Theorem neiptoptop 17150

Description: Lemma for neiptopreu 17152 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
neiptop.0	|- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1	|- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
neiptop.2	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
neiptop.3	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
neiptop.4	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
neiptop.5	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )

Assertion

Ref	Expression
neiptoptop	|- ( ph -> J e. Top )

Distinct variable groups:   p, a   N, a   X, a, b, p   J, a, p   X, p   ph, p   N, b   X, b   ph, a, b

Allowed substitution hints:   ph( q)   J( q, b)   N( q, p)   X( q)

Proof of Theorem neiptoptop

Dummy variables c e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 3996	. . . . . . 7 |- ( e C_ J -> U. e C_ U. J )
2	1	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e C_ U. J )
3		neiptop.o	. . . . . . . 8 |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
4		neiptop.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
5		neiptop.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
6		neiptop.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
7		neiptop.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
8		neiptop.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
9		neiptop.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	neiptopuni 17149	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. J )
11	10	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> X = U. J )
12	2, 11	sseqtr4d 3345	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e C_ X )
13		simp-4l 743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ph )
14	12	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> U. e C_ X )
15		simpllr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> p e. U. e )
16	14, 15	sseldd 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> p e. X )
17	13, 16	jca 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ph /\ p e. X ) )
18		elssuni 4003	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. e -> c C_ U. e )
19	18	ad2antlr 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c C_ U. e )
20	17, 19, 14	3jca 1134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) )
21		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> e C_ J )
22	21	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) -> c e. J )
23	3	neipeltop 17148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. J <-> ( c C_ X /\ A. p e. c c e. ( N ` p ) ) )
24	23	simprbi 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. J -> A. p e. c c e. ( N ` p ) )
25	22, 24	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) -> A. p e. c c e. ( N ` p ) )
26	25	r19.21bi 2764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c e. ( N ` p ) )
27	26	adantllr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c e. ( N ` p ) )
28		sseq1 3329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = c -> ( a C_ U. e <-> c C_ U. e ) )
29	28	3anbi2d 1259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) ) )
30		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
31	29, 30	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) ) )
32	31	imbi1d 309	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) )
33	32	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) ) )
34		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- X C_ X
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X C_ X )
36	9	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. p e. X X e. ( N ` p ) )
37	3	neipeltop 17148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. J <-> ( X C_ X /\ A. p e. X X e. ( N ` p ) ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. J )
39		pwexg 4343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
40		rabexg 4313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P X e. _V -> { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } e. _V )
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } e. _V )
42	3, 41	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. _V )
43	42	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> J e. _V )
44	43, 21	ssexd 4310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> e e. _V )
45		uniexg 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> U. e e. _V )
46		sseq2 3330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = U. e -> ( a C_ b <-> a C_ U. e ) )
47		sseq1 3329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = U. e -> ( b C_ X <-> U. e C_ X ) )
48	46, 47	3anbi23d 1257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = U. e -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) ) )
49	48	anbi1d 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = U. e -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) ) )
50		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = U. e -> ( b e. ( N ` p ) <-> U. e e. ( N ` p ) ) )
51	49, 50	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = U. e -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) )
52	51, 5	vtoclg 2971	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. e e. _V -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
53	44, 45, 52	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
54	33, 53	chvarv 2063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
55	54	ad3antrrr 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
56	20, 27, 55	mp2and 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> U. e e. ( N ` p ) )
57		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> p e. U. e )
58		eluni2 3979	. . . . . . . 8 |- ( p e. U. e <-> E. c e. e p e. c )
59	57, 58	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> E. c e. e p e. c )
60	56, 59	r19.29a 2810	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> U. e e. ( N ` p ) )
61	60	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> A. p e. U. e U. e e. ( N ` p ) )
62	3	neipeltop 17148	. . . . 5 |- ( U. e e. J <-> ( U. e C_ X /\ A. p e. U. e U. e e. ( N ` p ) ) )
63	12, 61, 62	sylanbrc 646	. . . 4 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e e. J )
64	63	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( e C_ J -> U. e e. J ) )
65	64	alrimiv 1638	. 2 |- ( ph -> A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) )
66		inss1 3521	. . . . . 6 |- ( e i^i f ) C_ e
67	3	neipeltop 17148	. . . . . . . 8 |- ( e e. J <-> ( e C_ X /\ A. p e. e e e. ( N ` p ) ) )
68	67	simplbi 447	. . . . . . 7 |- ( e e. J -> e C_ X )
69	68	ad2antlr 708	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> e C_ X )
70	66, 69	syl5ss 3319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> ( e i^i f ) C_ X )
71		simplll 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ph )
72		simpllr 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e e. J )
73	72, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e C_ X )
74		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. ( e i^i f ) )
75	66, 74	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. e )
76	73, 75	sseldd 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. X )
77	71, 76, 6	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
78	67	simprbi 451	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. J -> A. p e. e e e. ( N ` p ) )
79	78	r19.21bi 2764	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ p e. e ) -> e e. ( N ` p ) )
80	72, 75, 79	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e e. ( N ` p ) )
81		simplr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> f e. J )
82		inss2 3522	. . . . . . . . . 10 |- ( e i^i f ) C_ f
83	82, 74	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. f )
84	3	neipeltop 17148	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. J <-> ( f C_ X /\ A. p e. f f e. ( N ` p ) ) )
85	84	simprbi 451	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. J -> A. p e. f f e. ( N ` p ) )
86	85	r19.21bi 2764	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. J /\ p e. f ) -> f e. ( N ` p ) )
87	81, 83, 86	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> f e. ( N ` p ) )
88		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( N ` p ) e. _V
89		inelfi 7381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N ` p ) e. _V /\ e e. ( N ` p ) /\ f e. ( N ` p ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
90	88, 89	mp3an1 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. ( N ` p ) /\ f e. ( N ` p ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
91	80, 87, 90	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
92	77, 91	sseldd 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( e i^i f ) e. ( N ` p ) )
93	92	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> A. p e. ( e i^i f ) ( e i^i f ) e. ( N ` p ) )
94	3	neipeltop 17148	. . . . 5 |- ( ( e i^i f ) e. J <-> ( ( e i^i f ) C_ X /\ A. p e. ( e i^i f ) ( e i^i f ) e. ( N ` p ) ) )
95	70, 93, 94	sylanbrc 646	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> ( e i^i f ) e. J )
96	95	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. J ) -> A. f e. J ( e i^i f ) e. J )
97	96	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J )
98		istopg 16923	. . 3 |- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) /\ A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J ) ) )
99	42, 98	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) /\ A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J ) ) )
100	65, 97, 99	mpbir2and 889	1 |- ( ph -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   -->wf 5409   ` cfv 5413   ficfi 7373   Topctop 16913

This theorem is referenced by:  neiptopnei  17151  neiptopreu  17152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-top 16918