Theorem neiptopnei 20146

Description: Lemma for neiptopreu 20147 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
neiptop.0	|- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1	|- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
neiptop.2	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
neiptop.3	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
neiptop.4	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
neiptop.5	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )

Assertion

Ref	Expression
neiptopnei	|- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Distinct variable groups:   p, a, N   X, a, b, p   J, a, p   X, p   ph, p   N, b   X, b   ph, a, b, q, p   N, p, q   X, q   ph, q

Allowed substitution hints:   J( q, b)

Proof of Theorem neiptopnei

Dummy variables c d r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neiptop.0	. . 3 |- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
2	1	feqmptd 5934	. 2 |- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( N ` p ) ) )
3	1	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( N ` p ) e. ~P ~P X )
4	3	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( N ` p ) e. ~P ~P X )
5	4	elpwid 3991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( N ` p ) C_ ~P X )
6		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) )
7	5, 6	sseldd 3465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c e. ~P X )
8	7	elpwid 3991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c C_ X )
9		neiptop.o	. . . . . . . . . . 11 |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
10		neiptop.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
11		neiptop.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
12		neiptop.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
13		neiptop.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
14		neiptop.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
15	9, 1, 10, 11, 12, 13, 14	neiptopuni 20144	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = U. J )
16	15	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X = U. J )
17	16	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> X = U. J )
18	8, 17	sseqtrd 3500	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> c C_ U. J )
19		ssrab2 3546	. . . . . . . . . 10 |- { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X )
21		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = r -> ( N ` q ) = ( N ` r ) )
22	21	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = r -> ( c e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` r ) ) )
23	22	elrab 3228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) )
24		simp-5l 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> ph )
25		simpr1l 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) /\ b e. ( N ` r ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) ) -> r e. X )
26	25	3anassrs 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> r e. X )
27		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
28		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> b e. ( N ` r ) )
29		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = b -> ( a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) )
30	29	3anbi2d 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) ) )
31		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = b -> ( a e. ( N ` r ) <-> b e. ( N ` r ) ) )
32	30, 31	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = b -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ b e. ( N ` r ) ) ) )
33	32	imbi1d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = b -> ( ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) ) )
34		simpl1l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> ph )
35	9, 1, 10, 11, 12, 13, 14	neiptoptop 20145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. Top )
36		uniexg 6602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> U. J e. _V )
38	15, 37	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. _V )
39		rabexg 4574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. _V -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. _V )
40		sseq2 3486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( a C_ b <-> a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) )
41		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( b C_ X <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) )
42	40, 41	3anbi23d 1338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) ) )
43	42	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) ) )
44		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( b e. ( N ` r ) <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
45	43, 44	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> b e. ( N ` r ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) ) )
46		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p = r -> ( p e. X <-> r e. X ) )
47	46	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = r -> ( ( ph /\ p e. X ) <-> ( ph /\ r e. X ) ) )
48	47	3anbi1d 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = r -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) ) )
49		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = r -> ( N ` p ) = ( N ` r ) )
50	49	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = r -> ( a e. ( N ` p ) <-> a e. ( N ` r ) ) )
51	48, 50	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = r -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) ) )
52	49	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = r -> ( b e. ( N ` p ) <-> b e. ( N ` r ) ) )
53	51, 52	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = r -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> b e. ( N ` r ) ) ) )
54	53, 10	chvarv 2072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> b e. ( N ` r ) )
55	45, 54	vtoclg 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. _V -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
56	38, 39, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
57	34, 56	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ a C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ a e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
58	33, 57	chvarv 2072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
59	58	3an1rs 1217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ b e. ( N ` r ) ) /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
60	19, 59	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ b e. ( N ` r ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
61	24, 26, 27, 28, 60	syl211anc 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
62		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> ph )
63		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> r e. X )
64		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> c e. ( N ` r ) )
