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Theorem neitr 19447
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
neitr |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Proof of Theorem neitr
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1683 . . . . . 6 |- F/ d ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A )
2 nfv 1683 . . . . . . 7 |- F/ d c C_ U. ( J ↾t A )
3 nfre1 2925 . . . . . . 7 |- F/ d E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c )
42, 3nfan 1875 . . . . . 6 |- F/ d ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
51, 4nfan 1875 . . . . 5 |- F/ d ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
6 simpl 457 . . . . . . 7 |- ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
76anim2i 569 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) )
8 simp-5r 768 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
9 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A C_ X )
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U. J
1211restuni 19429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
139, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
1413ad5antr 733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
158, 14sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ A )
1610ad5antr 733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> A C_ X )
1715, 16sstrd 3514 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c C_ X )
189ad5antr 733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> J e. Top )
19 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e e. J )
2011eltopss 19183 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ e e. J ) -> e C_ X )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ X )
2221ssdifssd 3642 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e \ A ) C_ X )
2317, 22unssd 3680 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X )
24 simpr1l 1053 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> B C_ d )
25243anassrs 1218 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ d )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d = ( e i^i A ) )
2725, 26sseqtrd 3540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ ( e i^i A ) )
28 inss1 3718 . . . . . . . . . 10 |- ( e i^i A ) C_ e
2927, 28syl6ss 3516 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> B C_ e )
30 inundif 3905 . . . . . . . . . 10 |- ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) = e
31 simpr1r 1054 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( ( B C_ d /\ d C_ c ) /\ e e. J /\ d = ( e i^i A ) ) ) -> d C_ c )
32313anassrs 1218 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> d C_ c )
3326, 32eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( e i^i A ) C_ c )
34 unss1 3673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( e i^i A ) C_ c -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> ( ( e i^i A ) u. ( e \ A ) ) C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
3630, 35syl5eqssr 3549 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) )
37 sseq2 3526 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( B C_ b <-> B C_ e ) )
38 sseq1 3525 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( b C_ ( c u. ( e \ A ) ) <-> e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
3937, 38anbi12d 710 . . . . . . . . . 10 |- ( b = e -> ( ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) <-> ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
4039rspcev 3214 . . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ ( B C_ e /\ e C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
4119, 29, 36, 40syl12anc 1226 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
42 indir 3746 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) )
43 incom 3691 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = ( ( e \ A ) i^i A )
44 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( e \ A ) ) = (/)
4543, 44eqtr3i 2498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e \ A ) i^i A ) = (/)
4645uneq2i 3655 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. ( ( e \ A ) i^i A ) ) = ( ( c i^i A ) u. (/) )
47 un0 3810 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( c i^i A ) u. (/) ) = ( c i^i A )
4842, 46, 473eqtri 2500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) = ( c i^i A )
49 df-ss 3490 . . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ A <-> ( c i^i A ) = c )
5049biimpi 194 . . . . . . . . . 10 |- ( c C_ A -> ( c i^i A ) = c )
5148, 50syl5req 2521 . . . . . . . . 9 |- ( c C_ A -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
5215, 51syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
53 vex 3116 . . . . . . . . . 10 |- c e. _V
54 vex 3116 . . . . . . . . . . 11 |- e e. _V
55 difexg 4595 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> ( e \ A ) e. _V )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( e \ A ) e. _V
5753, 56unex 6580 . . . . . . . . 9 |- ( c u. ( e \ A ) ) e. _V
58 sseq1 3525 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a C_ X <-> ( c u. ( e \ A ) ) C_ X ) )
59 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( b C_ a <-> b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) )
6059anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6160rexbidv 2973 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) <-> E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) )
6258, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) <-> ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) ) )
63 ineq1 3693 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( a i^i A ) = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) )
6463eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( c = ( a i^i A ) <-> c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) )
6562, 64anbi12d 710 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( c u. ( e \ A ) ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) ) )
6657, 65spcev 3205 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c u. ( e \ A ) ) C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ ( c u. ( e \ A ) ) ) ) /\ c = ( ( c u. ( e \ A ) ) i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
6723, 41, 52, 66syl21anc 1227 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) /\ e e. J ) /\ d = ( e i^i A ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
689ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> J e. Top )
69 uniexg 6579 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
709, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> U. J e. _V )
7111, 70syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> X e. _V )
7271, 10ssexd 4594 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> A e. _V )
7372ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> A e. _V )
74 simplr 754 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> d e. ( J ↾t A ) )
75 elrest 14679 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( d e. ( J ↾t A ) <-> E. e e. J d = ( e i^i A ) ) )
