MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neii2 Structured version   Unicode version

Theorem neii2 18553
Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
neii2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) )
Distinct variable groups:    g, J    g, N    S, g

Proof of Theorem neii2
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21neiss2 18546 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  S  C_  U. J )
31isnei 18548 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  <->  ( N  C_  U. J  /\  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( N  C_  U. J  /\  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) )  ->  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) )
53, 4syl6bi 228 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  ->  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) ) )
65impancom 438 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( S  C_  U. J  ->  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) ) )
72, 6mpd 15 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   E.wrex 2706    C_ wss 3316   U.cuni 4079   ` cfv 5406   Topctop 18339   neicnei 18542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-top 18344  df-nei 18543
This theorem is referenced by:  neiss  18554  ssnei  18555  ssnei2  18561  innei  18570  opnneiid  18571  neissex  18572  cnpnei  18709  hausnei2  18798  nlly2i  18921  neitx  19021  cnextcn  19480  utopreg  19668  neibastop2  28423
  Copyright terms: Public domain W3C validator