Theorem neips 18833

Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neips	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Distinct variable groups:   J, p   N, p   S, p   X, p

Proof of Theorem neips

Dummy variables g h v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4115	. . . . . 6 |- ( p e. S -> { p } C_ S )
2		neiss 18829	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ { p } C_ S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
3	1, 2	syl3an3 1254	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ p e. S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
4	3	3exp 1187	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> ( p e. S -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) )
5	4	ralrimdv 2901	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
6	5	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
7		r19.28zv 3873	. . . . 5 |- ( S =/= (/) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
8	7	3ad2ant3 1011	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
9		ssrab2 3535	. . . . . . . . . 10 |- { v e. J | v C_ N } C_ J
10		uniopn 18626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { v e. J | v C_ N } C_ J ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
11	9, 10	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
13		sseq1 3475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = g -> ( v C_ N <-> g C_ N ) )
14	13	elrab 3214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. { v e. J | v C_ N } <-> ( g e. J /\ g C_ N ) )
15		elunii 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. g /\ g e. { v e. J | v C_ N } ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
16	14, 15	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. g /\ ( g e. J /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
17	16	an12s 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. J /\ ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
18	17	rexlimiva 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
19	18	ralimi 2811	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
20		dfss3 3444	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } <-> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
21	19, 20	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
23		unissb 4221	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { v e. J | v C_ N } C_ N <-> A. h e. { v e. J | v C_ N } h C_ N )
24		sseq1 3475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = h -> ( v C_ N <-> h C_ N ) )
25	24	elrab 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } <-> ( h e. J /\ h C_ N ) )
26	25	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } -> h C_ N )
27	23, 26	mprgbir 2894	. . . . . . . . 9 |- U. { v e. J | v C_ N } C_ N
28	22, 27	jctir 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
29		sseq2 3476	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( S C_ h <-> S C_ U. { v e. J | v C_ N } ) )
30		sseq1 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( h C_ N <-> U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
31	29, 30	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( ( S C_ h /\ h C_ N ) <-> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) )
32	31	rspcev 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( U. { v e. J | v C_ N } e. J /\ ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
33	12, 28, 32	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
34	33	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) )
35	34	anim2d 565	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
36	35	3adant3 1008	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
37	8, 36	sylbid 215	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
38		ssel2 3449	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ X /\ p e. S ) -> p e. X )
39		neips.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
40	39	isneip 18825	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ p e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
41	38, 40	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S C_ X /\ p e. S ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
42	41	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ p e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
43	42	ralbidva 2837	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
44	43	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
45	39	isnei 18823	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
46	45	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
47	37, 44, 46	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
48	6, 47	impbid 191	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   C_ wss 3426   (/)c0 3735   {csn 3975   U.cuni 4189   ` cfv 5516   Topctop 18614   neicnei 18817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-top 18619  df-nei 18818

This theorem is referenced by:  utop2nei  19941