Theorem neiin 15418

Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection.

Assertion

Ref	Expression
neiin	|- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (M i^i N) e. ((nei` J)` (A i^i B)))

Proof of Theorem neiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> M e. ((nei` J)` A))
2		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> J e. Top)
3		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- U.J = U.J
4	3	neiss2 8992	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> A C_ U.J)
5	3	neii1 8997	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> M C_ U.J)
6	3	neiint 8995	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J /\ M C_ U.J) -> (M e. ((nei` J)` A) <-> A C_ ((int` J)` M)))
7	2, 4, 5, 6	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> (M e. ((nei` J)` A) <-> A C_ ((int` J)` M)))
8	1, 7	mpbid 212	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> A C_ ((int` J)` M))
9		ssinss1 2821	. . . . . . 7 |- (A C_ ((int` J)` M) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` M))
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` M))
11	10	3adant3 896	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` M))
12		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` B)) -> N e. ((nei` J)` B))
13		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` B)) -> J e. Top)
14	3	neiss2 8992	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` B)) -> B C_ U.J)
15	3	neii1 8997	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` B)) -> N C_ U.J)
16	3	neiint 8995	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ B C_ U.J /\ N C_ U.J) -> (N e. ((nei` J)` B) <-> B C_ ((int` J)` N)))
17	13, 14, 15, 16	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (N e. ((nei` J)` B) <-> B C_ ((int` J)` N)))
18	12, 17	mpbid 212	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` B)) -> B C_ ((int` J)` N))
19	18	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> B C_ ((int` J)` N))
20		inss2 2813	. . . . . . 7 |- (A i^i B) C_ B
21		sstr 2625	. . . . . . 7 |- (((A i^i B) C_ B /\ B C_ ((int` J)` N)) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` N))
22	20, 21	mpan 759	. . . . . 6 |- (B C_ ((int` J)` N) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` N))
23	19, 22	syl 12	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` N))
24	11, 23	jca 310	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> ((A i^i B) C_ ((int` J)` M) /\ (A i^i B) C_ ((int` J)` N)))
25		ssin 2814	. . . 4 |- (((A i^i B) C_ ((int` J)` M) /\ (A i^i B) C_ ((int` J)` N)) <-> (A i^i B) C_ (((int` J)` M) i^i ((int` J)` N)))
26	24, 25	sylib 215	. . 3 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (A i^i B) C_ (((int` J)` M) i^i ((int` J)` N)))
27		simp1 876	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> J e. Top)
28	5	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> M C_ U.J)
29	15	3adant2 895	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> N C_ U.J)
30	3	ntrin 15411	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M C_ U.J /\ N C_ U.J) -> ((int` J)` (M i^i N)) = (((int` J)` M) i^i ((int` J)` N)))
31	27, 28, 29, 30	syl111anc 1100	. . 3 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> ((int` J)` (M i^i N)) = (((int` J)` M) i^i ((int` J)` N)))
32	26, 31	sseqtr4d 2654	. 2 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (A i^i B) C_ ((int` J)` (M i^i N)))
33		ssinss1 2821	. . . . 5 |- (A C_ U.J -> (A i^i B) C_ U.J)
34	4, 33	syl 12	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> (A i^i B) C_ U.J)
35		ssinss1 2821	. . . . 5 |- (M C_ U.J -> (M i^i N) C_ U.J)
36	5, 35	syl 12	. . . 4 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> (M i^i N) C_ U.J)
37	3	neiint 8995	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A i^i B) C_ U.J /\ (M i^i N) C_ U.J) -> ((M i^i N) e. ((nei` J)` (A i^i B)) <-> (A i^i B) C_ ((int` J)` (M i^i N))))
38	2, 34, 36, 37	syl111anc 1100	. . 3 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A)) -> ((M i^i N) e. ((nei` J)` (A i^i B)) <-> (A i^i B) C_ ((int` J)` (M i^i N))))
39	38	3adant3 896	. 2 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> ((M i^i N) e. ((nei` J)` (A i^i B)) <-> (A i^i B) C_ ((int` J)` (M i^i N))))
40	32, 39	mpbird 213	1 |- ((J e. Top /\ M e. ((nei` J)` A) /\ N e. ((nei` J)` B)) -> (M i^i N) e. ((nei` J)` (A i^i B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  intcnt 8937  neicnei 8988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain