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Theorem neitr 20273
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
neitr |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Proof of Theorem neitr
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . . 6 |- F/ d ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A )
2 nfv 1769 . . . . . . 7 |- F/ d c C_ U. ( J ↾t A )
3 nfre1 2846 . . . . . . 7 |- F/ d E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c )
42, 3nfan 2031 . . . . . 6 |- F/ d ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
51, 4nfan 2031 . . . . 5 |- F/ d ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
6 simpl 464 . . . . . . 7 |- ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
76anim2i 579 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) )
8 simp-5r 787 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
9 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A C_ X )
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U. J
1211restuni 20255 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
139, 10, 12syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
1413ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
158, 14sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ A )
1610ad5antr 748 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A C_ X )
1715, 16sstrd 3428 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ X )
189ad5antr 748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> J e. Top )
19 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e e. J )
2011eltopss 20014 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ e e. J ) -> e C_ X )
2118, 19, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ X )
2221ssdifssd 3560 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e \ A ) C_ X )
2317, 22unssd 3601 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X )
24 simpr1l 1087 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> B C_ d )
25243anassrs 1256 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ d )
26 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d = ( e i^i A ) )
2725, 26sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ ( e i^i A ) )
28 inss1 3643 . . . . . . . . . 10 |- ( e i^i A ) C_ e
2927, 28syl6ss 3430 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ e )
30 inundif 3836 . . . . . . . . . 10 |- ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) = e
31 simpr1r 1088 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> d C_ c )
32313anassrs 1256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d C_ c )
3326, 32eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e i^i A ) C_ c )
34 unss1 3594 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( e i^i A ) C_ c -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3630, 35syl5eqssr 3463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
37 sseq2 3440 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( B C_ b <-> B C_ e ) )
38 sseq1 3439 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( b C_ ( c u. ( e \ A ) ) <-> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
3937, 38anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 |- ( b = e -> ( ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) <-> ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
4039rspcev 3136 . . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
4119, 29, 36, 40syl12anc 1290 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
42 indir 3682 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) )
43 incom 3616 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = ( ( e \ A ) i^i A )
44 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = (/)
4543, 44eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e \ A ) i^i A ) = (/)
4645uneq2i 3576 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) ) = ( ( c i^i A ) u. (/) )
47 un0 3762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. (/) ) = ( c i^i A )
4842, 46, 473eqtri 2497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( c i^i A )
49 df-ss 3404 . . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ A <-> ( c i^i A ) = c )
5049biimpi 199 . . . . . . . . . 10 |- ( c C_ A -> ( c i^i A ) = c )
5148, 50syl5req 2518 . . . . . . . . 9 |- ( c C_ A -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
5215, 51syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
53 vex 3034 . . . . . . . . . 10 |- c e. _V
54 vex 3034 . . . . . . . . . . 11 |- e e. _V
55 difexg 4545 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> ( e \ A ) e. _V )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( e \ A ) e. _V
5753, 56unex 6608 . . . . . . . . 9 |- ( c u. ( e \ A ) ) e. _V
58 sseq1 3439 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a C_ X <-> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X ) )
59 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( b C_ a <-> b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
6059anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6160rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6258, 61anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) <-> ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) ) )
63 ineq1 3618 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a i^i A ) = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
6463eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( c = ( a i^i A ) <-> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) )
6562, 64anbi12d 725 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) ) )
6657, 65spcev 3127 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
6723, 41, 52, 66syl21anc 1291 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
689ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> J e. Top )
69 uniexg 6607 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
709, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> U. J e. _V )
7111, 70syl5eqel 2553 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> X e. _V )
7271, 10ssexd 4543 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A e. _V )
7372ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> A e. _V )
74 simplr 770 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> d e. ( J ↾t A ) )
75 elrest 15404 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( d e. ( J ↾t A ) <-> E. e e. J d = ( e i^i A ) ) )
7675biimpa 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. _V ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7768, 73, 74, 76syl21anc 1291 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7867, 77r19.29a 2918 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
797, 78sylanl1 662 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
80 simprr 774 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
815, 79, 80r19.29af 2916 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
82 inss2 3644 . . . . . . . . . 10 |- ( a i^i A ) C_ A
83 sseq1 3439 . . . . . . . . . 10 |- ( c = ( a i^i A ) -> ( c C_ A <-> ( a i^i A ) C_ A ) )
8482, 83mpbiri 241 . . . . . . . . 9 |- ( c = ( a i^i A ) -> c C_ A )
8584adantl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8685exlimiv 1784 . . . . . . 7 |- ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8786adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ A )
8813adantr 472 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
8987, 88sseqtrd 3454 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
909ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> J e. Top )
9172ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> A e. _V )
92 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b e. J )
93 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V /\ b e. J ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
95 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ b )
96 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ A )
9796ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ A )
9895, 97ssind 3647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ ( b i^i A ) )
99 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b C_ a )
100 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ a -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
102 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> c = ( a i^i A ) )
103101, 102sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ c )
10494, 98, 103jca32 544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
105104ex 441 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
106105reximdva 2858 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
107106impr 631 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
108107an32s 821 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
109108expl 630 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
110109exlimdv 1787 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
111110imp 436 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
112 sseq2 3440 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( B C_ d <-> B C_ ( b i^i A ) ) )
113 sseq1 3439 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( d C_ c <-> ( b i^i A ) C_ c ) )
114112, 113anbi12d 725 . . . . . . . 8 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( ( B C_ d /\ d C_ c ) <-> ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
115114rspcev 3136 . . . . . . 7 |- ( ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
116115rexlimivw 2869 . . . . . 6 |- ( E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
117111, 116syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
11889, 117jca 541 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
11981, 118impbida 850 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
120 resttop 20253 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
1219, 72, 120syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
12296, 13sseqtrd 3454 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
123 eqid 2471 . . . . 5 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
124123isnei 20196 . . . 4 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ B C_ U. ( J ↾t A ) ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
125121, 122, 124syl2anc 673 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
126 fvex 5889 . . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V
127 restval 15403 . . . . . 6 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
128126, 72, 127sylancr 676 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
129128eleq2d 2534 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) ) )
13096, 10sstrd 3428 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ X )
131 eqid 2471 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) = ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) )
132131elrnmpt 5087 . . . . . . . 8 |- ( c e. _V -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) ) )
13353, 132ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) )
134 df-rex 2762 . . . . . . 7 |- ( E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
135133, 134bitri 257 . . . . . 6 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
13611isnei 20196 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) )
137136anbi1d 719 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
138137exbidv 1776 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
139135, 138syl5bb 265 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
1409, 130, 139syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
141129, 140bitrd 261 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
142119, 125, 1413bitr4d 293 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) ) )
143142eqrdv 2469 1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   neicnei 20190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-nei 20191
This theorem is referenced by:  flfcntr  21136  cnextfres1  21161
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