Theorem neibastop2lem 31015

Description: Lemma for neibastop2 31016. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
neibastop2.p	|- ( ph -> P e. X )
neibastop2.n	|- ( ph -> N C_ X )
neibastop2.f	|- ( ph -> U e. ( F ` P ) )
neibastop2.u	|- ( ph -> U C_ N )
neibastop2.g	|- G = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om )
neibastop2.s	|- S = { y e. X | E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) }

Assertion

Ref	Expression
neibastop2lem	|- ( ph -> E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) )

Distinct variable groups:   t, f, v, y, z, G   v, u, x, y, z, J   f, o, u, w, x, P, t, v, y, z   f, N, o, t, u, v, w, x, y, z   S, f, o, t, u, v, x, y   U, f, x, y, z   f, a, o, t, u, v, w, x, y, z, F   ph, f, o, t, v, w, x, y, z   X, a, f, o, t, u, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( u, a)   P( a)   S( z, w, a)   U( w, v, u, t, o, a)   G( x, w, u, o, a)   J( w, t, f, o, a)   N( a)   V( x, y, z, w, v, u, t, f, o, a)

Proof of Theorem neibastop2lem

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop2.s	. . . . 5 |- S = { y e. X | E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) }
2		ssrab2 3547	. . . . 5 |- { y e. X | E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) } C_ X
3	1, 2	eqsstri 3495	. . . 4 |- S C_ X
4		neibastop1.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
5		elpw2g 4585	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
7	3, 6	mpbiri 237	. . 3 |- ( ph -> S e. ~P X )
8		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
9	8	ineq1d 3664	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( F ` y ) i^i ~P f ) = ( ( F ` x ) i^i ~P f ) )
10	9	neeq1d 2702	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
11	10	rexbidv 2940	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran G ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
12	11, 1	elrab2 3232	. . . . 5 |- ( x e. S <-> ( x e. X /\ E. f e. U. ran G ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
13		frfnom 7158	. . . . . . . . . 10 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om ) Fn om
14		neibastop2.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om )
15	14	fneq1i 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( G Fn om <-> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om ) Fn om )
16	13, 15	mpbir 213	. . . . . . . . 9 |- G Fn om
17		fnunirn 6171	. . . . . . . . 9 |- ( G Fn om -> ( f e. U. ran G <-> E. k e. om f e. ( G ` k ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( f e. U. ran G <-> E. k e. om f e. ( G ` k ) )
19		n0 3772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) )
20		inss1 3683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) i^i ~P f ) C_ ( F ` x )
21	20	sseli 3461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) -> v e. ( F ` x ) )
22		neibastop1.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
23	22	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ v e. ( F ` x ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
24	21, 23	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
25	24	adantrl 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
26		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ ( t e. ( F ` x ) /\ A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> t e. ( F ` x ) )
27		fvssunirn 5902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F ` x ) C_ U. ran F
28		neibastop1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
29		frn 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) -> ran F C_ ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ran F C_ ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
31	30	difss2d 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ran F C_ ~P ~P X )
32		sspwuni 4386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ran F C_ ~P ~P X <-> U. ran F C_ ~P X )
33	31, 32	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> U. ran F C_ ~P X )
34	33	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> U. ran F C_ ~P X )
35	27, 34	syl5ss 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> ( F ` x ) C_ ~P X )
36	35	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) -> t e. ~P X )
37	36	elpwid 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) -> t C_ X )
38	37	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ y e. t ) -> y e. X )
39	38	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ ( y e. t /\ ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> y e. X )
40		simprlr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> f e. ( G ` k ) )
41		rspe 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. X /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) -> E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) )
42	41	ad2ant2l 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) )
43		eliun 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( v e. U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) <-> E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
44		pweq 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z = f -> ~P z = ~P f )
45	44	ineq2d 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z = f -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) = ( ( F ` x ) i^i ~P f ) )
