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Theorem neibastop2 31010
 Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1
neibastop1.2
neibastop1.3
neibastop1.4
neibastop1.5
neibastop1.6
Assertion
Ref Expression
neibastop2
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9
51, 2, 3, 4neibastop1 31008 . . . . . . . 8 TopOn
6 topontop 19934 . . . . . . . 8 TopOn
75, 6syl 17 . . . . . . 7
87adantr 467 . . . . . 6
9 eqid 2450 . . . . . . 7
109neii1 20115 . . . . . 6
118, 10sylan 474 . . . . 5
12 toponuni 19935 . . . . . . 7 TopOn
135, 12syl 17 . . . . . 6
1413ad2antrr 731 . . . . 5
1511, 14sseqtr4d 3468 . . . 4
16 neii2 20117 . . . . . 6
178, 16sylan 474 . . . . 5
18 pweq 3953 . . . . . . . . . . 11
1918ineq2d 3633 . . . . . . . . . 10
2019neeq1d 2682 . . . . . . . . 9
2120raleqbi1dv 2994 . . . . . . . 8
2221, 4elrab2 3197 . . . . . . 7
23 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . 13
24 sspwb 4648 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24sylib 200 . . . . . . . . . . . 12
26 sslin 3657 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11
28 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . 13
29 snssg 4104 . . . . . . . . . . . . . 14
3029ad3antlr 736 . . . . . . . . . . . . 13
3128, 30mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12
32 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332ineq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . 14
3433neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . . 13
3534rspcv 3145 . . . . . . . . . . . 12
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11
37 ssn0 3766 . . . . . . . . . . 11
3827, 36, 37syl6an 548 . . . . . . . . . 10
3938expr 619 . . . . . . . . 9
4039com23 81 . . . . . . . 8
4140expimpd 607 . . . . . . 7
4222, 41syl5bi 221 . . . . . 6
4342rexlimdv 2876 . . . . 5
4417, 43mpd 15 . . . 4
4515, 44jca 535 . . 3
4645ex 436 . 2
47 n0 3740 . . . 4
48 elin 3616 . . . . . 6
49 simprl 763 . . . . . . . . 9
5013ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
5149, 50sseqtrd 3467 . . . . . . . 8
521ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
532ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
54 simpll 759 . . . . . . . . . 10
5554, 3sylan 474 . . . . . . . . 9
56 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10
5754, 56sylan 474 . . . . . . . . 9
58 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10
5954, 58sylan 474 . . . . . . . . 9
60 simplr 761 . . . . . . . . 9
61 simprrl 773 . . . . . . . . 9
62 simprrr 774 . . . . . . . . . 10
6362elpwid 3960 . . . . . . . . 9
64 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564ineq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665cbviunv 4316 . . . . . . . . . . . . . 14
67 pweq 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867ineq2d 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968iuneq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . 14
7066, 69syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . 13
7170cbviunv 4316 . . . . . . . . . . . 12
7271mpteq2i 4485 . . . . . . . . . . 11
73 rdgeq1 7126 . . . . . . . . . . 11
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
7574reseq1i 5100 . . . . . . . . 9
76 pweq 3953 . . . . . . . . . . . . . 14
7776ineq2d 3633 . . . . . . . . . . . . 13
7877neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . 12
7978cbvrexv 3019 . . . . . . . . . . 11
80 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14
8180ineq1d 3632 . . . . . . . . . . . . 13
8281neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . 12
8382rexbidv 2900 . . . . . . . . . . 11
8479, 83syl5bb 261 . . . . . . . . . 10
8584cbvrabv 3043 . . . . . . . . 9
8652, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85neibastop2lem 31009 . . . . . . . 8
877ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
8860, 50eleqtrd 2530 . . . . . . . . 9
899isneip 20114 . . . . . . . . 9
9087, 88, 89syl2anc 666 . . . . . . . 8
9151, 86, 90mpbir2and 932 . . . . . . 7
9291expr 619 . . . . . 6
9348, 92syl5bi 221 . . . . 5
9493exlimdv 1778 . . . 4
9547, 94syl5bi 221 . . 3
9695expimpd 607 . 2
9746, 96impbid 194 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  crab 2740  cvv 3044   cdif 3400   cin 3402   wss 3403  c0 3730  cpw 3950  csn 3967  cuni 4197  ciun 4277   cmpt 4460   crn 4834   cres 4835  wf 5577  cfv 5581  com 6689  crdg 7124  ctop 19910  TopOnctopon 19911  cnei 20106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-top 19914  df-topon 19916  df-nei 20107 This theorem is referenced by:  neibastop3  31011
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