MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neii1 Structured version   Unicode version

Theorem neii1 18551
Description: A neighborhood is included in the topology's base set. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neii1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  N  C_  X )

Proof of Theorem neii1
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21neiss2 18546 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  S  C_  X )
31isnei 18548 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) )  ->  N  C_  X
)
53, 4syl6bi 228 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  ->  N  C_  X )
)
65impancom 438 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( S  C_  X  ->  N  C_  X )
)
72, 6mpd 15 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  N  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706    C_ wss 3316   U.cuni 4079   ` cfv 5406   Topctop 18339   neicnei 18542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-top 18344  df-nei 18543
This theorem is referenced by:  neisspw  18552  neiss  18554  opnnei  18565  neiuni  18567  topssnei  18569  innei  18570  neissex  18572  iscnp4  18708  llycmpkgen2  18964  neitx  19021  flimopn  19389  flfnei  19405  fclsneii  19431  fcfnei  19449  cnextcn  19480  limcflf  21197  cvmlift2lem1  27038  neiin  28368  neibastop2  28423
  Copyright terms: Public domain W3C validator