Theorem neibastop3 31018

Description: The topology generated by a neighborhood base is unique. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop3	|- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Distinct variable groups:   t, n, v, y, j, x   j, J   x, n, J, v, y   t, o, v, w, x, y, j, F, n   ph, j, n, o, t, v, w, x, y   j, X, n, o, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, j, n, o)

Proof of Theorem neibastop3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . 4 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 31015	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		neibastop1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
7		neibastop1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	neibastop2 31017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
9		selpw 3958	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ~P X <-> n C_ X )
10	9	anbi1i 701	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
11	8, 10	syl6bbr 267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
12	11	abbi2dv 2570	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) } )
13		df-rab 2746	. . . . . 6 |- { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) }
14	12, 13	syl6eqr 2503	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
15	14	ralrimiva 2802	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
16		sneq 3978	. . . . . . 7 |- ( x = z -> { x } = { z } )
17	16	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
18		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
19	18	ineq1d 3633	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` z ) i^i ~P n ) )
20	19	neeq1d 2683	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
21	20	rabbidv 3036	. . . . . 6 |- ( x = z -> { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
22	17, 21	eqeq12d 2466	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
23	22	cbvralv 3019	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
24	15, 23	sylibr 216	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
25		toponuni 19942	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> X = U. j )
26		eqimss2 3485	. . . . . . . . . 10 |- ( X = U. j -> U. j C_ X )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> U. j C_ X )
28		sspwuni 4367	. . . . . . . . 9 |- ( j C_ ~P X <-> U. j C_ X )
29	27, 28	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j C_ ~P X )
30	29	ad2antlr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j C_ ~P X )
31		dfss1 3637	. . . . . . 7 |- ( j C_ ~P X <-> ( ~P X i^i j ) = j )
32	30, 31	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = j )
33		topontop 19941	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j e. Top )
34	33	ad3antlr 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> j e. Top )
35		eltop2 19991	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Top -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
37		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. ~P X -> o C_ X )
38		ssralv 3493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o C_ X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ~P X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
40	39	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
41		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
42	41	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
43	33	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> j e. Top )
44	25	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> X = U. j )
45	44	sseq2d 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> ( o C_ X <-> o C_ U. j ) )
46	45	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o C_ X ) -> o C_ U. j )
47	37, 46	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> o C_ U. j )
48	47	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> x e. U. j )
49	48	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> x e. U. j )
50	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> o C_ U. j )
51		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. j = U. j
52	51	isneip 20121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> ( o C_ U. j /\ E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) ) )
53	52	baibd 920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) /\ o C_ U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
54	43, 49, 50, 53	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
55		pweq 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = o -> ~P n = ~P o )
56	55	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = o -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` x ) i^i ~P o ) )
57	56	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = o -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
58	57	elrab3 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o e. ~P X -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
59	58	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
60	42, 54, 59	3bitr3d 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
61	60	expr 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
62	61	ralimdva 2796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
63	40, 62	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
64	63	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
65	64	an32s 813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
66		ralbi 2921	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
68	36, 67	bitrd 257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
69	68	rabbi2dva 3640	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) } )
70	69, 4	syl6eqr 2503	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = J )
71	32, 70	eqtr3d 2487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J )
72	71	expl 624	. . . 4 |- ( ph -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
73	72	alrimiv 1773	. . 3 |- ( ph -> A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
74		eleq1 2517	. . . . 5 |- ( j = J -> ( j e. (TopOn ` X ) <-> J e. (TopOn ` X ) ) )
75		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> ( nei ` j ) = ( nei ` J ) )
76	75	fveq1d 5867	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
77	76	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
78	77	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( j = J -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
79	74, 78	anbi12d 717	. . . 4 |- ( j = J -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) )
80	79	eqeu 3209	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) ) -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
81	5, 5, 24, 73, 80	syl121anc 1273	. 2 |- ( ph -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
82		df-reu 2744	. 2 |- ( E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
83	81, 82	sylibr 216	1 |- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   E!weu 2299   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   {crab 2741   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   -->wf 5578   ` cfv 5582   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   neicnei 20113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-topgen 15342  df-top 19921  df-topon 19923  df-nei 20114

This theorem is referenced by: (None)