Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neiptopreu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem neiptopreu 20142
 Description: If, to each element of a set , we associate a set fulfilling the properties Vi, Vii, Viii and property Viv of [BourbakiTop1] p. I.2. , corresponding to ssnei 20119, innei 20134, elnei 20120 and neissex 20136, then there is a unique topology such that for any point , is the set of neighborhoods of . Proposition 2 of [BourbakiTop1] p. I.3. This can be used to build a topology from a set of neighborhoods. Note that the additional condition that is a neighborhood of all points was added. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o
neiptop.0
neiptop.1
neiptop.2
neiptop.3
neiptop.4
neiptop.5
Assertion
Ref Expression
neiptopreu TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem neiptopreu
StepHypRef Expression
1 neiptop.o . . . . 5
2 neiptop.0 . . . . 5
3 neiptop.1 . . . . 5
4 neiptop.2 . . . . 5
5 neiptop.3 . . . . 5
6 neiptop.4 . . . . 5
7 neiptop.5 . . . . 5
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7neiptoptop 20140 . . . 4
9 eqid 2450 . . . . 5
109toptopon 19941 . . . 4 TopOn
118, 10sylib 200 . . 3 TopOn
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7neiptopuni 20139 . . . 4
1312fveq2d 5867 . . 3 TopOn TopOn
1411, 13eleqtrrd 2531 . 2 TopOn
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7neiptopnei 20141 . 2
16 nfv 1760 . . . . . . . . . 10 TopOn
17 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . . 11
1817nfeq2 2606 . . . . . . . . . 10
1916, 18nfan 2010 . . . . . . . . 9 TopOn
20 nfv 1760 . . . . . . . . 9
2119, 20nfan 2010 . . . . . . . 8 TopOn
22 simpllr 768 . . . . . . . . . . 11 TopOn
23 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
2423sselda 3431 . . . . . . . . . . 11 TopOn
25 id 22 . . . . . . . . . . . 12
26 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . 13
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
2825, 27fvmpt2d 5957 . . . . . . . . . . 11
2922, 24, 28syl2anc 666 . . . . . . . . . 10 TopOn
3029eqcomd 2456 . . . . . . . . 9 TopOn
3130eleq2d 2513 . . . . . . . 8 TopOn
3221, 31ralbida 2820 . . . . . . 7 TopOn
3332pm5.32da 646 . . . . . 6 TopOn
34 simpllr 768 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
35 simpr 463 . . . . . . . . 9 TopOn
36 toponss 19937 . . . . . . . . 9 TopOn
3734, 35, 36syl2anc 666 . . . . . . . 8 TopOn
38 topontop 19934 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3938ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10 TopOn
40 opnnei 20129 . . . . . . . . . 10
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
4241biimpa 487 . . . . . . . 8 TopOn
4337, 42jca 535 . . . . . . 7 TopOn
4441biimpar 488 . . . . . . . 8 TopOn
4544adantrl 721 . . . . . . 7 TopOn
4643, 45impbida 842 . . . . . 6 TopOn
471neipeltop 20138 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6 TopOn
4933, 46, 483bitr4d 289 . . . . 5 TopOn
5049eqrdv 2448 . . . 4 TopOn
5150ex 436 . . 3 TopOn
5251ralrimiva 2801 . 2 TopOn
53 simpl 459 . . . . . . 7
5453fveq2d 5867 . . . . . 6
5554fveq1d 5865 . . . . 5
5655mpteq2dva 4488 . . . 4
5756eqeq2d 2460 . . 3
5857eqreu 3229 . 2 TopOn TopOn TopOn
5914, 15, 52, 58syl3anc 1267 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  wreu 2738  crab 2740  cvv 3044   wss 3403  cpw 3950  csn 3967  cuni 4197   cmpt 4460  wf 5577  cfv 5581  cfi 7921  ctop 19910  TopOnctopon 19911  cnei 20106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-fi 7922  df-top 19914  df-topon 19916  df-ntr 20028  df-nei 20107 This theorem is referenced by:  ustuqtop  21254
 Copyright terms: Public domain W3C validator