Theorem neibastop3 28492

Description: The topology generated by a neighborhood base is unique. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop3	|- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Distinct variable groups:   t, n, v, y, j, x   j, J   x, n, J, v, y   t, o, v, w, x, y, j, F, n   ph, j, n, o, t, v, w, x, y   j, X, n, o, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, j, n, o)

Proof of Theorem neibastop3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . 4 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 28489	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		neibastop1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
7		neibastop1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	neibastop2 28491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
9		selpw 3864	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ~P X <-> n C_ X )
10	9	anbi1i 690	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
11	8, 10	syl6bbr 263	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
12	11	abbi2dv 2556	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) } )
13		df-rab 2722	. . . . . 6 |- { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) }
14	12, 13	syl6eqr 2491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
15	14	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
16		sneq 3884	. . . . . . 7 |- ( x = z -> { x } = { z } )
17	16	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
18		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
19	18	ineq1d 3548	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` z ) i^i ~P n ) )
20	19	neeq1d 2619	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
21	20	rabbidv 2962	. . . . . 6 |- ( x = z -> { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
22	17, 21	eqeq12d 2455	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
23	22	cbvralv 2945	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
24	15, 23	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
25		toponuni 18432	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> X = U. j )
26		eqimss2 3406	. . . . . . . . . 10 |- ( X = U. j -> U. j C_ X )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> U. j C_ X )
28		sspwuni 4253	. . . . . . . . 9 |- ( j C_ ~P X <-> U. j C_ X )
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j C_ ~P X )
30	29	ad2antlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j C_ ~P X )
31		dfss1 3552	. . . . . . 7 |- ( j C_ ~P X <-> ( ~P X i^i j ) = j )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = j )
33		topontop 18431	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j e. Top )
34	33	ad3antlr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> j e. Top )
35		eltop2 18480	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Top -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
37		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. ~P X -> o C_ X )
38		ssralv 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o C_ X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ~P X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
40	39	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
41		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
42	41	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
43	33	ad3antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> j e. Top )
44	25	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> X = U. j )
45	44	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> ( o C_ X <-> o C_ U. j ) )
46	45	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o C_ X ) -> o C_ U. j )
47	37, 46	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> o C_ U. j )
48	47	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> x e. U. j )
49	48	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> x e. U. j )
50	47	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> o C_ U. j )
51		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. j = U. j
52	51	isneip 18609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> ( o C_ U. j /\ E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) ) )
53	52	baibd 895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) /\ o C_ U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
54	43, 49, 50, 53	syl21anc 1212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
55		pweq 3860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = o -> ~P n = ~P o )
56	55	ineq2d 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = o -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` x ) i^i ~P o ) )
57	56	neeq1d 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = o -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
58	57	elrab3 3115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o e. ~P X -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
59	58	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
60	42, 54, 59	3bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
61	60	expr 612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
62	61	ralimdva 2792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
63	40, 62	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
64	63	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
65	64	an32s 797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
66		ralbi 2851	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
68	36, 67	bitrd 253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
69	68	rabbi2dva 3555	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) } )
70	69, 4	syl6eqr 2491	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = J )
71	32, 70	eqtr3d 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J )
72	71	expl 615	. . . 4 |- ( ph -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
73	72	alrimiv 1690	. . 3 |- ( ph -> A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
74		eleq1 2501	. . . . 5 |- ( j = J -> ( j e. (TopOn ` X ) <-> J e. (TopOn ` X ) ) )
75		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> ( nei ` j ) = ( nei ` J ) )
76	75	fveq1d 5690	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
77	76	eqeq1d 2449	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
78	77	ralbidv 2733	. . . . 5 |- ( j = J -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
79	74, 78	anbi12d 705	. . . 4 |- ( j = J -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) )
80	79	eqeu 3127	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) ) -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
81	5, 5, 24, 73, 80	syl121anc 1218	. 2 |- ( ph -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
82		df-reu 2720	. 2 |- ( E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
83	81, 82	sylibr 212	1 |- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 1761   E!weu 2259   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   {crab 2717   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   -->wf 5411   ` cfv 5415   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   neicnei 18601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-topgen 14378  df-top 18403  df-topon 18406  df-nei 18602

This theorem is referenced by: (None)