65	49	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = r -> ( c e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` r ) ) )
66	47, 65	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = r -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) ) )
67		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q = s -> ( N ` q ) = ( N ` s ) )
68	67	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q = s -> ( c e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` s ) ) )
69	68	cbvralv 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. q e. b c e. ( N ` q ) <-> A. s e. b c e. ( N ` s ) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = r -> ( A. q e. b c e. ( N ` q ) <-> A. s e. b c e. ( N ` s ) ) )
71	49, 70	rexeqbidv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = r -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) ) )
72	66, 71	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = r -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) ) ) )
73		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
74	73	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) ) )
75		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = c -> ( a e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` q ) ) )
76	75	rexralbidv 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) ) )
77	74, 76	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) ) ) )
78	77, 13	chvarv 2072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b c e. ( N ` q ) )
79	72, 78	chvarv 2072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) )
80	1	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ r e. X ) -> ( N ` r ) e. ~P ~P X )
81	80	elpwid 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ r e. X ) -> ( N ` r ) C_ ~P X )
82	81	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> b e. ~P X )
83	82	elpwid 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> b C_ X )
84	83	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ s e. b ) -> s e. X )
85	84	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ s e. b ) -> ( c e. ( N ` s ) -> s e. X ) )
86	85	ancrd 556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) /\ s e. b ) -> ( c e. ( N ` s ) -> ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
87	86	ralimdva 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ b e. ( N ` r ) ) -> ( A. s e. b c e. ( N ` s ) -> A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
88	87	reximdva 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. X ) -> ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
89	88	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b c e. ( N ` s ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) ) )
90	79, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
91	68	elrab 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
92	91	ralbii 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
93	92	rexbii 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b ( s e. X /\ c e. ( N ` s ) ) )
94	90, 93	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
95		dfss3 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
96	95	biimpri 209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
97	96	reximi 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. b e. ( N ` r ) A. s e. b s e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> E. b e. ( N ` r ) b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
98	94, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. X ) /\ c e. ( N ` r ) ) -> E. b e. ( N ` r ) b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
99	62, 63, 64, 98	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> E. b e. ( N ` r ) b C_ { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
100	61, 99	r19.29a 2967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( r e. X /\ c e. ( N ` r ) ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
101	23, 100	sylan2b 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
102	101	ralrimiva 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> A. r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
103	49	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = r -> ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) ) )
104	103	cbvralv 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) <-> A. r e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` r ) )
105	102, 104	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> A. p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) )
106	9	neipeltop 20143	. . . . . . . . 9 |- ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. J <-> ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ X /\ A. p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. ( N ` p ) ) )
107	20, 105, 106	sylanbrc 668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. J )
108		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> p e. X )
109	108	anim1i 570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( p e. X /\ c e. ( N ` p ) ) )
110		fveq2 5881	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = p -> ( N ` q ) = ( N ` p ) )
111	110	eleq2d 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( q = p -> ( c e. ( N ` q ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
112	111	elrab 3228	. . . . . . . . 9 |- ( p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( p e. X /\ c e. ( N ` p ) ) )
113	109, 112	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } )
114		nfv 1755	. . . . . . . . 9 |- F/ q ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) )
115		nfrab1 3006	. . . . . . . . 9 |- F/_ q { q e. X | c e. ( N ` q ) }
116		nfcv 2580	. . . . . . . . 9 |- F/_ q c
117		rabid 3002	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } <-> ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) )
118		simplll 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> ph )
119		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> q e. X )
120		simprr 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> c e. ( N ` q ) )
121		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = q -> ( p e. X <-> q e. X ) )
122	121	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = q -> ( ( ph /\ p e. X ) <-> ( ph /\ q e. X ) ) )
123		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = q -> ( N ` p ) = ( N ` q ) )
124	123	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = q -> ( c e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` q ) ) )
125	122, 124	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = q -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ph /\ q e. X ) /\ c e. ( N ` q ) ) ) )
126		elequ1 1875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = q -> ( p e. c <-> q e. c ) )
127	125, 126	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = q -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. c ) <-> ( ( ( ph /\ q e. X ) /\ c e. ( N ` q ) ) -> q e. c ) ) )
128		elequ2 1877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = c -> ( p e. a <-> p e. c ) )
