Theorem neindisj2 19390

Description: A point P belongs to the closure of a set S iff every neighborhood of P meets S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neindisj2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   n, J   P, n   S, n   n, X

Proof of Theorem neindisj2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	elcls 19340	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
3	1	isneip 19372	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( n C_ X /\ E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) ) ) )
4		r19.29r 2998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> E. x e. J ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
5		pm3.35 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. x /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
6		ssrin 3723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ n -> ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) )
7		sseq2 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n i^i S ) = (/) -> ( ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) <-> ( x i^i S ) C_ (/) ) )
8		ss0 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i S ) C_ (/) -> ( x i^i S ) = (/) )
9	7, 8	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n i^i S ) = (/) -> ( ( x i^i S ) C_ ( n i^i S ) -> ( x i^i S ) = (/) ) )
10	6, 9	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x C_ n -> ( ( n i^i S ) = (/) -> ( x i^i S ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ n -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
12	5, 11	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. x /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( x C_ n -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
13	12	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. x -> ( ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( x C_ n -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
14	13	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. x -> ( x C_ n -> ( ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
15	14	imp31 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
16	15	rexlimivw 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. J ( ( P e. x /\ x C_ n ) /\ ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
17	4, 16	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) )
18	17	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
19	18	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( n C_ X /\ E. x e. J ( P e. x /\ x C_ n ) ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
20	3, 19	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
21	20	3adant2 1015	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
22	21	com23 78	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) ) )
23	22	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( n i^i S ) =/= (/) ) )
24	23	ralrimiv 2876	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) )
25		opnneip 19386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
26		ineq1 3693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( n i^i S ) = ( x i^i S ) )
27	26	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( ( n i^i S ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
28	27	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. X /\ ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) /\ S C_ X ) -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	29	3exp 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
31	30	com14 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i S ) =/= (/) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
32	28, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
34	33	com3l 81	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
35	25, 34	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) )
36	35	3expia 1198	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( P e. x -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
37	36	com25 91	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) )
38	37	ex 434	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( S C_ X -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) ) )
39	38	com25 91	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( S C_ X -> ( P e. X -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) ) ) ) )
40	39	3imp1 1209	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
41	40	ralrimiv 2876	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) -> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
42	24, 41	impbida 830	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )
43	2, 42	bitrd 253	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( n i^i S ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Topctop 19161   clsccl 19285   neicnei 19364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-top 19166  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365

This theorem is referenced by:  islp2  19412  trnei  20128  flimclsi  20214