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Theorem neiptoptop 20224
Description: Lemma for neiptopreu 20226. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
neiptop.0 |- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
neiptop.2 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
neiptop.3 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
neiptop.4 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
neiptop.5 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
Assertion
Ref Expression
neiptoptop |- ( ph -> J e. Top )
Distinct variable groups:   p, a   N, a   X, a, b, p   J, a, p   X, p   ph, p   N, b   X, b   ph, a, b
Allowed substitution hints:   ph( q)   J( q, b)   N( q, p)   X( q)
Proof of Theorem neiptoptop
Dummy variables c e f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4211 . . . . . . 7 |- ( e C_ J -> U. e C_ U. J )
21adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e C_ U. J )
3 neiptop.o . . . . . . . 8 |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
4 neiptop.0 . . . . . . . 8 |- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
5 neiptop.1 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
6 neiptop.2 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
7 neiptop.3 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
8 neiptop.4 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
9 neiptop.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9neiptopuni 20223 . . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. J )
1110adantr 472 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> X = U. J )
122, 11sseqtr4d 3455 . . . . 5 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e C_ X )
13 simp-4l 784 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ph )
1412ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> U. e C_ X )
15 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> p e. U. e )
1614, 15sseldd 3419 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> p e. X )
1713, 16jca 541 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ph /\ p e. X ) )
18 elssuni 4219 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. e -> c C_ U. e )
1918ad2antlr 741 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c C_ U. e )
2017, 19, 143jca 1210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) )
21 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> e C_ J )
2221sselda 3418 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) -> c e. J )
233neipeltop 20222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. J <-> ( c C_ X /\ A. p e. c c e. ( N ` p ) ) )
2423simprbi 471 . . . . . . . . . . 11 |- ( c e. J -> A. p e. c c e. ( N ` p ) )
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) -> A. p e. c c e. ( N ` p ) )
2625r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c e. ( N ` p ) )
2726adantllr 733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c e. ( N ` p ) )
28 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = c -> ( a C_ U. e <-> c C_ U. e ) )
29283anbi2d 1370 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) ) )
30 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
3129, 30anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) ) )
3231imbi1d 324 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) )
3332imbi2d 323 . . . . . . . . . 10 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) ) )
34 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- X C_ X
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X C_ X )
369ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. p e. X X e. ( N ` p ) )
373neipeltop 20222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. J <-> ( X C_ X /\ A. p e. X X e. ( N ` p ) ) )
3835, 36, 37sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. J )
39 pwexg 4585 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
40 rabexg 4549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P X e. _V -> { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } e. _V )
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } e. _V )
423, 41syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. _V )
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> J e. _V )
4443, 21ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> e e. _V )
45 uniexg 6607 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> U. e e. _V )
46 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = U. e -> ( a C_ b <-> a C_ U. e ) )
47 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = U. e -> ( b C_ X <-> U. e C_ X ) )
4846, 473anbi23d 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = U. e -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) ) )
4948anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = U. e -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) ) )
50 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = U. e -> ( b e. ( N ` p ) <-> U. e e. ( N ` p ) ) )
5149, 50imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = U. e -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) )
5251, 5vtoclg 3093 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. e e. _V -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
5344, 45, 523syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
5433, 53chvarv 2120 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
5554ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
5620, 27, 55mp2and 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> U. e e. ( N ` p ) )
57 simpr 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> p e. U. e )
58 eluni2 4194 . . . . . . . 8 |- ( p e. U. e <-> E. c e. e p e. c )
5957, 58sylib 201 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> E. c e. e p e. c )
6056, 59r19.29a 2918 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> U. e e. ( N ` p ) )
6160ralrimiva 2809 . . . . 5 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> A. p e. U. e U. e e. ( N ` p ) )
623neipeltop 20222 . . . . 5 |- ( U. e e. J <-> ( U. e C_ X /\ A. p e. U. e U. e e. ( N ` p ) ) )
6312, 61, 62sylanbrc 677 . . . 4 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e e. J )
6463ex 441 . . 3 |- ( ph -> ( e C_ J -> U. e e. J ) )
6564alrimiv 1781 . 2 |- ( ph -> A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) )
66 inss1 3643 . . . . . 6 |- ( e i^i f ) C_ e
673neipeltop 20222 . . . . . . . 8 |- ( e e. J <-> ( e C_ X /\ A. p e. e e e. ( N ` p ) ) )
6867simplbi 467 . . . . . . 7 |- ( e e. J -> e C_ X )
6968ad2antlr 741 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> e C_ X )
7066, 69syl5ss 3429 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> ( e i^i f ) C_ X )
71 simplll 776 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ph )
72 simpllr 777 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e e. J )
7372, 68syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e C_ X )
74 simpr 468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. ( e i^i f ) )
7566, 74sseldi 3416 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. e )
7673, 75sseldd 3419 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. X )
7771, 76, 6syl2anc 673 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
7867simprbi 471 . . . . . . . . . 10 |- ( e e. J -> A. p e. e e e. ( N ` p ) )
7978r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ p e. e ) -> e e. ( N ` p ) )
8072, 75, 79syl2anc 673 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e e. ( N ` p ) )
81 simplr 770 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> f e. J )
82 inss2 3644 . . . . . . . . . 10 |- ( e i^i f ) C_ f
8382, 74sseldi 3416 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. f )
843neipeltop 20222 . . . . . . . . . . 11 |- ( f e. J <-> ( f C_ X /\ A. p e. f f e. ( N ` p ) ) )
8584simprbi 471 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. J -> A. p e. f f e. ( N ` p ) )
8685r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. J /\ p e. f ) -> f e. ( N ` p ) )
8781, 83, 86syl2anc 673 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> f e. ( N ` p ) )
88 fvex 5889 . . . . . . . . 9 |- ( N ` p ) e. _V
89 inelfi 7950 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N ` p ) e. _V /\ e e. ( N ` p ) /\ f e. ( N ` p ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
9088, 89mp3an1 1377 . . . . . . . 8 |- ( ( e e. ( N ` p ) /\ f e. ( N ` p ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
9180, 87, 90syl2anc 673 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
9277, 91sseldd 3419 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( e i^i f ) e. ( N ` p ) )
9392ralrimiva 2809 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> A. p e. ( e i^i f ) ( e i^i f ) e. ( N ` p ) )
943neipeltop 20222 . . . . 5 |- ( ( e i^i f ) e. J <-> ( ( e i^i f ) C_ X /\ A. p e. ( e i^i f ) ( e i^i f ) e. ( N ` p ) ) )
9570, 93, 94sylanbrc 677 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> ( e i^i f ) e. J )
9695ralrimiva 2809 . . 3 |- ( ( ph /\ e e. J ) -> A. f e. J ( e i^i f ) e. J )
9796ralrimiva 2809 . 2 |- ( ph -> A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J )
98 istopg 20002 . . 3 |- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) /\ A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J ) ) )
9942, 98syl 17 . 2 |- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) /\ A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J ) ) )
10065, 97, 99mpbir2and 936 1 |- ( ph -> J e. Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   -->wf 5585   ` cfv 5589   ficfi 7942   Topctop 19994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-top 19998
This theorem is referenced by:  neiptopnei  20225  neiptopreu  20226
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