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Theorem neiptoptop 17150
Description: Lemma for neiptopreu 17152 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o  |-  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
neiptop.0  |-  ( ph  ->  N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
b  e.  ( N `
 p ) )
neiptop.2  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
neiptop.3  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  a )
neiptop.4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
neiptop.5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
Assertion
Ref Expression
neiptoptop  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
Distinct variable groups:    p, a    N, a    X, a, b, p    J, a, p    X, p    ph, p    N, b    X, b    ph, a, b
Allowed substitution hints:    ph( q)    J( q, b)    N( q, p)    X( q)

Proof of Theorem neiptoptop
Dummy variables  c 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3996 . . . . . . 7  |-  ( e 
C_  J  ->  U. e  C_ 
U. J )
21adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  U. e  C_ 
U. J )
3 neiptop.o . . . . . . . 8  |-  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
4 neiptop.0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N : X --> ~P ~P X )
5 neiptop.1 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
b  e.  ( N `
 p ) )
6 neiptop.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
7 neiptop.3 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  a )
8 neiptop.4 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
9 neiptop.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9neiptopuni 17149 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  X  =  U. J )
122, 11sseqtr4d 3345 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  U. e  C_  X )
13 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  ph )
1412ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  U. e  C_  X )
15 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  p  e.  U. e )
1614, 15sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  p  e.  X )
1713, 16jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  ( ph  /\  p  e.  X
) )
18 elssuni 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  e  ->  c  C_ 
U. e )
1918ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  c  C_ 
U. e )
2017, 19, 143jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  (
( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_ 
U. e  /\  U. e  C_  X ) )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  e  C_  J )
2221sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  c  e.  e )  ->  c  e.  J )
233neipeltop 17148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  J  <->  ( c  C_  X  /\  A. p  e.  c  c  e.  ( N `  p ) ) )
2423simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  J  ->  A. p  e.  c  c  e.  ( N `  p ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  c  e.  e )  ->  A. p  e.  c  c  e.  ( N `  p ) )
2625r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c
)  ->  c  e.  ( N `  p ) )
2726adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  c  e.  ( N `  p
) )
28 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  (
a  C_  U. e  <->  c 
C_  U. e ) )
29283anbi2d 1259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  <->  ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
) ) )
30 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  c  e.  ( N `  p ) ) )
3129, 30anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  <->  ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_ 
U. e  /\  U. e  C_  X )  /\  c  e.  ( N `  p ) ) ) )
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_ 
U. e  /\  U. e  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p )
)  <->  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_ 
U. e  /\  U. e  C_  X )  /\  c  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p )
) ) )
3332imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ph  /\  e  C_  J )  -> 
( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_ 
U. e  /\  U. e  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p )
) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  J
)  ->  ( (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  c  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) ) ) ) )
34 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  X  C_  X
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  C_  X )
369ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. p  e.  X  X  e.  ( N `  p ) )
373neipeltop 17148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  J  <->  ( X  C_  X  /\  A. p  e.  X  X  e.  ( N `  p ) ) )
3835, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
39 pwexg 4343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  J  ->  ~P X  e.  _V )
40 rabexg 4313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `
 p ) }  e.  _V )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }  e.  _V )
423, 41syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  J  e.  _V )
4443, 21ssexd 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  e  e.  _V )
45 uniexg 4665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  _V  ->  U. e  e.  _V )
46 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  U. e  -> 
( a  C_  b  <->  a 
C_  U. e ) )
47 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  U. e  -> 
( b  C_  X  <->  U. e  C_  X )
)
4846, 473anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  U. e  -> 
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <-> 
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
) ) )
4948anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  U. e  -> 
( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_ 
U. e  /\  U. e  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) ) ) )
50 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  U. e  -> 
( b  e.  ( N `  p )  <->  U. e  e.  ( N `  p )
) )
5149, 50imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  U. e  -> 
( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) ) ) )
5251, 5vtoclg 2971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. e  e.  _V  ->  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) ) )
5344, 45, 523syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) ) )
5433, 53chvarv 2063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  c  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) ) )
5554ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  C_  U. e  /\  U. e  C_  X
)  /\  c  e.  ( N `  p ) )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) ) )
5620, 27, 55mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e
)  /\  c  e.  e )  /\  p  e.  c )  ->  U. e  e.  ( N `  p
) )
57 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e )  ->  p  e.  U. e
)
58 eluni2 3979 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U. e  <->  E. c  e.  e  p  e.  c )
5957, 58sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e )  ->  E. c  e.  e  p  e.  c )
6056, 59r19.29a 2810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  J )  /\  p  e.  U. e )  ->  U. e  e.  ( N `  p )
)
6160ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  A. p  e.  U. e U. e  e.  ( N `  p
) )
623neipeltop 17148 . . . . 5  |-  ( U. e  e.  J  <->  ( U. e  C_  X  /\  A. p  e.  U. e U. e  e.  ( N `  p )
) )
6312, 61, 62sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  C_  J )  ->  U. e  e.  J )
6463ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( e  C_  J  ->  U. e  e.  J
) )
6564alrimiv 1638 . 2  |-  ( ph  ->  A. e ( e 
C_  J  ->  U. e  e.  J ) )
66 inss1 3521 . . . . . 6  |-  ( e  i^i  f )  C_  e
673neipeltop 17148 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  J  <->  ( e  C_  X  /\  A. p  e.  e  e  e.  ( N `  p ) ) )
6867simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  J  ->  e  C_  X )
6968ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J )  ->  e  C_  X )
7066, 69syl5ss 3319 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J )  ->  (
e  i^i  f )  C_  X )
71 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  ph )
72 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  e  e.  J )
7372, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  e  C_  X )
74 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  p  e.  ( e  i^i  f
) )
7566, 74sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  p  e.  e )
7673, 75sseldd 3309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  p  e.  X )
7771, 76, 6syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
7867simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  J  ->  A. p  e.  e  e  e.  ( N `  p ) )
7978r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  J  /\  p  e.  e )  ->  e  e.  ( N `
 p ) )
8072, 75, 79syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  e  e.  ( N `  p
) )
81 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  f  e.  J )
82 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  i^i  f )  C_  f
8382, 74sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  p  e.  f )
843neipeltop 17148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  J  <->  ( f  C_  X  /\  A. p  e.  f  f  e.  ( N `  p ) ) )
8584simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  J  ->  A. p  e.  f  f  e.  ( N `  p ) )
8685r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  J  /\  p  e.  f )  ->  f  e.  ( N `
 p ) )
8781, 83, 86syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  f  e.  ( N `  p
) )
88 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 p )  e. 
_V
89 inelfi 7381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  p
)  e.  _V  /\  e  e.  ( N `  p )  /\  f  e.  ( N `  p
) )  ->  (
e  i^i  f )  e.  ( fi `  ( N `  p )
) )
9088, 89mp3an1 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ( N `
 p )  /\  f  e.  ( N `  p ) )  -> 
( e  i^i  f
)  e.  ( fi
`  ( N `  p ) ) )
9180, 87, 90syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  (
e  i^i  f )  e.  ( fi `  ( N `  p )
) )
9277, 91sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J
)  /\  p  e.  ( e  i^i  f
) )  ->  (
e  i^i  f )  e.  ( N `  p
) )
9392ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J )  ->  A. p  e.  ( e  i^i  f
) ( e  i^i  f )  e.  ( N `  p ) )
943neipeltop 17148 . . . . 5  |-  ( ( e  i^i  f )  e.  J  <->  ( (
e  i^i  f )  C_  X  /\  A. p  e.  ( e  i^i  f
) ( e  i^i  f )  e.  ( N `  p ) ) )
9570, 93, 94sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  J )  /\  f  e.  J )  ->  (
e  i^i  f )  e.  J )
9695ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  J )  ->  A. f  e.  J  ( e  i^i  f )  e.  J
)
9796ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  J  A. f  e.  J  ( e  i^i  f
)  e.  J )
98 istopg 16923 . . 3  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. e ( e  C_  J  ->  U. e  e.  J
)  /\  A. e  e.  J  A. f  e.  J  ( e  i^i  f )  e.  J
) ) )
9942, 98syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. e ( e  C_  J  ->  U. e  e.  J
)  /\  A. e  e.  J  A. f  e.  J  ( e  i^i  f )  e.  J
) ) )
10065, 97, 99mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   -->wf 5409   ` cfv 5413   ficfi 7373   Topctop 16913
This theorem is referenced by:  neiptopnei  17151  neiptopreu  17152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-top 16918
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