Theorem neiin 28525

Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
neiin	|- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem neiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M e. ( ( nei ` J ) ` A ) )
2		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> J e. Top )
3		eqid 2442	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
4	3	neiss2 18704	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ U. J )
5	3	neii1 18709	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M C_ U. J )
6	3	neiint 18707	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ M C_ U. J ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
8	1, 7	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
9		ssinss1 3577	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ( int ` J ) ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
11	10	3adant3 1008	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
12		inss2 3570	. . . . 5 |- ( A i^i B ) C_ B
13		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` B ) )
14		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
15	3	neiss2 18704	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ U. J )
16	3	neii1 18709	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
17	3	neiint 18707	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
19	13, 18	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
20	19	3adant2 1007	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
21	12, 20	syl5ss 3366	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
22	11, 21	ssind 3573	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
23		simp1 988	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
24	5	3adant3 1008	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> M C_ U. J )
25	16	3adant2 1007	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
26	3	ntrin 18664	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
28	22, 27	sseqtr4d 3392	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) )
29		ssinss1 3577	. . . . 5 |- ( A C_ U. J -> ( A i^i B ) C_ U. J )
30	4, 29	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ U. J )
31		ssinss1 3577	. . . . 5 |- ( M C_ U. J -> ( M i^i N ) C_ U. J )
32	5, 31	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M i^i N ) C_ U. J )
33	3	neiint 18707	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( A i^i B ) C_ U. J /\ ( M i^i N ) C_ U. J ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
34	2, 30, 32, 33	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
35	34	3adant3 1008	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
36	28, 35	mpbird 232	1 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   i^i cin 3326   C_ wss 3327   U.cuni 4090   ` cfv 5417   Topctop 18497   intcnt 18620   neicnei 18700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-top 18502  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701

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