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Theorem neiin 31059
Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
neiin  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) ) )

Proof of Theorem neiin
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )
2 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43neiss2 20194 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  A  C_  U. J )
53neii1 20199 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  M  C_  U. J )
63neiint 20197 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  M  C_  U. J )  ->  ( M  e.  ( ( nei `  J
) `  A )  <->  A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( M  e.  ( ( nei `  J
) `  A )  <->  A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
) ) )
81, 7mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  A  C_  ( ( int `  J ) `  M
) )
9 ssinss1 3651 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  M )
)
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  ( ( int `  J ) `  M ) )
11103adant3 1050 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  M )
)
12 inss2 3644 . . . . 5  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
13 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )
14 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  J  e.  Top )
153neiss2 20194 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  B  C_  U. J )
163neii1 20199 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  N  C_  U. J )
173neiint 20197 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  U. J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  B 
C_  ( ( int `  J ) `  N
) ) )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  B 
C_  ( ( int `  J ) `  N
) ) )
1913, 18mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  B  C_  ( ( int `  J ) `  N
) )
20193adant2 1049 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  B  C_  (
( int `  J
) `  N )
)
2112, 20syl5ss 3429 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  N )
)
2211, 21ssind 3647 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( ( int `  J
) `  M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
23 simp1 1030 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  J  e.  Top )
2453adant3 1050 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  M  C_  U. J
)
25163adant2 1049 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  N  C_  U. J
)
263ntrin 20153 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  C_  U. J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( M  i^i  N ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( M  i^i  N ) )  =  ( ( ( int `  J
) `  M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
2822, 27sseqtr4d 3455 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) )
29 ssinss1 3651 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. J  ->  ( A  i^i  B )  C_  U. J )
304, 29syl 17 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  U. J )
31 ssinss1 3651 . . . . 5  |-  ( M 
C_  U. J  ->  ( M  i^i  N )  C_  U. J )
325, 31syl 17 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( M  i^i  N
)  C_  U. J )
333neiint 20197 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  U. J  /\  ( M  i^i  N )  C_  U. J )  ->  (
( M  i^i  N
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
342, 30, 32, 33syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J ) `
 ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
35343adant3 1050 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
3628, 35mpbird 240 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Topctop 19994   intcnt 20109   neicnei 20190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-top 19998  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191
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