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Theorem neindisj2 19917
Description: A point  P belongs to the closure of a set  S iff every neighborhood of  P meets  S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neindisj2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    n, J    P, n    S, n    n, X

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21elcls 19867 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
31isneip 19899 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) ) ) )
4 r19.29r 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5 pm3.35 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) )
6 ssrin 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  n  ->  (
x  i^i  S )  C_  ( n  i^i  S
) )
7 sseq2 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  <->  ( x  i^i  S )  C_  (/) ) )
8 ss0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  S ) 
C_  (/)  ->  ( x  i^i  S )  =  (/) )
97, 8syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
106, 9syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( n  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
1110necon3d 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
125, 11syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  C_  n  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
1312ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  x  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( x  C_  n  ->  ( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1413com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  x  ->  (
x  C_  n  ->  ( ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1514imp31 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1817ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  -> 
( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
1918adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
203, 19syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
21203adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
)  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2221com23 78 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2322imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2423ralrimiv 2816 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )
25 opnneip 19913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
26 ineq1 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  (
n  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2726neeq1d 2680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
( n  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2827rspccva 3159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) )
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  /\  S  C_  X )  ->  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
30293exp 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  X  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( ( x  i^i 
S )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3130com14 88 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x
)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3332ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) ) )
3433com3l 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3525, 34mpcom 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
36353expia 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  x  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3736com25 91 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3837ex 432 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
3938com25 91 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
40393imp1 1210 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4140ralrimiv 2816 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4224, 41impbida 833 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
432, 42bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   U.cuni 4191   ` cfv 5569   Topctop 19686   clsccl 19811   neicnei 19891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-top 19691  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892
This theorem is referenced by:  islp2  19939  trnei  20685  flimclsi  20771
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