Theorem neips 20122

Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neips	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Distinct variable groups:   J, p   N, p   S, p   X, p

Proof of Theorem neips

Dummy variables g h v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4115	. . . . . 6 |- ( p e. S -> { p } C_ S )
2		neiss 20118	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ { p } C_ S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
3	1, 2	syl3an3 1302	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ p e. S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
4	3	3exp 1206	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> ( p e. S -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) )
5	4	ralrimdv 2803	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
6	5	3ad2ant1 1028	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
7		r19.28zv 3863	. . . . 5 |- ( S =/= (/) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
8	7	3ad2ant3 1030	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
9		ssrab2 3513	. . . . . . . . . 10 |- { v e. J | v C_ N } C_ J
10		uniopn 19920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { v e. J | v C_ N } C_ J ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
11	9, 10	mpan2 676	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
12	11	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
13		sseq1 3452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = g -> ( v C_ N <-> g C_ N ) )
14	13	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. { v e. J | v C_ N } <-> ( g e. J /\ g C_ N ) )
15		elunii 4202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. g /\ g e. { v e. J | v C_ N } ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
16	14, 15	sylan2br 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. g /\ ( g e. J /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
17	16	an12s 809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. J /\ ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
18	17	rexlimiva 2874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
19	18	ralimi 2780	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
20		dfss3 3421	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } <-> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
21	19, 20	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
22	21	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
23		unissb 4228	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { v e. J | v C_ N } C_ N <-> A. h e. { v e. J | v C_ N } h C_ N )
24		sseq1 3452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = h -> ( v C_ N <-> h C_ N ) )
25	24	elrab 3195	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } <-> ( h e. J /\ h C_ N ) )
26	25	simprbi 466	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } -> h C_ N )
27	23, 26	mprgbir 2751	. . . . . . . . 9 |- U. { v e. J | v C_ N } C_ N
28	22, 27	jctir 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
29		sseq2 3453	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( S C_ h <-> S C_ U. { v e. J | v C_ N } ) )
30		sseq1 3452	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( h C_ N <-> U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
31	29, 30	anbi12d 716	. . . . . . . . 9 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( ( S C_ h /\ h C_ N ) <-> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) )
32	31	rspcev 3149	. . . . . . . 8 |- ( ( U. { v e. J | v C_ N } e. J /\ ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
33	12, 28, 32	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
34	33	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) )
35	34	anim2d 568	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
36	35	3adant3 1027	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
37	8, 36	sylbid 219	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
38		ssel2 3426	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ X /\ p e. S ) -> p e. X )
39		neips.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
40	39	isneip 20114	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ p e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
41	38, 40	sylan2 477	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S C_ X /\ p e. S ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
42	41	anassrs 653	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ p e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
43	42	ralbidva 2823	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
44	43	3adant3 1027	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
45	39	isnei 20112	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
46	45	3adant3 1027	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
47	37, 44, 46	3imtr4d 272	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
48	6, 47	impbid 194	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   U.cuni 4197   ` cfv 5581   Topctop 19910   neicnei 20106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-top 19914  df-nei 20107

This theorem is referenced by:  utop2nei  21258