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Theorem neibastop2 15523
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base.
Hypothesis
Ref Expression
neibastop1.1 |- (x = y -> U = W)
Assertion
Ref Expression
neibastop2 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (x e. X -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
Distinct variable groups:   t,n,u,v,w,x,y,B   n,o,t,v,x   U,n   u,o,y,U,v,t,w   n,X,o,t,u,v,x,y   n,W   w,o,W,t,u,v,x
Proof of Theorem neibastop2
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . 3 |- (x = y -> U = W)
21neibastop1 15518 . 2 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top)
3 eqid 1884 . . . . . . . . 9 |- U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} = U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}
43neii1 8997 . . . . . . . 8 |- (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> n C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
54ex 402 . . . . . . 7 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> n C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}))
6 unissb 3208 . . . . . . . . 9 |- (U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X <-> A.a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}a C_ X)
7 df-ral 2109 . . . . . . . . 9 |- (A.a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}a C_ X <-> A.a(a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> a C_ X))
8 visset 2295 . . . . . . . . . . . 12 |- a e. _V
9 sseq1 2637 . . . . . . . . . . . . 13 |- (o = a -> (o C_ X <-> a C_ X))
10 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (o = a -> (v C_ o <-> v C_ a))
1110rexbidv 2124 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (o = a -> (E.v e. U v C_ o <-> E.v e. U v C_ a))
1211raleqbi1dv 2271 . . . . . . . . . . . . 13 |- (o = a -> (A.x e. o E.v e. U v C_ o <-> A.x e. a E.v e. U v C_ a))
139, 12anbi12d 690 . . . . . . . . . . . 12 |- (o = a -> ((o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o) <-> (a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a)))
148, 13elab 2403 . . . . . . . . . . 11 |- (a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a))
1514imbi1i 203 . . . . . . . . . 10 |- ((a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> a C_ X) <-> ((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X))
1615albii 1346 . . . . . . . . 9 |- (A.a(a e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> a C_ X) <-> A.a((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X))
176, 7, 163bitrri 195 . . . . . . . 8 |- (A.a((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X) <-> U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X)
18 simpl 346 . . . . . . . 8 |- ((a C_ X /\ A.x e. a E.v e. U v C_ a) -> a C_ X)
1917, 18mpgbi 1333 . . . . . . 7 |- U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X
20 sstr2 2623 . . . . . . 7 |- (n C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} C_ X -> n C_ X))
215, 19, 20syl6mpi 68 . . . . . 6 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> n C_ X))
22 neii2 8998 . . . . . . . 8 |- (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})) -> E.m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} ({x} C_ m /\ m C_ n))
2322ex 402 . . . . . . 7 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> E.m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} ({x} C_ m /\ m C_ n)))
24 visset 2295 . . . . . . . . . 10 |- m e. _V
25 sseq1 2637 . . . . . . . . . . 11 |- (o = m -> (o C_ X <-> m C_ X))
26 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . . 13 |- (o = m -> (v C_ o <-> v C_ m))
2726rexbidv 2124 . . . . . . . . . . . 12 |- (o = m -> (E.v e. U v C_ o <-> E.v e. U v C_ m))
2827raleqbi1dv 2271 . . . . . . . . . . 11 |- (o = m -> (A.x e. o E.v e. U v C_ o <-> A.x e. m E.v e. U v C_ m))
2925, 28anbi12d 690 . . . . . . . . . 10 |- (o = m -> ((o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o) <-> (m C_ X /\ A.x e. m E.v e. U v C_ m)))
3024, 29elab 2403 . . . . . . . . 9 |- (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (m C_ X /\ A.x e. m E.v e. U v C_ m))
31 ra4 2155 . . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x e. m E.v e. U v C_ m -> (x e. m -> E.v e. U v C_ m))
32 sstr2 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v C_ m -> (m C_ n -> v C_ n))
33 sseq1 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u = v -> (u C_ n <-> v C_ n))
3433rcla4ev 2381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. U /\ v C_ n) -> E.u e. U u C_ n)
3534ex 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. U -> (v C_ n -> E.u e. U u C_ n))
3632, 35syl9r 72 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. U -> (v C_ m -> (m C_ n -> E.u e. U u C_ n)))
3736r19.23aiv 2211 . . . . . . . . . . . . 13 |- (E.v e. U v C_ m -> (m C_ n -> E.u e. U u C_ n))
3831, 37syl6 25 . . . . . . . . . . . 12 |- (A.x e. m E.v e. U v C_ m -> (x e. m -> (m C_ n -> E.u e. U u C_ n)))
39 visset 2295 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
4039snss 3122 . . . . . . . . . . . 12 |- (x e. m <-> {x} C_ m)
4138, 40syl5ibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. m E.v e. U v C_ m -> ({x} C_ m -> (m C_ n -> E.u e. U u C_ n)))
4241imp3a 388 . . . . . . . . . 10 |- (A.x e. m E.v e. U v C_ m -> (({x} C_ m /\ m C_ n) -> E.u e. U u C_ n))
4342adantl 424 . . . . . . . . 9 |- ((m C_ X /\ A.x e. m E.v e. U v C_ m) -> (({x} C_ m /\ m C_ n) -> E.u e. U u C_ n))
4430, 43sylbi 216 . . . . . . . 8 |- (m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> (({x} C_ m /\ m C_ n) -> E.u e. U u C_ n))
4544r19.23aiv 2211 . . . . . . 7 |- (E.m e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} ({x} C_ m /\ m C_ n) -> E.u e. U u C_ n)
4623, 45syl6 25 . . . . . 6 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> E.u e. U u C_ n))
4721, 46jcad 661 . . . . 5 |- ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))
