Theorem neiptoptop 19398

Description: Lemma for neiptopreu 19400 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
neiptop.0	|- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1	|- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
neiptop.2	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
neiptop.3	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
neiptop.4	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
neiptop.5	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )

Assertion

Ref	Expression
neiptoptop	|- ( ph -> J e. Top )

Distinct variable groups:   p, a   N, a   X, a, b, p   J, a, p   X, p   ph, p   N, b   X, b   ph, a, b

Allowed substitution hints:   ph( q)   J( q, b)   N( q, p)   X( q)

Proof of Theorem neiptoptop

Dummy variables c e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4266	. . . . . . 7 |- ( e C_ J -> U. e C_ U. J )
2	1	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e C_ U. J )
3		neiptop.o	. . . . . . . 8 |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
4		neiptop.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
5		neiptop.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
6		neiptop.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
7		neiptop.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
8		neiptop.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
9		neiptop.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	neiptopuni 19397	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. J )
11	10	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> X = U. J )
12	2, 11	sseqtr4d 3541	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e C_ X )
13		simp-4l 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ph )
14	12	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> U. e C_ X )
15		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> p e. U. e )
16	14, 15	sseldd 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> p e. X )
17	13, 16	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ph /\ p e. X ) )
18		elssuni 4275	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. e -> c C_ U. e )
19	18	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c C_ U. e )
20	17, 19, 14	3jca 1176	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> e C_ J )
22	21	sselda 3504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) -> c e. J )
23	3	neipeltop 19396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. J <-> ( c C_ X /\ A. p e. c c e. ( N ` p ) ) )
24	23	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. J -> A. p e. c c e. ( N ` p ) )
25	22, 24	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) -> A. p e. c c e. ( N ` p ) )
26	25	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c e. ( N ` p ) )
27	26	adantllr 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> c e. ( N ` p ) )
28		sseq1 3525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = c -> ( a C_ U. e <-> c C_ U. e ) )
29	28	3anbi2d 1304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) ) )
30		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
31	29, 30	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) ) )
32	31	imbi1d 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) )
33	32	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) ) )
34		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- X C_ X
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X C_ X )
36	9	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. p e. X X e. ( N ` p ) )
37	3	neipeltop 19396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. J <-> ( X C_ X /\ A. p e. X X e. ( N ` p ) ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. J )
39		pwexg 4631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. J -> ~P X e. _V )
40		rabexg 4597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P X e. _V -> { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } e. _V )
41	38, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } e. _V )
42	3, 41	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. _V )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> J e. _V )
44	43, 21	ssexd 4594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> e e. _V )
45		uniexg 6579	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. _V -> U. e e. _V )
46		sseq2 3526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = U. e -> ( a C_ b <-> a C_ U. e ) )
47		sseq1 3525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = U. e -> ( b C_ X <-> U. e C_ X ) )
48	46, 47	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = U. e -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) ) )
49	48	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = U. e -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) ) )
50		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = U. e -> ( b e. ( N ` p ) <-> U. e e. ( N ` p ) ) )
51	49, 50	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = U. e -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) ) )
52	51, 5	vtoclg 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. e e. _V -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
53	44, 45, 52	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
54	33, 53	chvarv 1983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
55	54	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c C_ U. e /\ U. e C_ X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> U. e e. ( N ` p ) ) )
56	20, 27, 55	mp2and 679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) /\ c e. e ) /\ p e. c ) -> U. e e. ( N ` p ) )
57		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> p e. U. e )
58		eluni2 4249	. . . . . . . 8 |- ( p e. U. e <-> E. c e. e p e. c )
59	57, 58	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> E. c e. e p e. c )
60	56, 59	r19.29a 3003	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ J ) /\ p e. U. e ) -> U. e e. ( N ` p ) )
61	60	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> A. p e. U. e U. e e. ( N ` p ) )
62	3	neipeltop 19396	. . . . 5 |- ( U. e e. J <-> ( U. e C_ X /\ A. p e. U. e U. e e. ( N ` p ) ) )
63	12, 61, 62	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ e C_ J ) -> U. e e. J )
64	63	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( e C_ J -> U. e e. J ) )
65	64	alrimiv 1695	. 2 |- ( ph -> A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) )
66		inss1 3718	. . . . . 6 |- ( e i^i f ) C_ e
67	3	neipeltop 19396	. . . . . . . 8 |- ( e e. J <-> ( e C_ X /\ A. p e. e e e. ( N ` p ) ) )
68	67	simplbi 460	. . . . . . 7 |- ( e e. J -> e C_ X )
69	68	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> e C_ X )
70	66, 69	syl5ss 3515	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> ( e i^i f ) C_ X )
71		simplll 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ph )
72		simpllr 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e e. J )
73	72, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e C_ X )
74		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. ( e i^i f ) )
75	66, 74	sseldi 3502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. e )
76	73, 75	sseldd 3505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. X )
77	71, 76, 6	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
78	67	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. J -> A. p e. e e e. ( N ` p ) )
79	78	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. J /\ p e. e ) -> e e. ( N ` p ) )
80	72, 75, 79	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> e e. ( N ` p ) )
81		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> f e. J )
82		inss2 3719	. . . . . . . . . 10 |- ( e i^i f ) C_ f
83	82, 74	sseldi 3502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> p e. f )
84	3	neipeltop 19396	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. J <-> ( f C_ X /\ A. p e. f f e. ( N ` p ) ) )
85	84	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. J -> A. p e. f f e. ( N ` p ) )
86	85	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. J /\ p e. f ) -> f e. ( N ` p ) )
87	81, 83, 86	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> f e. ( N ` p ) )
88		fvex 5874	. . . . . . . . 9 |- ( N ` p ) e. _V
89		inelfi 7874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N ` p ) e. _V /\ e e. ( N ` p ) /\ f e. ( N ` p ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
90	88, 89	mp3an1 1311	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. ( N ` p ) /\ f e. ( N ` p ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
91	80, 87, 90	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( e i^i f ) e. ( fi ` ( N ` p ) ) )
92	77, 91	sseldd 3505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) /\ p e. ( e i^i f ) ) -> ( e i^i f ) e. ( N ` p ) )
93	92	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> A. p e. ( e i^i f ) ( e i^i f ) e. ( N ` p ) )
94	3	neipeltop 19396	. . . . 5 |- ( ( e i^i f ) e. J <-> ( ( e i^i f ) C_ X /\ A. p e. ( e i^i f ) ( e i^i f ) e. ( N ` p ) ) )
95	70, 93, 94	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. J ) /\ f e. J ) -> ( e i^i f ) e. J )
96	95	ralrimiva 2878	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. J ) -> A. f e. J ( e i^i f ) e. J )
97	96	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J )
98		istopg 19171	. . 3 |- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) /\ A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J ) ) )
99	42, 98	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. e ( e C_ J -> U. e e. J ) /\ A. e e. J A. f e. J ( e i^i f ) e. J ) ) )
100	65, 97, 99	mpbir2and 920	1 |- ( ph -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   -->wf 5582   ` cfv 5586   ficfi 7866   Topctop 19161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-top 19166

This theorem is referenced by:  neiptopnei  19399  neiptopreu  19400