Theorem neibastop2 30341

Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop2	|- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   v, t, y, x   v, J   x, y, J   t, o, v, w, x, y, P   o, N, t, v, w, x, y   o, F, t, v, w, x, y   ph, o, t, v, w, x, y   o, X, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, o)

Proof of Theorem neibastop2

Dummy variables f n z s u a b g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . . . . . . 9 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 30339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		topontop 19553	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
8	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> J e. Top )
9		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
10	9	neii1 19733	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ U. J )
11	8, 10	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ U. J )
12		toponuni 19554	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
13	5, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
14	13	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> X = U. J )
15	11, 14	sseqtr4d 3536	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ X )
16		neii2 19735	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) )
17	8, 16	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) )
18		pweq 4018	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = y -> ~P o = ~P y )
19	18	ineq2d 3696	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
20	19	neeq1d 2734	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
21	20	raleqbi1dv 3062	. . . . . . . 8 |- ( o = y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
22	21, 4	elrab2 3259	. . . . . . 7 |- ( y e. J <-> ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
23		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> y C_ N )
24		sspwb 4705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ N <-> ~P y C_ ~P N )
25	23, 24	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ~P y C_ ~P N )
26		sslin 3720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P y C_ ~P N -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
28		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> { P } C_ y )
29		snssg 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X -> ( P e. y <-> { P } C_ y ) )
30	29	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( P e. y <-> { P } C_ y ) )
31	28, 30	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> P e. y )
32		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( F ` x ) = ( F ` P ) )
33	32	ineq1d 3695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = P -> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) = ( ( F ` P ) i^i ~P y ) )
34	33	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = P -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) <-> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
35	34	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. y -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
36	31, 35	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
37		ssn0 3827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) /\ ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) )
38	27, 36, 37	syl6an 545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
39	38	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
40	39	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ y e. ~P X ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
41	40	expimpd 603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
42	22, 41	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( y e. J -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
43	42	rexlimdv 2947	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
44	17, 43	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) )
45	15, 44	jca 532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
46	45	ex 434	. 2 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
47		n0 3803	. . . 4 |- ( ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) <-> E. s s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
48		elin 3683	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) <-> ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) )
49		simprl 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N C_ X )
50	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> X = U. J )
51	49, 50	sseqtrd 3535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N C_ U. J )
52	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> X e. V )
53	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
54		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> ph )
55	54, 3	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
56		neibastop1.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
57	54, 56	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
58		neibastop1.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
59	54, 58	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
60		simplr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> P e. X )
61		simprrl 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s e. ( F ` P ) )
62		simprrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s e. ~P N )
63	62	elpwid 4025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s C_ N )
64		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> ( F ` n ) = ( F ` x ) )
65	64	ineq1d 3695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = ( ( F ` x ) i^i ~P b ) )
66	65	cbviunv 4371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P b )
67		pweq 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = z -> ~P b = ~P z )
68	67	ineq2d 3696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P b ) = ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
69	68	iuneq2d 4359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = z -> U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
70	66, 69	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = z -> U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
71	70	cbviunv 4371	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z )
72	71	mpteq2i 4540	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) = ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
73		rdgeq1 7095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) = ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } ) )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } )
75	74	reseq1i 5279	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } ) |` om )
76		pweq 4018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ~P g = ~P f )
77	76	ineq2d 3696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( ( F ` w ) i^i ~P g ) = ( ( F ` w ) i^i ~P f ) )
78	77	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
79	78	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) )
80		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( F ` w ) = ( F ` y ) )
81	80	ineq1d 3695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( ( F ` w ) i^i ~P f ) = ( ( F ` y ) i^i ~P f ) )
82	81	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
83	82	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
84	79, 83	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
85	84	cbvrabv 3108	. . . . . . . . 9 |- { w e. X | E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) } = { y e. X | E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) }
86	52, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85	neibastop2lem 30340	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) )
87	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> J e. Top )
88	60, 50	eleqtrd 2547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> P e. U. J )
89	9	isneip 19732	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) ) ) )
90	87, 88, 89	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) ) ) )
91	51, 86, 90	mpbir2and 922	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
92	91	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
93	48, 92	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
94	93	exlimdv 1725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. s s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
95	47, 94	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
96	95	expimpd 603	. 2 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
97	46, 96	impbid 191	1 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594   omcom 6699   reccrdg 7093   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   neicnei 19724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-top 19525  df-topon 19528  df-nei 19725

This theorem is referenced by:  neibastop3  30342