4847ad2antrl 442 . . . 4 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X)) -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) -> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))
49 simprll 456 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top)
50 hbra1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> A.vA.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))
51 ra4 2155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> (v e. U -> ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))))
52 simplr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> v C_ X)
5352imim2i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. U -> ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> (v e. U -> v C_ X))
5453ancld 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. U -> ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> (v e. U -> (v e. U /\ v C_ X)))
5551, 54syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> (v e. U -> (v e. U /\ v C_ X)))
5650, 55eximd 1410 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> (E.v v e. U -> E.v(v e. U /\ v C_ X)))
57 n0 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (U =/= (/) <-> E.v v e. U)
58 df-rex 2110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.v e. U v C_ X <-> E.v(v e. U /\ v C_ X))
5956, 57, 583imtr4g 612 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)) -> (U =/= (/) -> E.v e. U v C_ X))
6059impcom 378 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> E.v e. U v C_ X)
6160ralimi 2168 . . . . . . . . . . . 12 |- (A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v))) -> A.x e. X E.v e. U v C_ X)
6261ad2antlr 441 . . . . . . . . . . 11 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> A.x e. X E.v e. U v C_ X)
63 ssid 2634 . . . . . . . . . . 11 |- X C_ X
6462, 63jctil 316 . . . . . . . . . 10 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X))
65 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (o = X -> (v C_ o <-> v C_ X))
6665rexbidv 2124 . . . . . . . . . . . . 13 |- (o = X -> (E.v e. U v C_ o <-> E.v e. U v C_ X))
6766raleqbi1dv 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- (o = X -> (A.x e. o E.v e. U v C_ o <-> A.x e. X E.v e. U v C_ X))
6867elssabg 3462 . . . . . . . . . . 11 |- (X e. B -> (X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X)))
6968ad2antrr 440 . . . . . . . . . 10 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> (X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} <-> (X C_ X /\ A.x e. X E.v e. U v C_ X)))
7064, 69mpbird 213 . . . . . . . . 9 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
71 elssuni 3206 . . . . . . . . 9 |- (X e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} -> X C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
7270, 71syl 12 . . . . . . . 8 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> X C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
73 simprlr 457 . . . . . . . 8 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> x e. X)
7472, 73sseldd 2620 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> x e. U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
753isneip 8996 . . . . . . 7 |- (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)}) -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} /\ E.g e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} (x e. g /\ g C_ n))))
7649, 74, 75syl11anc 524 . . . . . 6 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} /\ E.g e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} (x e. g /\ g C_ n))))
77 simprrl 458 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> n C_ X)
7877, 72sstrd 2627 . . . . . 6 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> n C_ U.{o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})
79 eqid 1884 . . . . . . 7 |- {<.f, h>. | h = {y | (y e. X /\ E.w e. W w C_ f)}} = {<.f, h>. | h = {y | (y e. X /\ E.w e. W w C_ f)}}
80 eqid 1884 . . . . . . 7 |- {<.a, b>. | b = {c | E.z e. a E.x e. ({<.f, h>. | h = {y | (y e. X /\ E.w e. W w C_ f)}}` z)(c e. U /\ c C_ z)}} = {<.a, b>. | b = {c | E.z e. a E.x e. ({<.f, h>. | h = {y | (y e. X /\ E.w e. W w C_ f)}}` z)(c e. U /\ c C_ z)}}
811, 79, 80neibastop2lem4 15522 . . . . . 6 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> E.g e. {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} (x e. g /\ g C_ n))
8276, 78, 81mpbir2and 802 . . . . 5 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ (({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X) /\ (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))) -> n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}))
8382expr 418 . . . 4 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X)) -> ((n C_ X /\ E.u e. U u C_ n) -> n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x})))
8448, 83impbid 574 . . 3 |- (((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) /\ ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top /\ x e. X)) -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))
8584exp32 408 . 2 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> ({o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)} e. Top -> (x e. X -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n)))))
862, 85mpd 29 1 |- ((X e. B /\ A.x e. X (U =/= (/) /\ A.v e. U ((x e. v /\ v C_ X) /\ (A.w e. U E.t e. U t C_ (v i^i w) /\ E.t e. U A.y e. t E.w e. W w C_ v)))) -> (x e. X -> (n e. ((nei` {o | (o C_ X /\ A.x e. o E.v e. U v C_ o)})` {x}) <-> (n C_ X /\ E.u e. U u C_ n))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  {copab 3395  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988
This theorem is referenced by:  neibastop3 15524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-top 8861  df-nei 8989
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