46	45	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z = f -> ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) <-> v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) )
47	46	rexbidv 2940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z = f -> ( E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) <-> E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) )
48	43, 47	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = f -> ( v e. U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) <-> E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) )
49	48	rspcev 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( f e. ( G ` k ) /\ E. x e. X v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) -> E. z e. ( G ` k ) v e. U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
50	40, 42, 49	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> E. z e. ( G ` k ) v e. U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
51		eliun 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v e. U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) <-> E. z e. ( G ` k ) v e. U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
52	50, 51	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> v e. U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
53		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> ph )
54		simprll 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> k e. om )
55		fvssunirn 5902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( G ` k ) C_ U. ran G
56		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n = (/) -> ( G ` n ) = ( G ` (/) ) )
57	14	fveq1i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( G ` (/) ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om ) ` (/) )
58		snex 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- { U } e. _V
59		fr0g 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( { U } e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om ) ` (/) ) = { U } )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { U } ) |` om ) ` (/) ) = { U }
61	57, 60	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( G ` (/) ) = { U }
62	56, 61	syl6eq 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = (/) -> ( G ` n ) = { U } )
63	62	sseq1d 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( n = (/) -> ( ( G ` n ) C_ ~P U <-> { U } C_ ~P U ) )
64		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
65	64	sseq1d 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) C_ ~P U <-> ( G ` k ) C_ ~P U ) )
66		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = suc k -> ( G ` n ) = ( G ` suc k ) )
67	66	sseq1d 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( n = suc k -> ( ( G ` n ) C_ ~P U <-> ( G ` suc k ) C_ ~P U ) )
68		neibastop2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> U e. ( F ` P ) )
69		pwidg 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( U e. ( F ` P ) -> U e. ~P U )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> U e. ~P U )
71	70	snssd 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> { U } C_ ~P U )
72		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> k e. om )
73	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> U e. ( F ` P ) )
74		pwexg 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( U e. ( F ` P ) -> ~P U e. _V )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> ~P U e. _V )
76		inss2 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P z
77		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( z e. ~P U -> z C_ U )
78	77	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ z e. ~P U ) -> z C_ U )
79		sspwb 4668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( z C_ U <-> ~P z C_ ~P U )
80	78, 79	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ z e. ~P U ) -> ~P z C_ ~P U )
81	76, 80	syl5ss 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ z e. ~P U ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
82	81	ralrimivw 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ z e. ~P U ) -> A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
83		iunss 4338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U <-> A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
84	82, 83	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ph /\ z e. ~P U ) -> U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
85	84	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ph -> A. z e. ~P U U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
86		ssralv 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( G ` k ) C_ ~P U -> ( A. z e. ~P U U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U -> A. z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U ) )
87	86	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) -> ( A. z e. ~P U U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U -> A. z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U ) )
88	85, 87	mpan9 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> A. z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
89		iunss 4338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U <-> A. z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
90	88, 89	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P U )
