Theorem neiptopnei 20203

Description: Lemma for neiptopreu 20204. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
neiptop.0	|- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1	|- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
neiptop.2	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
neiptop.3	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
neiptop.4	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
neiptop.5	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )

Assertion

Ref	Expression
neiptopnei	|- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Distinct variable groups:   p, a, N   X, a, b, p   J, a, p   X, p   ph, p   N, b   X, b   ph, a, b, q, p   N, p, q   X, q   ph, q

Allowed substitution hints:   J( q, b)

Proof of Theorem neiptopnei

Dummy variables c d r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neiptop.0	. . 3 |- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
2	1	feqmptd 5945	. 2 |- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( N ` p ) ) )
3	1	ffvelrnda 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( N ` p ) e. ~P ~P X )
4	3	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( N ` p ) e. ~P ~P X )
5	4	elpwid 3973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( N ` p ) C_ ~P X )
6		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) )
7	5, 6	sseldd 3445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c e. ~P X )
8	7	elpwid 3973	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c C_ X )
9		neiptop.o	. . . . . . . . . . 11 |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
10		neiptop.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
11		neiptop.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
12		neiptop.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
13		neiptop.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
14		neiptop.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
15	9, 1, 10, 11, 12, 13, 14	neiptopuni 20201	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = U. J )
16	15	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X = U. J )
17	16	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> X = U. J )
18	8, 17	sseqtrd 3480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c C_ U. J )
19		ssrab2 3526	. . . . . . . . . 10 |- { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X )
21		fveq2 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = r -> ( N ` q ) = ( N ` r ) )
22	21	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = r -> ( c e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` r ) ) )
23	22	elrab 3208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) )
24		simp-5l 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> ph )
25		simpr1l 1071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) /\ b e. ( N ` r ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) ) -> r e. X )
26	25	3anassrs 1240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> r e. X )
27		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
28		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> b e. ( N ` r ) )
29		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = b -> ( a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) )
30	29	3anbi2d 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) ) )
31		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = b -> ( a e. ( N ` r ) <-> b e. ( N ` r ) ) )
32	30, 31	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = b -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ b e. ( N ` r ) ) ) )
33	32	imbi1d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = b -> ( ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) ) )
34		simpl1l 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> ph )
35	9, 1, 10, 11, 12, 13, 14	neiptoptop 20202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. Top )
36		uniexg 6620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> U. J e. _V )
38	15, 37	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. _V )
39		rabexg 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. _V -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. _V )
40		sseq2 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( a C_ b <-> a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) )
41		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( b C_ X <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) )
42	40, 41	3anbi23d 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) ) )
43	42	anbi1d 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) ) )
44		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( b e. ( N ` r ) <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
45	43, 44	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> b e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) ) )
46		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p = r -> ( p e. X <-> r e. X ) )
47	46	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = r -> ( ( ph /\ p e. X ) <-> ( ph /\ r e. X ) ) )
48	47	3anbi1d 1352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = r -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) ) )
49		fveq2 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = r -> ( N ` p ) = ( N ` r ) )
50	49	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = r -> ( a e. ( N ` p ) <-> a e. ( N ` r ) ) )
51	48, 50	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = r -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) ) )
52	49	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = r -> ( b e. ( N ` p ) <-> b e. ( N ` r ) ) )
53	51, 52	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = r -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> b e. ( N ` r ) ) ) )
54	53, 10	chvarv 2118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> b e. ( N ` r ) )
55	45, 54	vtoclg 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. _V -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
56	38, 39, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
57	34, 56	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
58	33, 57	chvarv 2118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
59	58	3an1rs 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ b e. ( N ` r ) ) /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
60	19, 59	mpan2 682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ b e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
61	24, 26, 27, 28, 60	syl211anc 1282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
