Theorem neips 17132

Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neips	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Distinct variable groups:   J, p   N, p   S, p   X, p

Proof of Theorem neips

Dummy variables g h v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3902	. . . . . 6 |- ( p e. S -> { p } C_ S )
2		neiss 17128	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ { p } C_ S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
3	1, 2	syl3an3 1219	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ p e. S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
4	3	3exp 1152	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> ( p e. S -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) )
5	4	ralrimdv 2755	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
6	5	3ad2ant1 978	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
7		r19.28zv 3683	. . . . 5 |- ( S =/= (/) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
8	7	3ad2ant3 980	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
9		ssrab2 3388	. . . . . . . . . 10 |- { v e. J | v C_ N } C_ J
10		uniopn 16925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { v e. J | v C_ N } C_ J ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
11	9, 10	mpan2 653	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
12	11	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
13		sseq1 3329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = g -> ( v C_ N <-> g C_ N ) )
14	13	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. { v e. J | v C_ N } <-> ( g e. J /\ g C_ N ) )
15		elunii 3980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. g /\ g e. { v e. J | v C_ N } ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
16	14, 15	sylan2br 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. g /\ ( g e. J /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
17	16	an12s 777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. J /\ ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
18	17	rexlimiva 2785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
19	18	ralimi 2741	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
20		dfss3 3298	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } <-> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
21	19, 20	sylibr 204	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
22	21	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
23		unissb 4005	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { v e. J | v C_ N } C_ N <-> A. h e. { v e. J | v C_ N } h C_ N )
24		sseq1 3329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = h -> ( v C_ N <-> h C_ N ) )
25	24	elrab 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } <-> ( h e. J /\ h C_ N ) )
26	25	simprbi 451	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } -> h C_ N )
27	23, 26	mprgbir 2736	. . . . . . . . 9 |- U. { v e. J | v C_ N } C_ N
28	22, 27	jctir 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
29		sseq2 3330	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( S C_ h <-> S C_ U. { v e. J | v C_ N } ) )
30		sseq1 3329	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( h C_ N <-> U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
31	29, 30	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( ( S C_ h /\ h C_ N ) <-> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) )
32	31	rspcev 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( U. { v e. J | v C_ N } e. J /\ ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
33	12, 28, 32	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
34	33	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) )
35	34	anim2d 549	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
36	35	3adant3 977	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
37	8, 36	sylbid 207	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
38		ssel2 3303	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ X /\ p e. S ) -> p e. X )
39		neips.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
40	39	isneip 17124	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ p e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
41	38, 40	sylan2 461	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S C_ X /\ p e. S ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
42	41	anassrs 630	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ p e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
43	42	ralbidva 2682	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
44	43	3adant3 977	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
45	39	isnei 17122	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
46	45	3adant3 977	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
47	37, 44, 46	3imtr4d 260	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
48	6, 47	impbid 184	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Topctop 16913   neicnei 17116

This theorem is referenced by:  utop2nei  18233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-top 16918  df-nei 17117