91	75, 90	ssexd 4569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) e. _V )
92		iuneq1 4311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( y = a -> U_ z e. y U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) = U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
93		iuneq1 4311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( y = ( G ` k ) -> U_ z e. y U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) = U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
94	14, 92, 93	frsucmpt2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( k e. om /\ U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) e. _V ) -> ( G ` suc k ) = U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
95	72, 91, 94	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> ( G ` suc k ) = U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
96	95, 90	eqsstrd 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ ( G ` k ) C_ ~P U ) ) -> ( G ` suc k ) C_ ~P U )
97	96	expr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( ( G ` k ) C_ ~P U -> ( G ` suc k ) C_ ~P U ) )
98	97	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( k e. om -> ( ph -> ( ( G ` k ) C_ ~P U -> ( G ` suc k ) C_ ~P U ) ) )
99	63, 65, 67, 71, 98	finds2 6733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( n e. om -> ( ph -> ( G ` n ) C_ ~P U ) )
100		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( G ` n ) e. _V
101	100	elpw 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G ` n ) e. ~P ~P U <-> ( G ` n ) C_ ~P U )
102	99, 101	syl6ibr 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( n e. om -> ( ph -> ( G ` n ) e. ~P ~P U ) )
103	102	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> ( n e. om -> ( G ` n ) e. ~P ~P U ) )
104	103	ralrimiv 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> A. n e. om ( G ` n ) e. ~P ~P U )
105		ffnfv 6062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( G : om --> ~P ~P U <-> ( G Fn om /\ A. n e. om ( G ` n ) e. ~P ~P U ) )
106	16, 105	mpbiran 927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( G : om --> ~P ~P U <-> A. n e. om ( G ` n ) e. ~P ~P U )
107	104, 106	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> G : om --> ~P ~P U )
108		frn 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( G : om --> ~P ~P U -> ran G C_ ~P ~P U )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ran G C_ ~P ~P U )
110		sspwuni 4386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ran G C_ ~P ~P U <-> U. ran G C_ ~P U )
111	109, 110	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> U. ran G C_ ~P U )
112	111	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> U. ran G C_ ~P U )
113	55, 112	syl5ss 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> ( G ` k ) C_ ~P U )
114	53, 54, 113, 95	syl12anc 1263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> ( G ` suc k ) = U_ z e. ( G ` k ) U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
115	52, 114	eleqtrrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> v e. ( G ` suc k ) )
116		peano2 6725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. om -> suc k e. om )
117	54, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> suc k e. om )
118		fnfvelrn 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G Fn om /\ suc k e. om ) -> ( G ` suc k ) e. ran G )
119	16, 117, 118	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> ( G ` suc k ) e. ran G )
120		elunii 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. ( G ` suc k ) /\ ( G ` suc k ) e. ran G ) -> v e. U. ran G )
121	115, 119, 120	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> v e. U. ran G )
122	121	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ ( y e. t /\ ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> v e. U. ran G )
123		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ ( y e. t /\ ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
124		pweq 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = v -> ~P f = ~P v )
125	124	ineq2d 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = v -> ( ( F ` y ) i^i ~P f ) = ( ( F ` y ) i^i ~P v ) )
126	125	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = v -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) )
127	126	rspcev 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. U. ran G /\ ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) -> E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) )
128	122, 123, 127	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ ( y e. t /\ ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) )
129	1	rabeq2i 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. S <-> ( y e. X /\ E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
130	39, 128, 129	sylanbrc 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ ( y e. t /\ ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> y e. S )
131	130	expr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) /\ y e. t ) -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) -> y e. S ) )
132	131	ralimdva 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ t e. ( F ` x ) ) -> ( A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) -> A. y e. t y e. S ) )
