Theorem neiin 30312

Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
neiin	|- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem neiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M e. ( ( nei ` J ) ` A ) )
2		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> J e. Top )
3		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
4	3	neiss2 19728	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ U. J )
5	3	neii1 19733	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M C_ U. J )
6	3	neiint 19731	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ M C_ U. J ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
8	1, 7	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
9		ssinss1 3722	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ( int ` J ) ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
11	10	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
12		inss2 3715	. . . . 5 |- ( A i^i B ) C_ B
13		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` B ) )
14		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
15	3	neiss2 19728	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ U. J )
16	3	neii1 19733	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
17	3	neiint 19731	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
19	13, 18	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
20	19	3adant2 1015	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
21	12, 20	syl5ss 3510	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
22	11, 21	ssind 3718	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
23		simp1 996	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
24	5	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> M C_ U. J )
25	16	3adant2 1015	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
26	3	ntrin 19688	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
28	22, 27	sseqtr4d 3536	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) )
29		ssinss1 3722	. . . . 5 |- ( A C_ U. J -> ( A i^i B ) C_ U. J )
30	4, 29	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ U. J )
31		ssinss1 3722	. . . . 5 |- ( M C_ U. J -> ( M i^i N ) C_ U. J )
32	5, 31	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M i^i N ) C_ U. J )
33	3	neiint 19731	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( A i^i B ) C_ U. J /\ ( M i^i N ) C_ U. J ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
34	2, 30, 32, 33	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
35	34	3adant3 1016	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
36	28, 35	mpbird 232	1 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   i^i cin 3470   C_ wss 3471   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19520   intcnt 19644   neicnei 19724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-top 19525  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725

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