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Theorem neiptopnei 18741
Description: Lemma for neiptopreu 18742 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o  |-  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
neiptop.0  |-  ( ph  ->  N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
b  e.  ( N `
 p ) )
neiptop.2  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
neiptop.3  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  a )
neiptop.4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
neiptop.5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
Assertion
Ref Expression
neiptopnei  |-  ( ph  ->  N  =  ( p  e.  X  |->  ( ( nei `  J ) `
 { p }
) ) )
Distinct variable groups:    p, a, N    X, a, b, p    J, a, p    X, p    ph, p    N, b    X, b    ph, a, b, q, p    N, p, q    X, q    ph, q
Allowed substitution hints:    J( q, b)

Proof of Theorem neiptopnei
Dummy variables  c 
d  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neiptop.0 . . 3  |-  ( ph  ->  N : X --> ~P ~P X )
21feqmptd 5749 . 2  |-  ( ph  ->  N  =  ( p  e.  X  |->  ( N `
 p ) ) )
31ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( N `  p )  e.  ~P ~P X )
43adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  ( N `  p )  e.  ~P ~P X )
54elpwid 3875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  ( N `  p )  C_ 
~P X )
6 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  c  e.  ( N `  p
) )
75, 6sseldd 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  c  e.  ~P X )
87elpwid 3875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  c  C_  X )
9 neiptop.o . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
10 neiptop.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
b  e.  ( N `
 p ) )
11 neiptop.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
12 neiptop.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  a )
13 neiptop.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
14 neiptop.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
159, 1, 10, 11, 12, 13, 14neiptopuni 18739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  X  =  U. J )
188, 17sseqtrd 3397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  c  C_ 
U. J )
19 ssrab2 3442 . . . . . . . . . 10  |-  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  C_  X
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  C_  X )
21 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  r  ->  ( N `  q )  =  ( N `  r ) )
2221eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  r  ->  (
c  e.  ( N `
 q )  <->  c  e.  ( N `  r ) ) )
2322elrab 3122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  <->  ( r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r
) ) )
24 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  /\  (
r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r ) ) )  /\  b  e.  ( N `  r ) )  /\  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )  ->  ph )
25 simpr1l 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( (
r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r ) )  /\  b  e.  ( N `  r )  /\  b  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) } ) )  -> 
r  e.  X )
26253anassrs 1209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  /\  (
r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r ) ) )  /\  b  e.  ( N `  r ) )  /\  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )  ->  r  e.  X )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  /\  (
r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r ) ) )  /\  b  e.  ( N `  r ) )  /\  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )  ->  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  /\  (
r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r ) ) )  /\  b  e.  ( N `  r ) )  /\  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )  ->  b  e.  ( N `  r ) )
29 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  <->  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } ) )
30293anbi2d 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  <->  ( ( ph  /\  r  e.  X
)  /\  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
) ) )
31 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  ( N `
 r )  <->  b  e.  ( N `  r ) ) )
3230, 31anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  <->  ( (
( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
)  /\  b  e.  ( N `  r ) ) ) )
3332imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( (
ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) )  <->  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
)  /\  b  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) ) ) )
34 simpl1l 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  ->  ph )
359, 1, 10, 11, 12, 13, 14neiptoptop 18740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
36 uniexg 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
3815, 37eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
39 rabexg 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  _V  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  _V )
40 sseq2 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
a  C_  b  <->  a  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } ) )
41 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
b  C_  X  <->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
) )
4240, 413anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <->  ( ( ph  /\  r  e.  X
)  /\  a  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
) ) )
4342anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  <->  ( ( (
ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  r ) ) ) )
44 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
b  e.  ( N `
 r )  <->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) ) )
4543, 44imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
( ( ( (
ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r
) )  ->  b  e.  ( N `  r
) )  <->  ( (
( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) ) ) )
46 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  r  ->  (
p  e.  X  <->  r  e.  X ) )
4746anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  r  ->  (
( ph  /\  p  e.  X )  <->  ( ph  /\  r  e.  X ) ) )
