Theorem neifil 10302

Description: The neighborhoods of a non empty set is a filter. Bourbaki TG I.36, example 2. (Contributed by FL, 19-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifil.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neifil	|- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> ((nei` J)` S) e. Fil)

Proof of Theorem neifil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnei 9002	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S =/= (/)) -> -. (/) e. ((nei` J)` S))
2	1	3adant2 895	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> -. (/) e. ((nei` J)` S))
3		neifil.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
4	3	unnei 9011	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.((nei` J)` S) = X)
5	3	tpnei 9010	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (S C_ X <-> X e. ((nei` J)` S)))
6	5	biimpa 460	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> X e. ((nei` J)` S))
7	4, 6	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S))
8	7	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S))
9	2, 8	jca 310	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> (-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)))
10		sseq2 2639	. . . . . . . . . 10 |- (U.((nei` J)` S) = X -> (y C_ U.((nei` J)` S) <-> y C_ X))
11	3	ssnei2 9006	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ x e. ((nei` J)` S)) /\ (x C_ y /\ y C_ X)) -> y e. ((nei` J)` S))
12	11	exp43 415	. . . . . . . . . . . 12 |- (J e. Top -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x C_ y -> (y C_ X -> y e. ((nei` J)` S)))))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x C_ y -> (y C_ X -> y e. ((nei` J)` S)))))
14	13	com14 42	. . . . . . . . . 10 |- (y C_ X -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x C_ y -> ((J e. Top /\ S C_ X) -> y e. ((nei` J)` S)))))
15	10, 14	syl6bi 231	. . . . . . . . 9 |- (U.((nei` J)` S) = X -> (y C_ U.((nei` J)` S) -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x C_ y -> ((J e. Top /\ S C_ X) -> y e. ((nei` J)` S))))))
16	15	com23 36	. . . . . . . 8 |- (U.((nei` J)` S) = X -> (x e. ((nei` J)` S) -> (y C_ U.((nei` J)` S) -> (x C_ y -> ((J e. Top /\ S C_ X) -> y e. ((nei` J)` S))))))
17	16	3impd 1082	. . . . . . 7 |- (U.((nei` J)` S) = X -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> ((J e. Top /\ S C_ X) -> y e. ((nei` J)` S))))
18	17	com23 36	. . . . . 6 |- (U.((nei` J)` S) = X -> ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S))))
19	4, 18	mpcom 60	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S)))
20	19	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S)))
21	20	19.21aivv 1665	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S)))
22		innei 9012	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ x e. ((nei` J)` S) /\ y e. ((nei` J)` S)) -> (x i^i y) e. ((nei` J)` S))
23	22	3expib 1070	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y e. ((nei` J)` S)) -> (x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
24	23	3ad2ant1 897	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y e. ((nei` J)` S)) -> (x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
25	24	r19.21aivv 2183	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S))
26	9, 21, 25	3jca 1050	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> ((-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)) /\ A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S)) /\ A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
27		fvex 4689	. . 3 |- ((nei` J)` S) e. _V
28		eqid 1884	. . . 4 |- U.((nei` J)` S) = U.((nei` J)` S)
29	28	isfil 10266	. . 3 |- (((nei` J)` S) e. _V -> (((nei` J)` S) e. Fil <-> ((-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)) /\ A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S)) /\ A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S))))
30	27, 29	ax-mp 7	. 2 |- (((nei` J)` S) e. Fil <-> ((-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)) /\ A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y C_ U.((nei` J)` S) /\ x C_ y) -> y e. ((nei` J)` S)) /\ A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
31	26, 30	sylibr 217	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ S =/= (/)) -> ((nei` J)` S) e. Fil)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  hausfillim 10303  limfilnei 14943  conttnf 14944  conttnf2 14945  cnpfillim4 14947  neiplim 15586  limfilcf 15587  flimcls 15588  cnpfillim 15589  fclsfnflim 15614

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-nei 8989  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain