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Theorem neiptopuni 18869
Description: Lemma for neiptopreu 18872 (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o  |-  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
neiptop.0  |-  ( ph  ->  N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
b  e.  ( N `
 p ) )
neiptop.2  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
neiptop.3  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  a )
neiptop.4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
neiptop.5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
Assertion
Ref Expression
neiptopuni  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
Distinct variable groups:    p, a    N, a    X, a    a, b, p    J, a, p    X, p    ph, p
Allowed substitution hints:    ph( q, a, b)    J( q, b)    N( q, p, b)    X( q, b)

Proof of Theorem neiptopuni
StepHypRef Expression
1 elpwi 3980 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
21ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  U. J  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  a  C_  X )
3 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  U. J  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  p  e.  a )
42, 3sseldd 3468 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  U. J  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  p  e.  X )
5 neiptop.o . . . . . . . . . 10  |-  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
65unieqi 4211 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. { a  e. 
~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p
) }
76eleq2i 2532 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U. J  <->  p  e.  U. { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) } )
8 elunirab 4214 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U. { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a 
a  e.  ( N `
 p ) }  <->  E. a  e.  ~P  X ( p  e.  a  /\  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) ) )
97, 8bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  U. J  <->  E. a  e.  ~P  X ( p  e.  a  /\  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p
) ) )
10 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  a  /\  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) )  ->  p  e.  a )
1110reximi 2929 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ~P  X
( p  e.  a  /\  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) )  ->  E. a  e.  ~P  X p  e.  a )
129, 11sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( p  e.  U. J  ->  E. a  e.  ~P  X p  e.  a
)
134, 12r19.29a 2968 . . . . 5  |-  ( p  e.  U. J  ->  p  e.  X )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  U. J  ->  p  e.  X
) )
1514ssrdv 3473 . . 3  |-  ( ph  ->  U. J  C_  X
)
16 ssid 3486 . . . . 5  |-  X  C_  X
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  X )
18 neiptop.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
1918ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. p  e.  X  X  e.  ( N `  p ) )
205neipeltop 18868 . . . 4  |-  ( X  e.  J  <->  ( X  C_  X  /\  A. p  e.  X  X  e.  ( N `  p ) ) )
2117, 19, 20sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
22 unissel 4233 . . 3  |-  ( ( U. J  C_  X  /\  X  e.  J
)  ->  U. J  =  X )
2315, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  U. J  =  X )
2423eqcomd 2462 1  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   -->wf 5525   ` cfv 5529   ficfi 7774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-pw 3973  df-uni 4203
This theorem is referenced by:  neiptoptop  18870  neiptopnei  18871  neiptopreu  18872
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