133	132	impr 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ ( t e. ( F ` x ) /\ A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> A. y e. t y e. S )
134		dfss3 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t C_ S <-> A. y e. t y e. S )
135	133, 134	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ ( t e. ( F ` x ) /\ A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> t C_ S )
136		selpw 3987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ~P S <-> t C_ S )
137	135, 136	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ ( t e. ( F ` x ) /\ A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> t e. ~P S )
138		inelcm 3848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( F ` x ) /\ t e. ~P S ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) )
139	26, 137, 138	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) /\ ( t e. ( F ` x ) /\ A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) )
140	25, 139	rexlimddv 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) /\ v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) )
141	140	expr 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) ) -> ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
142	141	exlimdv 1769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) ) -> ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P f ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
143	19, 142	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( k e. om /\ f e. ( G ` k ) ) ) -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
144	143	rexlimdvaa 2919	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. k e. om f e. ( G ` k ) -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) ) )
145	18, 144	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f e. U. ran G -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) ) )
146	145	rexlimdv 2916	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. f e. U. ran G ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
147	146	expimpd 607	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ E. f e. U. ran G ( ( F ` x ) i^i ~P f ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
148	12, 147	syl5bi 221	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S -> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
149	148	ralrimiv 2838	. . 3 |- ( ph -> A. x e. S ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) )
150		pweq 3983	. . . . . . 7 |- ( o = S -> ~P o = ~P S )
151	150	ineq2d 3665	. . . . . 6 |- ( o = S -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P S ) )
152	151	neeq1d 2702	. . . . 5 |- ( o = S -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
153	152	raleqbi1dv 3034	. . . 4 |- ( o = S -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. S ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
154		neibastop1.4	. . . 4 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
155	153, 154	elrab2 3232	. . 3 |- ( S e. J <-> ( S e. ~P X /\ A. x e. S ( ( F ` x ) i^i ~P S ) =/= (/) ) )
156	7, 149, 155	sylanbrc 669	. 2 |- ( ph -> S e. J )
157		neibastop2.p	. . 3 |- ( ph -> P e. X )
158		snidg 4023	. . . . . 6 |- ( U e. ( F ` P ) -> U e. { U } )
159	68, 158	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U e. { U } )
160		peano1 6724	. . . . . . 7 |- (/) e. om
161		fnfvelrn 6032	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn om /\ (/) e. om ) -> ( G ` (/) ) e. ran G )
162	16, 160, 161	mp2an 677	. . . . . 6 |- ( G ` (/) ) e. ran G
163	61, 162	eqeltrri 2508	. . . . 5 |- { U } e. ran G
164		elunii 4222	. . . . 5 |- ( ( U e. { U } /\ { U } e. ran G ) -> U e. U. ran G )
165	159, 163, 164	sylancl 667	. . . 4 |- ( ph -> U e. U. ran G )
166		inelcm 3848	. . . . 5 |- ( ( U e. ( F ` P ) /\ U e. ~P U ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P U ) =/= (/) )
167	68, 70, 166	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` P ) i^i ~P U ) =/= (/) )
168		pweq 3983	. . . . . . 7 |- ( f = U -> ~P f = ~P U )
169	168	ineq2d 3665	. . . . . 6 |- ( f = U -> ( ( F ` P ) i^i ~P f ) = ( ( F ` P ) i^i ~P U ) )
170	169	neeq1d 2702	. . . . 5 |- ( f = U -> ( ( ( F ` P ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` P ) i^i ~P U ) =/= (/) ) )
171	170	rspcev 3183	. . . 4 |- ( ( U e. U. ran G /\ ( ( F ` P ) i^i ~P U ) =/= (/) ) -> E. f e. U. ran G ( ( F ` P ) i^i ~P f ) =/= (/) )
172	165, 167, 171	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> E. f e. U. ran G ( ( F ` P ) i^i ~P f ) =/= (/) )
173		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( F ` y ) = ( F ` P ) )
174	173	ineq1d 3664	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ( F ` y ) i^i ~P f ) = ( ( F ` P ) i^i ~P f ) )
175	174	neeq1d 2702	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` P ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
176	175	rexbidv 2940	. . . 4 |- ( y = P -> ( E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran G ( ( F ` P ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
177	176, 1	elrab2 3232	. . 3 |- ( P e. S <-> ( P e. X /\ E. f e. U. ran G ( ( F ` P ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
178	157, 172, 177	sylanbrc 669	. 2 |- ( ph -> P e. S )
179		eluni2 4221	. . . . . . 7 |- ( f e. U. ran G <-> E. z e. ran G f e. z )
180		eleq2 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( G ` k ) -> ( f e. z <-> f e. ( G ` k ) ) )