129	74, 128	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. c ) ) )
130	129, 12	chvarv 2072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> p e. c )
131	127, 130	chvarv 2072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. X ) /\ c e. ( N ` q ) ) -> q e. c )
132	118, 119, 120, 131	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) /\ ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) ) -> q e. c )
133	132	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( ( q e. X /\ c e. ( N ` q ) ) -> q e. c ) )
134	117, 133	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( q e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> q e. c ) )
135	114, 115, 116, 134	ssrd 3469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c )
136		eleq2 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( d = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( p e. d <-> p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } ) )
137		sseq1 3485	. . . . . . . . . 10 |- ( d = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( d C_ c <-> { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c ) )
138	136, 137	anbi12d 715	. . . . . . . . 9 |- ( d = { q e. X | c e. ( N ` q ) } -> ( ( p e. d /\ d C_ c ) <-> ( p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c ) ) )
139	138	rspcev 3182	. . . . . . . 8 |- ( ( { q e. X | c e. ( N ` q ) } e. J /\ ( p e. { q e. X | c e. ( N ` q ) } /\ { q e. X | c e. ( N ` q ) } C_ c ) ) -> E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) )
140	107, 113, 135, 139	syl12anc 1262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) )
141	18, 140	jca 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ c e. ( N ` p ) ) -> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) )
142		nfv 1755	. . . . . . . 8 |- F/ d ( ph /\ p e. X )
143		nfv 1755	. . . . . . . . 9 |- F/ d c C_ U. J
144		nfre1 2883	. . . . . . . . 9 |- F/ d E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c )
145	143, 144	nfan 1988	. . . . . . . 8 |- F/ d ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) )
146	142, 145	nfan 1988	. . . . . . 7 |- F/ d ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) )
147		simplll 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> ( ph /\ p e. X ) )
148		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> d C_ c )
149		simpr1l 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) /\ d e. ( N ` p ) /\ d C_ c ) ) -> c C_ U. J )
150	149	3anassrs 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> c C_ U. J )
151	147, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> X = U. J )
152	150, 151	sseqtr4d 3501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> c C_ X )
153		simplr 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> d e. ( N ` p ) )
154		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( a C_ c <-> d C_ c ) )
155	154	3anbi2d 1340	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) ) )
156		eleq1 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( a e. ( N ` p ) <-> d e. ( N ` p ) ) )
157	155, 156	anbi12d 715	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) /\ d e. ( N ` p ) ) ) )
158	157	imbi1d 318	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) /\ d e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) ) ) )
159		sseq2 3486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( a C_ b <-> a C_ c ) )
160		sseq1 3485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( b C_ X <-> c C_ X ) )
161	159, 160	3anbi23d 1338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = c -> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) ) )
162	161	anbi1d 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) ) )
163		eleq1 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( b e. ( N ` p ) <-> c e. ( N ` p ) ) )
164	162, 163	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( b = c -> ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) ) ) )
165	164, 10	chvarv 2072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ c /\ c C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) )
166	158, 165	chvarv 2072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ d C_ c /\ c C_ X ) /\ d e. ( N ` p ) ) -> c e. ( N ` p ) )
167	147, 148, 152, 153, 166	syl31anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) /\ d e. ( N ` p ) ) /\ d C_ c ) -> c e. ( N ` p ) )
168	9	neipeltop 20143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. J <-> ( d C_ X /\ A. p e. d d e. ( N ` p ) ) )
169	168	simprbi 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. J -> A. p e. d d e. ( N ` p ) )
170	169	r19.21bi 2791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. J /\ p e. d ) -> d e. ( N ` p ) )
171	170	anim1i 570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d e. J /\ p e. d ) /\ d C_ c ) -> ( d e. ( N ` p ) /\ d C_ c ) )
172	171	anasss 651	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. J /\ ( p e. d /\ d C_ c ) ) -> ( d e. ( N ` p ) /\ d C_ c ) )
173	172	reximi2 2889	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) -> E. d e. ( N ` p ) d C_ c )
174	173	ad2antll 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) -> E. d e. ( N ` p ) d C_ c )
175	146, 167, 174	r19.29af 2965	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) -> c e. ( N ` p ) )
176	141, 175	impbida 840	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( c e. ( N ` p ) <-> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) )
177	35	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> J e. Top )
178	108, 16	eleqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> p e. U. J )
179		eqid 2422	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
180	179	isneip 20119	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ p e. U. J ) -> ( c e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) )
181	177, 178, 180	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( c e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( c C_ U. J /\ E. d e. J ( p e. d /\ d C_ c ) ) ) )
182	176, 181	bitr4d 259	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( c e. ( N ` p ) <-> c e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
183	182	eqrdv 2419	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( N ` p ) = ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
184	183	mpteq2dva 4510	. 2 |- ( ph -> ( p e. X |-> ( N ` p ) ) = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
185	2, 184	eqtrd 2463	1 |- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080   C_ wss 3436   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219   |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601   ficfi 7933   Topctop 19915   neicnei 20111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584  df-fi 7934  df-top 19919  df-nei 20112

This theorem is referenced by:  neiptopreu  20147  utopsnneiplem  21260