48473anbi1d 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  r  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <->  ( ( ph  /\  r  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
) ) )
49 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  r  ->  ( N `  p )  =  ( N `  r ) )
5049eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  r  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  a  e.  ( N `  r ) ) )
5148, 50anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  r  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  <->  ( ( (
ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r
) ) ) )
5249eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  r  ->  (
b  e.  ( N `
 p )  <->  b  e.  ( N `  r ) ) )
5351, 52imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  r  ->  (
( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  -> 
b  e.  ( N `
 r ) ) ) )
5453, 10chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  -> 
b  e.  ( N `
 r ) )
5545, 54vtoclg 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) }  e.  _V  ->  (
( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) ) )
5638, 39, 553syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) ) )
5734, 56mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  a  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  /\  a  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) )
5833, 57chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  /\  b  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) )
59583an1rs 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  b  e.  ( N `  r ) )  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) )
6019, 59mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  C_ 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  b  e.  ( N `  r ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) )
6124, 26, 27, 28, 60syl211anc 1224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  /\  (
r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r ) ) )  /\  b  e.  ( N `  r ) )  /\  b  C_  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) )
62 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r
) ) )  ->  ph )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r
) ) )  -> 
r  e.  X )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r
) ) )  -> 
c  e.  ( N `
 r ) )
6549eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  r  ->  (
c  e.  ( N `
 p )  <->  c  e.  ( N `  r ) ) )
6647, 65anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  r  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  <->  ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r ) ) ) )
67 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =  s  ->  ( N `  q )  =  ( N `  s ) )
6867eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  =  s  ->  (
c  e.  ( N `
 q )  <->  c  e.  ( N `  s ) ) )
6968cbvralv 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. q  e.  b  c  e.  ( N `  q
)  <->  A. s  e.  b  c  e.  ( N `
 s ) )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  r  ->  ( A. q  e.  b 
c  e.  ( N `
 q )  <->  A. s  e.  b  c  e.  ( N `  s ) ) )
7149, 70rexeqbidv 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  r  ->  ( E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
c  e.  ( N `
 q )  <->  E. b  e.  ( N `  r
) A. s  e.  b  c  e.  ( N `  s ) ) )
7266, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  r  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  c  e.  ( N `  q ) )  <->  ( ( (
ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r
) )  ->  E. b  e.  ( N `  r
) A. s  e.  b  c  e.  ( N `  s ) ) ) )
73 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  c  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  c  e.  ( N `  p ) ) )
7473anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p )
)  <->  ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p ) ) ) )
75 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  c  ->  (
a  e.  ( N `
 q )  <->  c  e.  ( N `  q ) ) )
7675rexralbidv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  c  ->  ( E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
a  e.  ( N `
 q )  <->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  c  e.  ( N `  q ) ) )
7774, 76imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )  <->  ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  c  e.  ( N `  q ) ) ) )
7877, 13chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  c  e.  ( N `  q ) )
7972, 78chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r
) )  ->  E. b  e.  ( N `  r
) A. s  e.  b  c  e.  ( N `  s ) )
801ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  r  e.  X )  ->  ( N `  r )  e.  ~P ~P X )
8180elpwid 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  r  e.  X )  ->  ( N `  r )  C_ 
~P X )
8281sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  e.  ( N `  r
) )  ->  b  e.  ~P X )
8382elpwid 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  e.  ( N `  r
) )  ->  b  C_  X )
8483sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  e.  ( N `  r )
)  /\  s  e.  b )  ->  s  e.  X )
8584a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  e.  ( N `  r )
)  /\  s  e.  b )  ->  (
c  e.  ( N `
 s )  -> 
s  e.  X ) )
8685ancrd 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  e.  ( N `  r )
)  /\  s  e.  b )  ->  (
c  e.  ( N `
 s )  -> 
( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s )
) ) )
8786ralimdva 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  b  e.  ( N `  r
) )  ->  ( A. s  e.  b 
c  e.  ( N `
 s )  ->  A. s  e.  b 
( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s )
) ) )
8887reximdva 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  e.  X )  ->  ( E. b  e.  ( N `  r ) A. s  e.  b 
c  e.  ( N `
 s )  ->  E. b  e.  ( N `  r ) A. s  e.  b 
( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s )
) ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r
) )  ->  ( E. b  e.  ( N `  r ) A. s  e.  b 
c  e.  ( N `
 s )  ->  E. b  e.  ( N `  r ) A. s  e.  b 
( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s )
) ) )
9079, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r
) )  ->  E. b  e.  ( N `  r
) A. s  e.  b  ( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s
) ) )
9168elrab 3122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  <->  ( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s
) ) )