181	180	rexrn 6037	. . . . . . . . 9 |- ( G Fn om -> ( E. z e. ran G f e. z <-> E. k e. om f e. ( G ` k ) ) )
182	16, 181	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran G f e. z <-> E. k e. om f e. ( G ` k ) )
183	107	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> G : om --> ~P ~P U )
184	183	ffvelrnda 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. ~P ~P U )
185	184	elpwid 3990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) C_ ~P U )
186	185	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ f e. ( G ` k ) ) -> f e. ~P U )
187	186	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) ) -> f e. ~P U )
188	187	elpwid 3990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) ) -> f C_ U )
189		neibastop2.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ N )
190	189	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) ) -> U C_ N )
191	188, 190	sstrd 3475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) ) -> f C_ N )
192		n0 3772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. v v e. ( ( F ` y ) i^i ~P f ) )
193		elin 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ( F ` y ) i^i ~P f ) <-> ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) )
194		simprrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> v e. ~P f )
195	194	elpwid 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> v C_ f )
196		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> y e. X )
197		neibastop1.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
198	197	expr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( v e. ( F ` x ) -> x e. v ) )
199	198	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. X ( v e. ( F ` x ) -> x e. v ) )
200	199	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> A. x e. X ( v e. ( F ` x ) -> x e. v ) )
201		simprrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> v e. ( F ` y ) )
202		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
203	202	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( v e. ( F ` x ) <-> v e. ( F ` y ) ) )
204		elequ1 1872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( x e. v <-> y e. v ) )
205	203, 204	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( v e. ( F ` x ) -> x e. v ) <-> ( v e. ( F ` y ) -> y e. v ) ) )
206	205	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. X -> ( A. x e. X ( v e. ( F ` x ) -> x e. v ) -> ( v e. ( F ` y ) -> y e. v ) ) )
207	196, 200, 201, 206	syl3c 64	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> y e. v )
208	195, 207	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) ) ) -> y e. f )
209	208	expr 619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ f e. ( G ` k ) ) -> ( ( v e. ( F ` y ) /\ v e. ~P f ) -> y e. f ) )
210	193, 209	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ f e. ( G ` k ) ) -> ( v e. ( ( F ` y ) i^i ~P f ) -> y e. f ) )
211	210	exlimdv 1769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ f e. ( G ` k ) ) -> ( E. v v e. ( ( F ` y ) i^i ~P f ) -> y e. f ) )
212	192, 211	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ f e. ( G ` k ) ) -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) -> y e. f ) )
213	212	impr 624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) ) -> y e. f )
214	191, 213	sseldd 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) /\ ( f e. ( G ` k ) /\ ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) ) -> y e. N )
215	214	exp32 609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. om ) -> ( f e. ( G ` k ) -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) -> y e. N ) ) )
216	215	rexlimdva 2918	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( E. k e. om f e. ( G ` k ) -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) -> y e. N ) ) )
217	182, 216	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( E. z e. ran G f e. z -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) -> y e. N ) ) )
218	179, 217	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( f e. U. ran G -> ( ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) -> y e. N ) ) )
219	218	rexlimdv 2916	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) -> y e. N ) )
220	219	3impia 1203	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X /\ E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) -> y e. N )
221	220	rabssdv 3542	. . 3 |- ( ph -> { y e. X | E. f e. U. ran G ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) } C_ N )
222	1, 221	syl5eqss 3509	. 2 |- ( ph -> S C_ N )
223		eleq2 2496	. . . 4 |- ( u = S -> ( P e. u <-> P e. S ) )
224		sseq1 3486	. . . 4 |- ( u = S -> ( u C_ N <-> S C_ N ) )
225	223, 224	anbi12d 716	. . 3 |- ( u = S -> ( ( P e. u /\ u C_ N ) <-> ( P e. S /\ S C_ N ) ) )
226	225	rspcev 3183	. 2 |- ( ( S e. J /\ ( P e. S /\ S C_ N ) ) -> E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) )
227	156, 178, 222, 226	syl12anc 1263	1 |- ( ph -> E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217   U_ciun 4297   |-> cmpt 4480   ran crn 4852   |` cres 4853   suc csuc 5442   Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599   omcom 6704   reccrdg 7133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134

This theorem is referenced by:  neibastop2  31016