MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neips Structured version   Unicode version

Theorem neips 19909
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neips  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Distinct variable groups:    J, p    N, p    S, p    X, p

Proof of Theorem neips
Dummy variables  g  h  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4118 . . . . . 6  |-  ( p  e.  S  ->  { p }  C_  S )
2 neiss 19905 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  {
p }  C_  S
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
31, 2syl3an3 1267 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  p  e.  S )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
433exp 1198 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  (
p  e.  S  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } ) ) ) )
54ralrimdv 2822 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
653ad2ant1 1020 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
7 r19.28zv 3870 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
873ad2ant3 1022 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
9 ssrab2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  J
10 uniopn 19700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  J )  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
119, 10mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
1211ad2antrr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  e.  J )
13 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  g  ->  (
v  C_  N  <->  g  C_  N ) )
1413elrab 3209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )
15 elunii 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  g  /\  g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N } )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1614, 15sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  g  /\  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1716an12s 804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  J  /\  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1817rexlimiva 2894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1918ralimi 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
20 dfss3 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2119, 20sylibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  S  C_  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2221adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
)
23 unissb 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N  <->  A. h  e.  {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
h  C_  N )
24 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  h  ->  (
v  C_  N  <->  h  C_  N
) )
2524elrab 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( h  e.  J  /\  h  C_  N ) )
2625simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  ->  h  C_  N )
2723, 26mprgbir 2770 . . . . . . . . 9  |-  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N
2822, 27jctir 538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( S  C_ 
U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  /\  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N ) )
29 sseq2 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( S  C_  h  <->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
) )
30 sseq1 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( h  C_  N  <->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  N ) )
3129, 30anbi12d 711 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( ( S  C_  h  /\  h  C_  N )  <-> 
( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) ) )
3231rspcev 3162 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  e.  J  /\  ( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3312, 28, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3433ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) )
3534anim2d 565 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  -> 
( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
36353adant3 1019 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
378, 36sylbid 217 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N
) ) ) )
38 ssel2 3439 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  X  /\  p  e.  S )  ->  p  e.  X )
39 neips.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
4039isneip 19901 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  p  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4138, 40sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  C_  X  /\  p  e.  S )
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4241anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  p  e.  S
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4342ralbidva 2842 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
44433adant3 1019 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4539isnei 19899 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
46453adant3 1019 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
4737, 44, 463imtr4d 270 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
) )
486, 47impbid 192 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3416   (/)c0 3740   {csn 3974   U.cuni 4193   ` cfv 5571   Topctop 19688   neicnei 19893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-top 19693  df-nei 19894
This theorem is referenced by:  utop2nei  21047
  Copyright terms: Public domain W3C validator