MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Structured version   Unicode version

Theorem neindisj2 18742
Description: A point  P belongs to the closure of a set  S iff every neighborhood of  P meets  S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neindisj2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    n, J    P, n    S, n    n, X

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21elcls 18692 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
31isneip 18724 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) ) ) )
4 r19.29r 2873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) )
6 ssrin 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  n  ->  (
x  i^i  S )  C_  ( n  i^i  S
) )
7 sseq2 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  <->  ( x  i^i  S )  C_  (/) ) )
8 ss0 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  S ) 
C_  (/)  ->  ( x  i^i  S )  =  (/) )
97, 8syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
106, 9syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( n  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
1110necon3d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
125, 11syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  C_  n  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  x  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( x  C_  n  ->  ( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1413com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  x  ->  (
x  C_  n  ->  ( ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1514imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
174, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1817ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  -> 
( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
203, 19syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
21203adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
)  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2221com23 78 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2423ralrimiv 2813 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )
25 opnneip 18738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
26 ineq1 3560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  (
n  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2726neeq1d 2636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
( n  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2827rspccva 3087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) )
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  /\  S  C_  X )  ->  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
30293exp 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  X  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( ( x  i^i 
S )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3130com14 88 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3228, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x
)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) ) )
3433com3l 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3525, 34mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
36353expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  x  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3736com25 91 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3837ex 434 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
3938com25 91 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
40393imp1 1200 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4140ralrimiv 2813 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4224, 41impbida 828 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
432, 42bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2730   E.wrex 2731    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   {csn 3892   U.cuni 4106   ` cfv 5433   Topctop 18513   clsccl 18637   neicnei 18716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-top 18518  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717
This theorem is referenced by:  islp2  18764  trnei  19480  flimclsi  19566
  Copyright terms: Public domain W3C validator