9291ralbii 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. s  e.  b  s  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) } 
<-> 
A. s  e.  b  ( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s )
) )
9392rexbii 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  ( N `
 r ) A. s  e.  b  s  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) } 
<->  E. b  e.  ( N `  r ) A. s  e.  b  ( s  e.  X  /\  c  e.  ( N `  s )
) )
9490, 93sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r
) )  ->  E. b  e.  ( N `  r
) A. s  e.  b  s  e.  {
q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )
95 dfss3 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b 
C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  <->  A. s  e.  b  s  e.  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )
9695biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. s  e.  b  s  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  ->  b  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) } )
9796reximi 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  ( N `
 r ) A. s  e.  b  s  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  ->  E. b  e.  ( N `  r ) b  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) } )
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  r
) )  ->  E. b  e.  ( N `  r
) b  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) } )
9962, 63, 64, 98syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r
) ) )  ->  E. b  e.  ( N `  r )
b  C_  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) } )
10061, 99r19.29a 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( r  e.  X  /\  c  e.  ( N `  r
) ) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) )
10123, 100sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  r  e.  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) )
102101ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  A. r  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  r ) )
10349eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  r  ->  ( { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  p )  <->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  e.  ( N `  r ) ) )
104103cbvralv 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  p )  <->  A. r  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  {
q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) }  e.  ( N `  r ) )
105102, 104sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  A. p  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  p ) )
1069neipeltop 18738 . . . . . . . . 9  |-  ( { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) }  e.  J  <->  ( {
q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  X  /\  A. p  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  ( N `  p ) ) )
10720, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  J )
108 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  p  e.  X )
109108anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  (
p  e.  X  /\  c  e.  ( N `  p ) ) )
110 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  ( N `  q )  =  ( N `  p ) )
111110eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  p  ->  (
c  e.  ( N `
 q )  <->  c  e.  ( N `  p ) ) )
112111elrab 3122 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  <->  ( p  e.  X  /\  c  e.  ( N `  p
) ) )
113109, 112sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) } )
114 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ q ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)
115 nfrab1 2906 . . . . . . . . 9  |-  F/_ q { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }
116 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ q
c
117 rabid 2902 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  <->  ( q  e.  X  /\  c  e.  ( N `  q
) ) )
118 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( q  e.  X  /\  c  e.  ( N `  q
) ) )  ->  ph )
119 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( q  e.  X  /\  c  e.  ( N `  q
) ) )  -> 
q  e.  X )
120 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( q  e.  X  /\  c  e.  ( N `  q
) ) )  -> 
c  e.  ( N `
 q ) )
121 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
p  e.  X  <->  q  e.  X ) )
122121anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  q  ->  (
( ph  /\  p  e.  X )  <->  ( ph  /\  q  e.  X ) ) )
123 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  ( N `  p )  =  ( N `  q ) )
124123eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  q  ->  (
c  e.  ( N `
 p )  <->  c  e.  ( N `  q ) ) )
125122, 124anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  <->  ( ( ph  /\  q  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  q ) ) ) )
126 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  q  ->  (
p  e.  c  <->  q  e.  c ) )
127125, 126imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p ) )  ->  p  e.  c )  <->  ( (
( ph  /\  q  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  q
) )  ->  q  e.  c ) ) )
128 elequ2 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  c  ->  (
p  e.  a  <->  p  e.  c ) )
12974, 128imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  p  e.  a )  <->  ( (
( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  c ) ) )
130129, 12chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  c )
131127, 130chvarv 1958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  q
) )  ->  q  e.  c )
132118, 119, 120, 131syl21anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p )
)  /\  ( q  e.  X  /\  c  e.  ( N `  q
) ) )  -> 
q  e.  c )
133132ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  (
( q  e.  X  /\  c  e.  ( N `  q )
)  ->  q  e.  c ) )
134117, 133syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  (
q  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  ->  q  e.  c ) )
135114, 115, 116, 134ssrd 3366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  C_  c )
136 eleq2 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
p  e.  d  <->  p  e.  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } ) )
137 sseq1 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
d  C_  c  <->  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  c
) )
138136, 137anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  ->  (
( p  e.  d  /\  d  C_  c
)  <->  ( p  e. 
