Theorem neindisj2 18742

Description: A point P belongs to the closure of a set S iff every neighborhood of P meets S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neindisj2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   n, J   P, n   S, n   n, X

Proof of Theorem neindisj2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	elcls 18692	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
3	1	isneip 18724	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( n C_ X /\ E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) ) ) )
4		r19.29r 2873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> E. x e. J ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
5		pm3.35 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. x /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
6		ssrin 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ n -> ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) )
7		sseq2 3393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n i^i S ) = (/) -> ( ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) <-> ( x i^i S ) C_ (/) ) )
8		ss0 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i S ) C_ (/) -> ( x i^i S ) = (/) )
9	7, 8	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n i^i S ) = (/) -> ( ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) -> ( x i^i S ) = (/) ) )
10	6, 9	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x C_ n -> ( ( n i^i S ) = (/) -> ( x i^i S ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ n -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
12	5, 11	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. x /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( x C_ n -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
13	12	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. x -> ( ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( x C_ n -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
14	13	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. x -> ( x C_ n -> ( ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
15	14	imp31 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
16	15	rexlimivw 2852	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. J ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
17	4, 16	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
18	17	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
19	18	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( n C_ X /\ E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
20	3, 19	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
21	20	3adant2 1007	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
22	21	com23 78	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
23	22	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
24	23	ralrimiv 2813	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) )
25		opnneip 18738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
26		ineq1 3560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( n i^i S ) = ( x i^i S ) )
27	26	neeq1d 2636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( ( n i^i S ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
28	27	rspccva 3087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. X /\ ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) /\ S C_ X ) -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	29	3exp 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
31	30	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
32	28, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
34	33	com3l 81	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
35	25, 34	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
36	35	3expia 1189	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( P e. x -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
37	36	com25 91	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
38	37	ex 434	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) ) )
39	38	com25 91	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) ) )
40	39	3imp1 1200	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
41	40	ralrimiv 2813	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) -> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
42	24, 41	impbida 828	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )
43	2, 42	bitrd 253	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2730   E.wrex 2731   i^i cin 3342   C_ wss 3343   (/)c0 3652   {csn 3892   U.cuni 4106   ` cfv 5433   Topctop 18513   clsccl 18637   neicnei 18716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-top 18518  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717

This theorem is referenced by:  islp2  18764  trnei  19480  flimclsi  19566