7675biimpa 484 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. _V ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7768, 73, 74, 76syl21anc 1227 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. e e. J d = ( e i^i A ) )
7867, 77r19.29a 3003 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c C_ U. ( J ↾t A ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
797, 78sylanl1 650 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( J ↾t A ) ) /\ ( B C_ d /\ d C_ c ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
80 simprr 756 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
815, 79, 80r19.29af 3001 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) -> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
82 inss2 3719 . . . . . . . . . 10 |- ( a i^i A ) C_ A
83 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10 |- ( c = ( a i^i A ) -> ( c C_ A <-> ( a i^i A ) C_ A ) )
8482, 83mpbiri 233 . . . . . . . . 9 |- ( c = ( a i^i A ) -> c C_ A )
8584adantl 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8685exlimiv 1698 . . . . . . 7 |- ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> c C_ A )
8786adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ A )
8813adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
8987, 88sseqtrd 3540 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> c C_ U. ( J ↾t A ) )
909ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> J e. Top )
9172ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> A e. _V )
92 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b e. J )
93 elrestr 14680 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V /\ b e. J ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
95 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ b )
96 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ A )
9796ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ A )
9895, 97ssind 3722 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> B C_ ( b i^i A ) )
99 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> b C_ a )
100 ssrin 3723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ a -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
102 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> c = ( a i^i A ) )
103101, 102sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( b i^i A ) C_ c )
10494, 98, 103jca32 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) /\ ( B C_ b /\ b C_ a ) ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
105104ex 434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) /\ b e. J ) -> ( ( B C_ b /\ b C_ a ) -> ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
106105reximdva 2938 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ a C_ X ) -> ( E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
107106impr 619 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ c = ( a i^i A ) ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
108107an32s 802 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
109108expl 618 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
110109exlimdv 1700 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) ) )
111110imp 429 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
112 sseq2 3526 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( B C_ d <-> B C_ ( b i^i A ) ) )
113 sseq1 3525 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( d C_ c <-> ( b i^i A ) C_ c ) )
114112, 113anbi12d 710 . . . . . . . 8 |- ( d = ( b i^i A ) -> ( ( B C_ d /\ d C_ c ) <-> ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) )
115114rspcev 3214 . . . . . . 7 |- ( ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
116115rexlimivw 2952 . . . . . 6 |- ( E. b e. J ( ( b i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ ( B C_ ( b i^i A ) /\ ( b i^i A ) C_ c ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
117111, 116syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) )
11889, 117jca 532 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) /\ E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) -> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) )
11981, 118impbida 830 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
120 resttop 19427 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
1219, 72, 120syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
12296, 13sseqtrd 3540 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
123 eqid 2467 . . . . 5 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
124123isnei 19370 . . . 4 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ B C_ U. ( J ↾t A ) ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
125121, 122, 124syl2anc 661 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> ( c C_ U. ( J ↾t A ) /\ E. d e. ( J ↾t A ) ( B C_ d /\ d C_ c ) ) ) )
126 fvex 5874 . . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V
127 restval 14678 . . . . . 6 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` B ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
128126, 72, 127sylancr 663 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) = ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) )
129128eleq2d 2537 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) ) )
13096, 10sstrd 3514 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> B C_ X )
131 eqid 2467 . . . . . . . . 9 |- ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) = ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) )
132131elrnmpt 5247 . . . . . . . 8 |- ( c e. _V -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) ) )
13353, 132ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) )
134 df-rex 2820 . . . . . . 7 |- ( E. a e. ( ( nei ` J ) ` B ) c = ( a i^i A ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
135133, 134bitri 249 . . . . . 6 |- ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) )
13611isnei 19370 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) ) )
137136anbi1d 704 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
138137exbidv 1690 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( E. a ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) /\ c = ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
139135, 138syl5bb 257 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
1409, 130, 139syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ran ( a e. ( ( nei ` J ) ` B ) |-> ( a i^i A ) ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
141129, 140bitrd 253 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) <-> E. a ( ( a C_ X /\ E. b e. J ( B C_ b /\ b C_ a ) ) /\ c = ( a i^i A ) ) ) )
142119, 125, 1413bitr4d 285 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( c e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) <-> c e. ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) ) )
143142eqrdv 2464 1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` B ) = ( ( ( nei ` J ) ` B ) ↾t A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672   Topctop 19161   neicnei 19364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-nei 19365
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