Table of ContentsTable of Contents Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem neibastop3 15524
Description: The topology generated by a neighborhood base is unique.
Hypothesis
Ref Expression
neibastop1.1 |- (x = y -> U = W)
Assertion
Ref Expression
neibastop3 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> E!j e. Top (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
Distinct variable groups:   j,n,t,u,v,w,x,y,B   U,j,n,u,v,y,t,w   j,X,n,t,u,v,x,y   j,W,n,t,u,v,w,x
Proof of Theorem neibastop3
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . 4 |- (x = y -> U = W)
21neibastop1 15518 . . 3 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top)
3 ax-17 1317 . . . . . . . . . . . . 13 |- (X e. B -> A.v X e. B)
4 hbra1 2147 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> A.vA.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))
5 hbre1 2150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.v e. U v C_ X -> A.vE.v e. U v C_ X)
64, 5hbim 1354 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X) -> A.v(A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X))
7 ra4 2155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> (v e. U -> ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))))
87com12 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. U -> (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))))
98adantl 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((X e. B /\ v e. U) -> (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))))
10 ra4e 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v e. U /\ v C_ X) -> E.v e. U v C_ X)
1110ex 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. U -> (v C_ X -> E.v e. U v C_ X))
1211adantl 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((X e. B /\ v e. U) -> (v C_ X -> E.v e. U v C_ X))
1312adantld 426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X e. B /\ v e. U) -> ((x e. v /\ v C_ X) -> E.v e. U v C_ X))
1413adantrd 427 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((X e. B /\ v e. U) -> (((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X))
159, 14syld 30 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X e. B /\ v e. U) -> (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X))
1615ex 402 . . . . . . . . . . . . 13 |- (X e. B -> (v e. U -> (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X)))
173, 6, 1619.23ad 1415 . . . . . . . . . . . 12 |- (X e. B -> (E.v v e. U -> (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X)))
18 n0 2884 . . . . . . . . . . . 12 |- (U =/= (/) <-> E.v v e. U)
1917, 18syl5ib 223 . . . . . . . . . . 11 |- (X e. B -> (U =/= (/) -> (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> E.v e. U v C_ X)))
2019imp3a 388 . . . . . . . . . 10 |- (X e. B -> ((U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> E.v e. U v C_ X))
2120ralimdv 2172 . . . . . . . . 9 |- (X e. B -> (A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> A.x e. X E.v e. U v C_ X))
2221imp 377 . . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> A.x e. X E.v e. U v C_ X)
23 ssid 2634 . . . . . . . 8 |- X C_ X
2422, 23jctil 316 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X))
25 sseq1 2637 . . . . . . . . . 10 |- (o = X -> (o C_ X <-> X C_ X))
26 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . 12 |- (o = X -> (v C_ o <-> v C_ X))
2726rexbidv 2124 . . . . . . . . . . 11 |- (o = X -> (E.v e. U v C_ o <-> E.v e. U v C_ X))
2827raleqbi1dv 2271 . . . . . . . . . 10 |- (o = X -> (A.x e. o E.v e. U v C_ o <-> A.x e. X E.v e. U v C_ X))
2925, 28anbi12d 690 . . . . . . . . 9 |- (o = X -> ((o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o) <-> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X)))
3029elabg 2405 . . . . . . . 8 |- (X e. B -> (X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X)))
3130adantr 425 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X)))
3224, 31mpbird 213 . . . . . 6 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
33 elssuni 3206 . . . . . 6 |- (X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> X C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
3432, 33syl 12 . . . . 5 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> X C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
35 unissb 3208 . . . . . . . 8 |- (U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X <-> A.a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}a C_ X)
36 df-ral 2109 . . . . . . . 8 |- (A.a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}a C_ X <-> A.a(a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> a C_ X))
37 visset 2295 . . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
38 sseq1 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- (o = a -> (o C_ X <-> a C_ X))
39 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (o = a -> (v C_ o <-> v C_ a))
4039rexbidv 2124 . . . . . . . . . . . . 13 |- (o = a -> (E.v e. U v C_ o <-> E.v e. U v C_ a))
4140raleqbi1dv 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- (o = a -> (A.x e. o E.v e. U v C_ o <-> A.x e. a E.v e. U v C_ a))
4238, 41anbi12d 690 . . . . . . . . . . 11 |- (o = a -> ((o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o) <-> (a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a)))
4337, 42elab 2403 . . . . . . . . . 10 |- (a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a))
4443imbi1i 203 . . . . . . . . 9 |- ((a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> a C_ X) <-> ((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X))
4544albii 1346 . . . . . . . 8 |- (A.a(a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> a C_ X) <-> A.a((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X))
4635, 36, 453bitrri 195 . . . . . . 7 |- (A.a((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X) <-> U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X)
47 simpl 346 . . . . . . 7 |- ((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X)
4846, 47mpgbi 1333 . . . . . 6 |- U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X
4948a1i 8 . . . . 5 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X)
5034, 49eqssd 2633 . . . 4 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
51 ax-17 1317 . . . . . 6 |- (X e. B -> A.x X e. B)
52 hbra1 2147 . . . . . 6 |- (A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> A.xA.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))))
5351, 52hban 1356 . . . . 5 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> A.x(X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))))
541neibastop2 15523 . . . . . 6 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (x e. X -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
555419.21adv 1666 . . . . 5 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (x e. X -> A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
5653, 55r19.21ai 2174 . . . 4 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> A.x e. X A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))
572, 50, 56jca32 312 . . 3 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ (X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
58 ax-17 1317 . . . . . . . . . 10 |- (j e. Top -> A.x j e. Top)
59 ax-17 1317 . . . . . . . . . . 11 |- (X = U.j -> A.x X = U.j)
60 hbra1 2147 . . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) -> A.xA.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))
6159, 60hban 1356 . . . . . . . . . 10 |- ((X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> A.x(X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
6258, 61hban 1356 . . . . . . . . 9 |- ((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) -> A.x(j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
6353, 62hban 1356 . . . . . . . 8 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) -> A.x((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))))
64 simpl 346 . . . . . . . . . 10 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` j)` {x})) -> (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m))
65 eqid 1884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U.j = U.j
6665neii1 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((j e. Top /\ m e. ((nei` j)` {x})) -> m C_ U.j)
6766ad2ant2rl 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((j e. Top /\ X = U.j) /\ (x e. m /\ m e. ((nei` j)` {x}))) -> m C_ U.j)
68 simprl 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((j e. Top /\ X = U.j) /\ (x e. m /\ m e. ((nei` j)` {x}))) -> x e. m)
6967, 68sseldd 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((j e. Top /\ X = U.j) /\ (x e. m /\ m e. ((nei` j)` {x}))) -> x e. U.j)
70 simplr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((j e. Top /\ X = U.j) /\ (x e. m /\ m e. ((nei` j)` {x}))) -> X = U.j)
7169, 70eleqtrrd 1974 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((j e. Top /\ X = U.j) /\ (x e. m /\ m e. ((nei` j)` {x}))) -> x e. X)
7271exp32 408 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((j e. Top /\ X = U.j) -> (x e. m -> (m e. ((nei` j)` {x}) -> x e. X)))
7372adantrr 431 . . . . . . . . . . . 12 |- ((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) -> (x e. m -> (m e. ((nei` j)` {x}) -> x e. X)))
7473imp31 389 . . . . . . . . . . 11 |- ((((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` j)` {x})) -> x e. X)
7574adantlll 432 . . . . . . . . . 10 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` j)` {x})) -> x e. X)
7664, 75jca 310 . . . . . . . . 9 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` j)` {x})) -> ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ x e. X))
77 simpl 346 . . . . . . . . . 10 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m))
78 eqid 1884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}
7978neii1 8997 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> m C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
8079, 2sylan 497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> m C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
8180adantlr 429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> m C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
82 simplr 449 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> x e. m)
8381, 82sseldd 2620 . . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> x e. U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
8450ad2antrr 440 . . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
8583, 84eleqtrrd 1974 . . . . . . . . . . 11 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> x e. X)
8685adantllr 433 . . . . . . . . . 10 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> x e. X)
8777, 86jca 310 . . . . . . . . 9 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ x e. X))
88 ra4 2155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) -> (x e. X -> A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
89 visset 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- m e. _V
90 eleq1 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n = m -> (n e. ((nei` j)` {x}) <-> m e. ((nei` j)` {x})))
91 sseq1 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n = m -> (n C_ X <-> m C_ X))
92 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (n = m -> (u C_ n <-> u C_ m))
9392rexbidv 2124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n = m -> (E.u e. U u C_ n <-> E.u e. U u C_ m))
9491, 93anbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n = m -> ((n C_ X /\ E.u e. U u C_ n) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
9590, 94bibi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n = m -> ((n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) <-> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m))))
9689, 95cla4v 2370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
9788, 96syl6 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) -> (x e. X -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m))))
9897imp 377 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
9998adantll 428 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
10099adantll 428 . . . . . . . . . . . 12 |- (((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
101100adantll 428 . . . . . . . . . . 11 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
1021neibastop2 15523 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (x e. X -> (m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m))))
103102imp 377 . . . . . . . . . . . 12 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
104103adantlr 429 . . . . . . . . . . 11 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (m C_ X /\ E.u e. U u C_ m)))
105101, 104bitr4d 590 . . . . . . . . . 10 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
106105adantlr 429 . . . . . . . . 9 |- (((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) /\ x e. X) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
10776, 87, 106pm5.21nd 744 . . . . . . . 8 |- ((((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) /\ x e. m) -> (m e. ((nei` j)` {x}) <-> m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
10863, 107ralbida 2117 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) -> (A.x e. m m e. ((nei` j)` {x}) <-> A.x e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
109 opnnei 15417 . . . . . . . 8 |- (j e. Top -> (m e. j <-> A.x e. m m e. ((nei` j)` {x})))
110109ad2antrl 442 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) -> (m e. j <-> A.x e. m m e. ((nei` j)` {x})))
111 opnnei 15417 . . . . . . . . . 10 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> A.k e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {k})))
112 ax-17 1317 . . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. nei -> A.x m e. nei)
113 ax-17 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (o C_ X -> A.x o C_ X)
114 hbra1 2147 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. o E.v e. U v C_ o -> A.xA.x e. o E.v e. U v C_ o)
115113, 114hban 1356 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o) -> A.x(o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o))
116115hbab 1875 . . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> A.x m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
117112, 116hbfv 4686 . . . . . . . . . . . 12 |- (m e. (nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}) -> A.x m e. (nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
118 ax-17 1317 . . . . . . . . . . . 12 |- (m e. {k} -> A.x m e. {k})
119117, 118hbfv 4686 . . . . . . . . . . 11 |- (m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {k}) -> A.x m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {k}))
120 ax-17 1317 . . . . . . . . . . 11 |- (m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> A.k m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}))
121 sneq 3054 . . . . . . . . . . . . 13 |- (k = x -> {k} = {x})
122121fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . 12 |- (k = x -> ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {k}) = ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}))
123122eleq2d 1964 . . . . . . . . . . 11 |- (k = x -> (m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {k}) <-> m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
124119, 120, 123cbvral 2278 . . . . . . . . . 10 |- (A.k e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {k}) <-> A.x e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}))
125111, 124syl6bb 595 . . . . . . . . 9 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> A.x e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
1262, 125syl 12 . . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> A.x e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
127126adantr 425 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) -> (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> A.x e. m m e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
128108, 110, 1273bitr4d 609 . . . . . 6 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) -> (m e. j <-> m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
129128eqrdv 1882 . . . . 5 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))) -> j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
130129ex 402 . . . 4 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> ((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) -> j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
13113019.21aiv 1664 . . 3 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> A.j((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) -> j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
132 eleq1 1957 . . . . 5 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (j e. Top <-> {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top))
133 unieq 3185 . . . . . . 7 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> U.j = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
134133eqeq2d 1895 . . . . . 6 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (X = U.j <-> X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
135 ax-17 1317 . . . . . . . 8 |- (m e. j -> A.x m e. j)
136135, 116hbeq 1995 . . . . . . 7 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> A.x j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
137 fveq2 4681 . . . . . . . . . . 11 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (nei` j) = (nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
138137fveq1d 4683 . . . . . . . . . 10 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> ((nei` j)` {x}) = ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}))
139138eleq2d 1964 . . . . . . . . 9 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (n e. ((nei` j)` {x}) <-> n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
140139bibi1d 681 . . . . . . . 8 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> ((n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) <-> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
141140albidv 1656 . . . . . . 7 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) <-> A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
142136, 141ralbid 2121 . . . . . 6 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)) <-> A.x e. X A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
143134, 142anbi12d 690 . . . . 5 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> ((X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) <-> (X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
144132, 143anbi12d 690 . . . 4 |- (j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> ((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) <-> ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ (X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))))
145144eqeu 15351 . . 3 |- (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ (X = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) /\ A.j((j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))) -> j = {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})) -> E!j(j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
1462, 57, 131, 145syl111anc 1100 . 2 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> E!j(j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
147 df-reu 2111 . 2 |- (E!j e. Top (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) <-> E!j(j e. Top /\ (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
148146, 147sylibr 217 1 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> E!j e. Top (X = U.j /\ A.x e. X A.n(n e. ((nei` j)` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-top 8861  df-ntr 8940  df-nei 8989
Copyright terms: Public domain