Theorem neiin 31059

Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
neiin	|- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem neiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M e. ( ( nei ` J ) ` A ) )
2		simpl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> J e. Top )
3		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
4	3	neiss2 20194	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ U. J )
5	3	neii1 20199	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M C_ U. J )
6	3	neiint 20197	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ M C_ U. J ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
8	1, 7	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
9		ssinss1 3651	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ( int ` J ) ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
11	10	3adant3 1050	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
12		inss2 3644	. . . . 5 |- ( A i^i B ) C_ B
13		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` B ) )
14		simpl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
15	3	neiss2 20194	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ U. J )
16	3	neii1 20199	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
17	3	neiint 20197	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
19	13, 18	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
20	19	3adant2 1049	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
21	12, 20	syl5ss 3429	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
22	11, 21	ssind 3647	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
23		simp1 1030	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
24	5	3adant3 1050	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> M C_ U. J )
25	16	3adant2 1049	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
26	3	ntrin 20153	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1292	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
28	22, 27	sseqtr4d 3455	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) )
29		ssinss1 3651	. . . . 5 |- ( A C_ U. J -> ( A i^i B ) C_ U. J )
30	4, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ U. J )
31		ssinss1 3651	. . . . 5 |- ( M C_ U. J -> ( M i^i N ) C_ U. J )
32	5, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M i^i N ) C_ U. J )
33	3	neiint 20197	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( A i^i B ) C_ U. J /\ ( M i^i N ) C_ U. J ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
34	2, 30, 32, 33	syl3anc 1292	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
35	34	3adant3 1050	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
36	28, 35	mpbird 240	1 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   i^i cin 3389   C_ wss 3390   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Topctop 19994   intcnt 20109   neicnei 20190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-top 19998  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191

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