62		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> ph )
63		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> r e. X )
64		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> c e. ( N ` r ) )
65	49	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = r -> ( c e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` r ) ) )
66	47, 65	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = r -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) ) )
67		fveq2 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q = s -> ( N ` q ) = ( N ` s ) )
68	67	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q = s -> ( c e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` s ) ) )
69	68	cbvralv 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. q e. b c e. ( N ` q ) <-> A. s e. b c e. ( N ` s ) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = r -> ( A. q e. b c e. ( N ` q ) <-> A. s e. b c e. ( N ` s ) ) )
71	49, 70	rexeqbidv 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = r -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) ) )
72	66, 71	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = r -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) ) ) )
73		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
74	73	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) ) )
75		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` q ) ) )
76	75	rexralbidv 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) ) )
77	74, 76	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) ) ) )
78	77, 13	chvarv 2118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) )
79	72, 78	chvarv 2118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) )
80	1	ffvelrnda 6050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ r e. X ) -> ( N ` r ) e. ~P ~P X )
81	80	elpwid 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ r e. X ) -> ( N ` r ) C_ ~P X )
82	81	sselda 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> b e. ~P X )
83	82	elpwid 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> b C_ X )
84	83	sselda 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ s e. b ) -> s e. X )
85	84	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ s e. b ) -> ( c e. ( N ` s ) -> s e. X ) )
86	85	ancrd 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ s e. b ) -> ( c e. ( N ` s ) -> ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
87	86	ralimdva 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> ( A. s e. b c e. ( N ` s ) -> A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
88	87	reximdva 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. X ) -> ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
89	88	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
90	79, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
91	68	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
92	91	ralbii 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
93	92	rexbii 2901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
94	90, 93	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
95		dfss3 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
96	95	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
97	96	reximi 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> E. b e. ( N ` r ) b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
98	94, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
99	62, 63, 64, 98	syl21anc 1275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> E. b e. ( N ` r ) b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
100	61, 99	r19.29a 2944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
101	23, 100	sylan2b 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
102	101	ralrimiva 2814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> A. r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
103	49	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = r -> ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
104	103	cbvralv 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) <-> A. r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
105	102, 104	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> A. p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) )
106	9	neipeltop 20200	. . . . . . . . 9 |- ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. J <-> ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X /\ A. p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) ) )
107	20, 105, 106	sylanbrc 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. J )
108		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> p e. X )
109	108	anim1i 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( p e. X /\ c e. ( N ` p ) ) )
110		fveq2 5892	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = p -> ( N ` q ) = ( N ` p ) )
111	110	eleq2d 2525	. . . . . . . . . 10 |- ( q = p -> ( c e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
112	111	elrab 3208	. . . . . . . . 9 |- ( p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( p e. X /\ c e. ( N ` p ) ) )
113	109, 112	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
114		nfv 1772	. . . . . . . . 9 |- F/ q ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) )
115		nfrab1 2983	. . . . . . . . 9 |- F/_ q { q e. X | c e. ( N ` q ) }
116		nfcv 2603	. . . . . . . . 9 |- F/_ q c
117		rabid 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) )
118		simplll 773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> ph )
119		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> q e. X )
120		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> c e. ( N ` q ) )
121		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = q -> ( p e. X <-> q e. X ) )
122	121	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = q -> ( ( ph /\ p e. X ) <-> ( ph /\ q e. X ) ) )
123		fveq2 5892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = q -> ( N ` p ) = ( N ` q ) )
124	123	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = q -> ( c e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` q ) ) )
125	122, 124	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = q -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ph /\ q e. X ) /\ c e. ( N ` q ) ) ) )
126		elequ1 1905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = q -> ( p e. c <-> q e. c ) )
127	125, 126	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = q -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. c ) <-> ( ( ( ph /\ q e. X ) /\ c e. ( N ` q ) ) -> q e. c ) ) )
128		elequ2 1912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = c -> ( p e. a <-> p e. c ) )
129	74, 128	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. c ) ) )
130	129, 12	chvarv 2118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. c )
131	127, 130	chvarv 2118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. X ) /\ c e. ( N ` q ) ) -> q e. c )
132	118, 119, 120, 131	syl21anc 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> q e. c )
133	132	ex 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) -> q e. c ) )
134	117, 133	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( q e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> q e. c ) )
135	114, 115, 116, 134	ssrd 3449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c )
136		eleq2 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( d = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( p e. d <-> p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) )
137		sseq1 3465	. . . . . . . . . 10 |- ( d = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( d C_ c <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c ) )
138	136, 137	anbi12d 722	. . . . . . . . 9 |- ( d = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( p e. d /\ d C_ c ) <-> ( p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c ) ) )
139	138	rspcev 3162	. . . . . . . 8 |- ( ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. J /\ ( p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c ) ) -> E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) )
140	107, 113, 135, 139	syl12anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) )
141	18, 140	jca 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) )
142		nfv 1772	. . . . . . . 8 |- F/ d ( ph /\ p e. X )
143		nfv 1772	. . . . . . . . 9 |- F/ d c C_ U. J
144		nfre1 2860	. . . . . . . . 9 |- F/ d E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c )
145	143, 144	nfan 2022	. . . . . . . 8 |- F/ d ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) )
146	142, 145	nfan 2022	. . . . . . 7 |- F/ d ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) )
147		simplll 773	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> ( ph /\ p e. X ) )
148		simpr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> d C_ c )
149		simpr1l 1071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) /\ d e. ( N ` p ) /\ d C_ c ) ) -> c C_ U. J )
150	149	3anassrs 1240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> c C_ U. J )
151	147, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> X = U. J )
152	150, 151	sseqtr4d 3481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> c C_ X )
153		simplr 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> d e. ( N ` p ) )
154		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( a C_ c <-> d C_ c ) )
155	154	3anbi2d 1353	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) ) )
156		eleq1 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( a e. ( N ` p ) <-> d e. ( N ` p ) ) )
157	155, 156	anbi12d 722	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) /\ d e. ( N ` p ) ) ) )
158	157	imbi1d 323	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) /\ d e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) ) ) )
159		sseq2 3466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( a C_ b <-> a C_ c ) )
160		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( b C_ X <-> c C_ X ) )
161	159, 160	3anbi23d 1351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) ) )
162	161	anbi1d 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) ) )
163		eleq1 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( b e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
164	162, 163	imbi12d 326	. . . . . . . . . 10 |- ( b = c -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) ) ) )
165	164, 10	chvarv 2118	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) )
166	158, 165	chvarv 2118	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) /\ d e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) )
167	147, 148, 152, 153, 166	syl31anc 1279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> c e. ( N ` p ) )
168	9	neipeltop 20200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. J <-> ( d C_ X /\ A. p e. d d e. ( N ` p ) ) )
169	168	simprbi 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. J -> A. p e. d d e. ( N ` p ) )
170	169	r19.21bi 2769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. J /\ p e. d ) -> d e. ( N ` p ) )
171	170	anim1i 576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d e. J /\ p e. d ) /\ d C_ c ) -> ( d e. ( N ` p ) /\ d C_ c ) )
172	171	anasss 657	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. J /\ ( p e. d /\ d C_ c ) ) -> ( d e. ( N ` p ) /\ d C_ c ) )
173	172	reximi2 2866	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) -> E. d e. ( N ` p ) d C_ c )
174	173	ad2antll 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) -> E. d e. ( N ` p ) d C_ c )
175	146, 167, 174	r19.29af 2942	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) -> c e. ( N ` p ) )
176	141, 175	impbida 848	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( c e. ( N ` p ) <-> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) )
177	35	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> J e. Top )
178	108, 16	eleqtrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> p e. U. J )
179		eqid 2462	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
180	179	isneip 20176	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ p e. U. J ) -> ( c e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) )
181	177, 178, 180	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( c e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) )
182	176, 181	bitr4d 264	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( c e. ( N ` p ) <-> c e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
183	182	eqrdv 2460	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( N ` p ) = ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
184	183	mpteq2dva 4505	. 2 |- ( ph -> ( p e. X |-> ( N ` p ) ) = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
185	2, 184	eqtrd 2496	1 |- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   |-> cmpt 4477   -->wf 5601   ` cfv 5605   ficfi 7955   Topctop 19972   neicnei 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-fin 7604  df-fi 7956  df-top 19976  df-nei 20169

This theorem is referenced by:  neiptopreu  20204  utopsnneiplem  21317