Theorem neibl 9154

Description: A neighborhood of a point defined in terms of balls.

Hypotheses

Ref	Expression
blopn.1	|- X = dom dom D
blopn.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
neibl	|- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N C_ X /\ E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N))))

Distinct variable groups:   D,r   J,r   P,r   N,r   X,r

Proof of Theorem neibl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blopn.2	. . . . 5 |- J = (Open` D)
2	1	opntop 9147	. . . 4 |- (D e. Met -> J e. Top)
3	2	adantr 425	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> J e. Top)
4		blopn.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
5	4, 1	uniopn2 9138	. . . . 5 |- (D e. Met -> U.J = X)
6	5	eleq2d 1964	. . . 4 |- (D e. Met -> (P e. U.J <-> P e. X))
7	6	biimpar 461	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> P e. U.J)
8		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
9	8	isneip 8996	. . 3 |- ((J e. Top /\ P e. U.J) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N C_ U.J /\ E.y e. J (P e. y /\ y C_ N))))
10	3, 7, 9	syl11anc 524	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N C_ U.J /\ E.y e. J (P e. y /\ y C_ N))))
11	5	sseq2d 2645	. . . 4 |- (D e. Met -> (N C_ U.J <-> N C_ X))
12	11	adantr 425	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N C_ U.J <-> N C_ X))
13	12	anbi1d 679	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((N C_ U.J /\ E.y e. J (P e. y /\ y C_ N)) <-> (N C_ X /\ E.y e. J (P e. y /\ y C_ N))))
14		sstr2 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P( ball ` D)r) C_ y -> (y C_ N -> (P( ball ` D)r) C_ N))
15	14	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (y C_ N -> ((P( ball ` D)r) C_ y -> (P( ball ` D)r) C_ N))
16	15	anim2d 620	. . . . . . . . . 10 |- (y C_ N -> ((0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ y) -> (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))
17	16	reximdv 2202	. . . . . . . . 9 |- (y C_ N -> (E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ y) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))
18	1	opni2 9142	. . . . . . . . 9 |- ((D e. Met /\ y e. J /\ P e. y) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ y))
19	17, 18	syl5com 63	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ y e. J /\ P e. y) -> (y C_ N -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))
20	19	3exp 1066	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> (y e. J -> (P e. y -> (y C_ N -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))))
21	20	imp4a 391	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (y e. J -> ((P e. y /\ y C_ N) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N))))
22	21	ad2antrr 440	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N C_ X) -> (y e. J -> ((P e. y /\ y C_ N) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N))))
23	22	r19.23adv 2215	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N C_ X) -> (E.y e. J (P e. y /\ y C_ N) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))
24	4, 1	blopn 9153	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (P( ball ` D)r) e. J)
25	24	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (P( ball ` D)r) C_ N) -> (P( ball ` D)r) e. J)
26	4	blcntr 9122	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> P e. (P( ball ` D)r))
27	26	anim1i 361	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (P( ball ` D)r) C_ N) -> (P e. (P( ball ` D)r) /\ (P( ball ` D)r) C_ N))
28		eleq2 1958	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (P( ball ` D)r) -> (P e. y <-> P e. (P( ball ` D)r)))
29		sseq1 2637	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (P( ball ` D)r) -> (y C_ N <-> (P( ball ` D)r) C_ N))
30	28, 29	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (y = (P( ball ` D)r) -> ((P e. y /\ y C_ N) <-> (P e. (P( ball ` D)r) /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))
31	30	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- (((P( ball ` D)r) e. J /\ (P e. (P( ball ` D)r) /\ (P( ball ` D)r) C_ N)) -> E.y e. J (P e. y /\ y C_ N))
32	25, 27, 31	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (P( ball ` D)r) C_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y C_ N))
33	32	exp42 414	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (r e. RR -> (0 < r -> ((P( ball ` D)r) C_ N -> E.y e. J (P e. y /\ y C_ N)))))
34	33	imp4a 391	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (r e. RR -> ((0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y C_ N))))
35	34	r19.23adv 2215	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y C_ N)))
36	35	adantr 425	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N C_ X) -> (E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y C_ N)))
37	23, 36	impbid 574	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N C_ X) -> (E.y e. J (P e. y /\ y C_ N) <-> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N)))
38	37	pm5.32da 711	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((N C_ X /\ E.y e. J (P e. y /\ y C_ N)) <-> (N C_ X /\ E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N))))
39	10, 13, 38	3bitrd 603	1 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N C_ X /\ E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) C_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  {csn 3044  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653  Topctop 8857  neicnei 8988  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  metnei 9155  blnei 9156  metelcls 9243  lmtlm 15908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-nei 8989  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain