Theorem neibastop3 26281

Description: The topology generated by a neighborhood base is unique. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop3	|- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Distinct variable groups:   t, n, v, y, j, x   j, J   x, n, J, v, y   t, o, v, w, x, y, j, F, n   ph, j, n, o, t, v, w, x, y   j, X, n, o, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, j, n, o)

Proof of Theorem neibastop3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . 4 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 26278	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		neibastop1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
7		neibastop1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	neibastop2 26280	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
9		vex 2919	. . . . . . . . . 10 |- n e. _V
10	9	elpw 3765	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ~P X <-> n C_ X )
11	10	anbi1i 677	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
12	8, 11	syl6bbr 255	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
13	12	abbi2dv 2519	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) } )
14		df-rab 2675	. . . . . 6 |- { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) }
15	13, 14	syl6eqr 2454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
16	15	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
17		sneq 3785	. . . . . . 7 |- ( x = z -> { x } = { z } )
18	17	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
19		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
20	19	ineq1d 3501	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` z ) i^i ~P n ) )
21	20	neeq1d 2580	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
22	21	rabbidv 2908	. . . . . 6 |- ( x = z -> { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
23	18, 22	eqeq12d 2418	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
24	23	cbvralv 2892	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
25	16, 24	sylibr 204	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
26		toponuni 16947	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> X = U. j )
27		eqimss2 3361	. . . . . . . . . 10 |- ( X = U. j -> U. j C_ X )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> U. j C_ X )
29		sspwuni 4136	. . . . . . . . 9 |- ( j C_ ~P X <-> U. j C_ X )
30	28, 29	sylibr 204	. . . . . . . 8 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j C_ ~P X )
31	30	ad2antlr 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j C_ ~P X )
32		dfss1 3505	. . . . . . 7 |- ( j C_ ~P X <-> ( ~P X i^i j ) = j )
33	31, 32	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = j )
34		topontop 16946	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j e. Top )
35	34	ad3antlr 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> j e. Top )
36		eltop2 16995	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Top -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
38		elpwi 3767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. ~P X -> o C_ X )
39		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o C_ X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ~P X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
41	40	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
42		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
43	42	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
44	34	ad3antlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> j e. Top )
45	26	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> X = U. j )
46	45	sseq2d 3336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> ( o C_ X <-> o C_ U. j ) )
47	46	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o C_ X ) -> o C_ U. j )
48	38, 47	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> o C_ U. j )
49	48	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> x e. U. j )
50	49	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> x e. U. j )
51	48	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> o C_ U. j )
52		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. j = U. j
53	52	isneip 17124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> ( o C_ U. j /\ E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) ) )
54	53	baibd 876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) /\ o C_ U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
55	44, 50, 51, 54	syl21anc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
56		pweq 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = o -> ~P n = ~P o )
57	56	ineq2d 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = o -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` x ) i^i ~P o ) )
58	57	neeq1d 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = o -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
59	58	elrab3 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o e. ~P X -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
60	59	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
61	43, 55, 60	3bitr3d 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
62	61	expr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
63	62	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
64	41, 63	syld 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
65	64	imp 419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
66	65	an32s 780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
67		ralbi 2802	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
69	37, 68	bitrd 245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
70	69	rabbi2dva 3509	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) } )
71	70, 4	syl6eqr 2454	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = J )
72	33, 71	eqtr3d 2438	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J )
73	72	expl 602	. . . 4 |- ( ph -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
74	73	alrimiv 1638	. . 3 |- ( ph -> A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
75		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( j = J -> ( j e. (TopOn ` X ) <-> J e. (TopOn ` X ) ) )
76		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> ( nei ` j ) = ( nei ` J ) )
77	76	fveq1d 5689	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
78	77	eqeq1d 2412	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
79	78	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( j = J -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
80	75, 79	anbi12d 692	. . . 4 |- ( j = J -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) )
81	80	eqeu 3065	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) ) -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
82	5, 5, 25, 74, 81	syl121anc 1189	. 2 |- ( ph -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
83		df-reu 2673	. 2 |- ( E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
84	82, 83	sylibr 204	1 |- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!weu 2254   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   {crab 2670   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   -->wf 5409   ` cfv 5413   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   neicnei 17116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-topgen 13622  df-top 16918  df-topon 16921  df-nei 17117