Theorem neiint 8995

Description: An intuitive definition of a neighborhood in terms of interior. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 18-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neiint	|- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> S C_ ((int` J)` N)))

Proof of Theorem neiint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuni 3201	. . . . . . 7 |- ((S C_ v /\ v e. {g e. J | g C_ N}) -> S C_ U.{g e. J | g C_ N})
2		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (g = v -> (g C_ N <-> v C_ N))
3	2	elrab 2414	. . . . . . 7 |- (v e. {g e. J | g C_ N} <-> (v e. J /\ v C_ N))
4	1, 3	sylan2br 502	. . . . . 6 |- ((S C_ v /\ (v e. J /\ v C_ N)) -> S C_ U.{g e. J | g C_ N})
5	4	an1s 544	. . . . 5 |- ((v e. J /\ (S C_ v /\ v C_ N)) -> S C_ U.{g e. J | g C_ N})
6	5	r19.23aiva 2212	. . . 4 |- (E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N) -> S C_ U.{g e. J | g C_ N})
7	6	adantl 424	. . 3 |- ((N C_ X /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N)) -> S C_ U.{g e. J | g C_ N})
8		sseq2 2639	. . . . . . . 8 |- (v = U.{g e. J | g C_ N} -> (S C_ v <-> S C_ U.{g e. J | g C_ N}))
9		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (v = U.{g e. J | g C_ N} -> (v C_ N <-> U.{g e. J | g C_ N} C_ N))
10	8, 9	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (v = U.{g e. J | g C_ N} -> ((S C_ v /\ v C_ N) <-> (S C_ U.{g e. J | g C_ N} /\ U.{g e. J | g C_ N} C_ N)))
11	10	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((U.{g e. J | g C_ N} e. J /\ (S C_ U.{g e. J | g C_ N} /\ U.{g e. J | g C_ N} C_ N)) -> E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N))
12		ssrab2 2692	. . . . . . . 8 |- {g e. J | g C_ N} C_ J
13		uniopn 8867	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ {g e. J | g C_ N} C_ J) -> U.{g e. J | g C_ N} e. J)
14	12, 13	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.{g e. J | g C_ N} e. J)
15	14	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> U.{g e. J | g C_ N} e. J)
16		unissb 3208	. . . . . . . 8 |- (U.{g e. J | g C_ N} C_ N <-> A.z e. {g e. J | g C_ N}z C_ N)
17		sseq1 2637	. . . . . . . . . 10 |- (g = z -> (g C_ N <-> z C_ N))
18	17	elrab 2414	. . . . . . . . 9 |- (z e. {g e. J | g C_ N} <-> (z e. J /\ z C_ N))
19	18	simprbi 353	. . . . . . . 8 |- (z e. {g e. J | g C_ N} -> z C_ N)
20	16, 19	mprgbir 2163	. . . . . . 7 |- U.{g e. J | g C_ N} C_ N
21	20	jctr 315	. . . . . 6 |- (S C_ U.{g e. J | g C_ N} -> (S C_ U.{g e. J | g C_ N} /\ U.{g e. J | g C_ N} C_ N))
22	11, 15, 21	syl2an 503	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) /\ S C_ U.{g e. J | g C_ N}) -> E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N))
23	22	ex 402	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> (S C_ U.{g e. J | g C_ N} -> E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N)))
24		simp3 878	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> N C_ X)
25	23, 24	jctild 662	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> (S C_ U.{g e. J | g C_ N} -> (N C_ X /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N))))
26	7, 25	impbid2 576	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> ((N C_ X /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N)) <-> S C_ U.{g e. J | g C_ N}))
27		neifval.1	. . . 4 |- X = U.J
28	27	isnei 8994	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N))))
29	28	3adant3 896	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.v e. J (S C_ v /\ v C_ N))))
30	27	ntrval 8952	. . . 4 |- ((J e. Top /\ N C_ X) -> ((int` J)` N) = U.{g e. J | g C_ N})
31	30	3adant2 895	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> ((int` J)` N) = U.{g e. J | g C_ N})
32	31	sseq2d 2645	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> (S C_ ((int` J)` N) <-> S C_ U.{g e. J | g C_ N}))
33	26, 29, 32	3bitr4d 609	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ N C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> S C_ ((int` J)` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  intcnt 8937  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  opnnei 15417  neiin 15418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-ntr 8940  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain