . . 9 |- ( c C_ A -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
5215, 51syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
53 vex 2919 . . . . . . . . . 10 |- c e. _V
54 vex 2919 . . . . . . . . . . 11 |- e e. _V
55 difexg 4311 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> ( e \ A ) e. _V )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 |- ( e \ A ) e. _V
5753, 56unex 4666 . . . . . . . . 9 |- ( c u. ( e \ A ) ) e. _V
58 sseq1 3329 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a C_ X <-> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X ) )
59 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( b C_ a <-> b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
6059anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6160rexbidv 2687 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6258, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) <-> ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) ) )
63 ineq1 3495 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a i^i A ) = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
6463eqeq2d 2415 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( c = ( a i^i A ) <-> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) )
6562, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) ) )
6657, 65spcev 3003 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
6723, 41, 52, 66syl21anc 1183 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
689ad3antrrr 711 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> J e. Top )
69 uniexg 4665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
709, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> U. J e. _V )
7111, 70syl5eqel 2488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> X e. _V )
7271, 10ssexd 4310 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A e. _V )
7372ad3antrrr 711 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> A e. _V )
74 simplr 732 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> d e. ( J ↾t A ) )
75 elrest 13610 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( d e. ( J ↾t A ) <-> E. e e. J d = ( e i^i A ) ) )
7675biimpa 471 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. _V ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7768, 73, 74, 76syl21anc 1183 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7867, 77r19.29a 2810 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
797, 78sylanl1 632 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
80 simprr 734 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
815, 79, 80r19.29af 2809 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
82 inss2 3522 . . . . . . . . . 10 |- ( a i^i A ) C_ A
83 sseq1 3329 . . . . . . . . . 10 |- ( c = ( a i^i A ) -> ( c C_ A <-> ( a i^i A ) C_ A ) )
8482, 83mpbiri 225 . . . . . . . . 9 |- ( c = ( a i^i A ) -> c C_ A )
8584adantl 453 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8685exlimiv 1641 . . . . . . 7 |- ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8786adantl 453 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ A )
8813adantr 452 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
8987, 88sseqtrd 3344 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
909ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> J e. Top )
9172ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> A e. _V )
92 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b e. J )
93 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V /\ b e. J ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
95 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ b )
96 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ A )
9796ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ A )
9895, 97ssind 3525 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ ( b i^i A ) )
99 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b C_ a )
100 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ a -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
102 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> c = ( a i^i A ) )
103101, 102sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ c )
10494, 98, 103jca32 522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
105104ex 424 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
106105reximdva 2778 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
107106impr 603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
108107an32s 780 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
109108expl 602 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
110109exlimdv 1643 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
111110imp 419 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
112 sseq2 3330 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( B C_ d <-> B C_ ( b i^i A ) ) )
113 sseq1 3329 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( d C_ c <-> ( b i^i A ) C_ c ) )
114112, 113anbi12d 692 . . . . . . . 8 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( ( B C_ d /\ d C_ c ) <-> ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
115114rspcev 3012 . . . . . . 7 |- ( ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
116115rexlimivw 2786 . . . . . 6 |- ( E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
117111, 116syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
11889, 117jca 519 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
11981, 118impbida 806 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
120 resttop 17178 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
1219, 72, 120syl2anc 643 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
12296, 13sseqtrd 3344 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
123 eqid 2404 . . . . 5 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
124123isnei 17122 . . . 4 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ B C_ U. ( J ↾t A ) ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
125121, 122, 124syl2anc 643 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
126 fvex 5701 . . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V
127 restval 13609 . . . . . 6 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
128126, 72, 127sylancr 645 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
129128eleq2d 2471 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) ) )
13096, 10sstrd 3318 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ X )
131 eqid 2404 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) = ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) )
132131elrnmpt 5076 . . . . . . . 8 |- ( c e. _V -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) ) )
13353, 132ax-mp 8 . . . . . . 7 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) )
134 df-rex 2672 . . . . . . 7 |- ( E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
135133, 134bitri 241 . . . . . 6 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
13611isnei 17122 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) )
137136anbi1d 686 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
138137exbidv 1633 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
139135, 138syl5bb 249 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
1409, 130, 139syl2anc 643 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
141129, 140bitrd 245 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
142119, 125, 1413bitr4d 277 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) ) )
143142eqrdv 2402 1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   neicnei 17116
This theorem is referenced by:  cnextfres  18052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-nei 17117
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