Theorem neibastop2 28731

Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop2	|- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   v, t, y, x   v, J   x, y, J   t, o, v, w, x, y, P   o, N, t, v, w, x, y   o, F, t, v, w, x, y   ph, o, t, v, w, x, y   o, X, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, o)

Proof of Theorem neibastop2

Dummy variables f n z s u a b g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . . . . . . 9 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 28729	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		topontop 18664	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
8	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> J e. Top )
9		eqid 2454	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
10	9	neii1 18843	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ U. J )
11	8, 10	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ U. J )
12		toponuni 18665	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
13	5, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
14	13	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> X = U. J )
15	11, 14	sseqtr4d 3502	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ X )
16		neii2 18845	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) )
17	8, 16	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) )
18		pweq 3972	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = y -> ~P o = ~P y )
19	18	ineq2d 3661	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
20	19	neeq1d 2729	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
21	20	raleqbi1dv 3031	. . . . . . . 8 |- ( o = y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
22	21, 4	elrab2 3226	. . . . . . 7 |- ( y e. J <-> ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
23		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> y C_ N )
24		sspwb 4650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ N <-> ~P y C_ ~P N )
25	23, 24	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ~P y C_ ~P N )
26		sslin 3685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P y C_ ~P N -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
28		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> { P } C_ y )
29		snssg 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X -> ( P e. y <-> { P } C_ y ) )
30	29	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( P e. y <-> { P } C_ y ) )
31	28, 30	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> P e. y )
32		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( F ` x ) = ( F ` P ) )
33	32	ineq1d 3660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = P -> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) = ( ( F ` P ) i^i ~P y ) )
34	33	neeq1d 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = P -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) <-> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
35	34	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. y -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
36	31, 35	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
37		ssn0 3779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) /\ ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) )
38	27, 36, 37	syl6an 545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
39	38	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
40	39	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ y e. ~P X ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
41	40	expimpd 603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
42	22, 41	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( y e. J -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
43	42	rexlimdv 2946	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
44	17, 43	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) )
45	15, 44	jca 532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
46	45	ex 434	. 2 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
47		n0 3755	. . . 4 |- ( ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) <-> E. s s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
48		elin 3648	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) <-> ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) )
49		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N C_ X )
50	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> X = U. J )
51	49, 50	sseqtrd 3501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N C_ U. J )
52	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> X e. V )
53	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
54		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> ph )
55	54, 3	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
56		neibastop1.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
57	54, 56	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
58		neibastop1.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
59	54, 58	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
60		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> P e. X )
61		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s e. ( F ` P ) )
62		simprrr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s e. ~P N )
63	62	elpwid 3979	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s C_ N )
64		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> ( F ` n ) = ( F ` x ) )
65	64	ineq1d 3660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = ( ( F ` x ) i^i ~P b ) )
66	65	cbviunv 4318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P b )
67		pweq 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = z -> ~P b = ~P z )
68	67	ineq2d 3661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P b ) = ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
69	68	iuneq2d 4306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = z -> U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
70	66, 69	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = z -> U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
71	70	cbviunv 4318	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z )
72	71	mpteq2i 4484	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) = ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
73		rdgeq1 6978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) = ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } ) )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } )
75	74	reseq1i 5215	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } ) |` om )
76		pweq 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ~P g = ~P f )
77	76	ineq2d 3661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( ( F ` w ) i^i ~P g ) = ( ( F ` w ) i^i ~P f ) )
78	77	neeq1d 2729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
79	78	cbvrexv 3054	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) )
80		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( F ` w ) = ( F ` y ) )
81	80	ineq1d 3660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( ( F ` w ) i^i ~P f ) = ( ( F ` y ) i^i ~P f ) )
82	81	neeq1d 2729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
83	82	rexbidv 2868	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
84	79, 83	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
85	84	cbvrabv 3077	. . . . . . . . 9 |- { w e. X | E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) } = { y e. X | E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) }
86	52, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85	neibastop2lem 28730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) )
87	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> J e. Top )
88	60, 50	eleqtrd 2544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> P e. U. J )
89	9	isneip 18842	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) ) ) )
90	87, 88, 89	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) ) ) )
91	51, 86, 90	mpbir2and 913	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
92	91	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
93	48, 92	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
94	93	exlimdv 1691	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. s s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
95	47, 94	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
96	95	expimpd 603	. 2 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
97	46, 96	impbid 191	1 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078   \ cdif 3434   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   {csn 3986   U.cuni 4200   U_ciun 4280   |-> cmpt 4459   ran crn 4950   |` cres 4951   -->wf 5523   ` cfv 5527   omcom 6587   reccrdg 6976   Topctop 18631  TopOnctopon 18632   neicnei 18834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-top 18636  df-topon 18639  df-nei 18835

This theorem is referenced by:  neibastop3  28732