{ q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q
) }  C_  c
) ) )
139138rspcev 3078 . . . . . . . 8  |-  ( ( { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  e.  J  /\  ( p  e.  { q  e.  X  |  c  e.  ( N `  q ) }  /\  { q  e.  X  | 
c  e.  ( N `
 q ) } 
C_  c ) )  ->  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) )
140107, 113, 135, 139syl12anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) )
14118, 140jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  c  e.  ( N `  p
) )  ->  (
c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )
142 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ d ( ph  /\  p  e.  X )
143 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ d  c  C_  U. J
144 nfre1 2777 . . . . . . . . 9  |-  F/ d E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c )
145143, 144nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ d ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) )
146142, 145nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ d ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )
147 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  ( ph  /\  p  e.  X
) )
148 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  d  C_  c )
149 simpr1l 1045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  (
( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) )  /\  d  e.  ( N `  p
)  /\  d  C_  c ) )  -> 
c  C_  U. J )
1501493anassrs 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  c  C_ 
U. J )
151147, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  X  =  U. J )
152150, 151sseqtr4d 3398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  c  C_  X )
153 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  d  e.  ( N `  p
) )
154 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
a  C_  c  <->  d  C_  c ) )
1551543anbi2d 1294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X )  <->  ( ( ph  /\  p  e.  X
)  /\  d  C_  c  /\  c  C_  X
) ) )
156 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  d  e.  ( N `  p ) ) )
157155, 156anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  <->  ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  d  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  d  e.  ( N `  p
) ) ) )
158157imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  c  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  d  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  -> 
c  e.  ( N `
 p ) ) ) )
159 sseq2 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  (
a  C_  b  <->  a  C_  c ) )
160 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  (
b  C_  X  <->  c  C_  X ) )
161159, 1603anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <->  ( ( ph  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X
) ) )
162161anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  <->  ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) ) ) )
163 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  (
b  e.  ( N `
 p )  <->  c  e.  ( N `  p ) ) )
164162, 163imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( ( (
ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
c  e.  ( N `
 p ) ) ) )
165164, 10chvarv 1958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p ) )  -> 
c  e.  ( N `
 p ) )
166158, 165chvarv 1958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  d  C_  c  /\  c  C_  X )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  -> 
c  e.  ( N `
 p ) )
167147, 148, 152, 153, 166syl31anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  /\  d  e.  ( N `  p ) )  /\  d  C_  c )  ->  c  e.  ( N `  p
) )
1689neipeltop 18738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  J  <->  ( d  C_  X  /\  A. p  e.  d  d  e.  ( N `  p ) ) )
169168simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  J  ->  A. p  e.  d  d  e.  ( N `  p ) )
170169r19.21bi 2819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( d  e.  J  /\  p  e.  d )  ->  d  e.  ( N `
 p ) )
171170anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  J  /\  p  e.  d
)  /\  d  C_  c )  ->  (
d  e.  ( N `
 p )  /\  d  C_  c ) )
172171anasss 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) )  ->  ( d  e.  ( N `  p
)  /\  d  C_  c ) )
173172reximi2 2827 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c )  ->  E. d  e.  ( N `  p )
d  C_  c )
174173ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  (
c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  ->  E. d  e.  ( N `  p
) d  C_  c
)
175146, 167, 174r19.29af 2866 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  X )  /\  (
c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) )  ->  c  e.  ( N `  p ) )
176141, 175impbida 828 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  (
c  e.  ( N `
 p )  <->  ( c  C_ 
U. J  /\  E. d  e.  J  (
p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) ) )
17735adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  J  e.  Top )
178108, 16eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  p  e.  U. J )
179 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
180179isneip 18714 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  p  e.  U. J )  ->  ( c  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( c  C_ 
U. J  /\  E. d  e.  J  (
p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) ) )
181177, 178, 180syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  (
c  e.  ( ( nei `  J ) `
 { p }
)  <->  ( c  C_  U. J  /\  E. d  e.  J  ( p  e.  d  /\  d  C_  c ) ) ) )
182176, 181bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  (
c  e.  ( N `
 p )  <->  c  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
183182eqrdv 2441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  X )  ->  ( N `  p )  =  ( ( nei `  J ) `  {
p } ) )
184183mpteq2dva 4383 . 2  |-  ( ph  ->  ( p  e.  X  |->  ( N `  p
) )  =  ( p  e.  X  |->  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
1852, 184eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  N  =  ( p  e.  X  |->  ( ( nei `  J ) `
 { p }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {csn 3882   U.cuni 4096    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423   ficfi 7665   Topctop 18503   neicnei 18706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-top 18508  df-nei 18707
This theorem is referenced by:  neiptopreu  18742  utopsnneiplem  19827
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