Theorem neif 8991

Description: The neighborhood function is a function of the subsets of a topology's base set.

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neif	|- (J e. Top -> (nei` J) Fn ~PX)

Proof of Theorem neif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
2		neifval.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
3	1, 2	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (J e. Top -> X e. _V)
4		abssexg 3490	. . . . . 6 |- (X e. _V -> {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))} e. _V)
5	3, 4	syl 12	. . . . 5 |- (J e. Top -> {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))} e. _V)
6	5	a1d 15	. . . 4 |- (J e. Top -> (z e. ~PX -> {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))} e. _V))
7	6	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (J e. Top -> A.z e. ~P X{v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))} e. _V)
8		visset 2295	. . . . . . . 8 |- z e. _V
9	8	elpw 3037	. . . . . . 7 |- (z e. ~PX <-> z C_ X)
10	9	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((z e. ~PX /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))}) <-> (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))}))
11	10	opabbii 3402	. . . . 5 |- {<.z, w>. | (z e. ~PX /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})} = {<.z, w>. | (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})}
12	11	eqcomi 1888	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})} = {<.z, w>. | (z e. ~PX /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})}
13	12	fnopab2g 4547	. . 3 |- (A.z e. ~P X{v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))} e. _V <-> {<.z, w>. | (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})} Fn ~PX)
14	7, 13	sylib 215	. 2 |- (J e. Top -> {<.z, w>. | (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})} Fn ~PX)
15	2	neifval 8990	. . 3 |- (J e. Top -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})})
16	15	fneq1d 4505	. 2 |- (J e. Top -> ((nei` J) Fn ~PX <-> {<.z, w>. | (z C_ X /\ w = {v | (v C_ X /\ E.g e. J (z C_ g /\ g C_ v))})} Fn ~PX))
17	14, 16	mpbird 213	1 |- (J e. Top -> (nei` J) Fn ~PX)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  {copab 3395   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  neiss2 8992  sallnei 14873  nsn 14874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain