Theorem neibastop2 29780

Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop2	|- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   v, t, y, x   v, J   x, y, J   t, o, v, w, x, y, P   o, N, t, v, w, x, y   o, F, t, v, w, x, y   ph, o, t, v, w, x, y   o, X, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, o)

Proof of Theorem neibastop2

Dummy variables f n z s u a b g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . . . . . . 9 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 29778	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		topontop 19191	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
8	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> J e. Top )
9		eqid 2467	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
10	9	neii1 19370	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ U. J )
11	8, 10	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ U. J )
12		toponuni 19192	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
13	5, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X = U. J )
14	13	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> X = U. J )
15	11, 14	sseqtr4d 3541	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> N C_ X )
16		neii2 19372	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) )
17	8, 16	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) )
18		pweq 4013	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = y -> ~P o = ~P y )
19	18	ineq2d 3700	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
20	19	neeq1d 2744	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
21	20	raleqbi1dv 3066	. . . . . . . 8 |- ( o = y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
22	21, 4	elrab2 3263	. . . . . . 7 |- ( y e. J <-> ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
23		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> y C_ N )
24		sspwb 4696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ N <-> ~P y C_ ~P N )
25	23, 24	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ~P y C_ ~P N )
26		sslin 3724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P y C_ ~P N -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
28		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> { P } C_ y )
29		snssg 4160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X -> ( P e. y <-> { P } C_ y ) )
30	29	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( P e. y <-> { P } C_ y ) )
31	28, 30	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> P e. y )
32		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( F ` x ) = ( F ` P ) )
33	32	ineq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = P -> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) = ( ( F ` P ) i^i ~P y ) )
34	33	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = P -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) <-> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
35	34	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. y -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
36	31, 35	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
37		ssn0 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` P ) i^i ~P y ) C_ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) /\ ( ( F ` P ) i^i ~P y ) =/= (/) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) )
38	27, 36, 37	syl6an 545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ ( y e. ~P X /\ ( { P } C_ y /\ y C_ N ) ) ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
39	38	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
40	39	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) /\ y e. ~P X ) -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
41	40	expimpd 603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
42	22, 41	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( y e. J -> ( ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
43	42	rexlimdv 2953	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( E. y e. J ( { P } C_ y /\ y C_ N ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
44	17, 43	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) )
45	15, 44	jca 532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) )
46	45	ex 434	. 2 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) -> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )
47		n0 3794	. . . 4 |- ( ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) <-> E. s s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) )
48		elin 3687	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) <-> ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) )
49		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N C_ X )
50	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> X = U. J )
51	49, 50	sseqtrd 3540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N C_ U. J )
52	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> X e. V )
53	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
54		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> ph )
55	54, 3	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
56		neibastop1.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
57	54, 56	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
58		neibastop1.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
59	54, 58	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
60		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> P e. X )
61		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s e. ( F ` P ) )
62		simprrr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s e. ~P N )
63	62	elpwid 4020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> s C_ N )
64		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> ( F ` n ) = ( F ` x ) )
65	64	ineq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = ( ( F ` x ) i^i ~P b ) )
66	65	cbviunv 4364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P b )
67		pweq 4013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = z -> ~P b = ~P z )
68	67	ineq2d 3700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P b ) = ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
69	68	iuneq2d 4352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = z -> U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
70	66, 69	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = z -> U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
71	70	cbviunv 4364	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) = U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z )
72	71	mpteq2i 4530	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) = ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
73		rdgeq1 7074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) = ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } ) )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } )
75	74	reseq1i 5267	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ z e. a U_ x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) , { s } ) |` om )
76		pweq 4013	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ~P g = ~P f )
77	76	ineq2d 3700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( ( F ` w ) i^i ~P g ) = ( ( F ` w ) i^i ~P f ) )
78	77	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
79	78	cbvrexv 3089	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) )
80		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( F ` w ) = ( F ` y ) )
81	80	ineq1d 3699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( ( F ` w ) i^i ~P f ) = ( ( F ` y ) i^i ~P f ) )
82	81	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
83	82	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P f ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
84	79, 83	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) <-> E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) ) )
85	84	cbvrabv 3112	. . . . . . . . 9 |- { w e. X | E. g e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` w ) i^i ~P g ) =/= (/) } = { y e. X | E. f e. U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ b e. a U_ n e. X ( ( F ` n ) i^i ~P b ) ) , { s } ) |` om ) ( ( F ` y ) i^i ~P f ) =/= (/) }
86	52, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85	neibastop2lem 29779	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) )
87	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> J e. Top )
88	60, 50	eleqtrd 2557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> P e. U. J )
89	9	isneip 19369	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) ) ) )
90	87, 88, 89	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. u e. J ( P e. u /\ u C_ N ) ) ) )
91	51, 86, 90	mpbir2and 920	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ ( N C_ X /\ ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
92	91	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( ( s e. ( F ` P ) /\ s e. ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
93	48, 92	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
94	93	exlimdv 1700	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. s s e. ( ( F ` P ) i^i ~P N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
95	47, 94	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
96	95	expimpd 603	. 2 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
97	46, 96	impbid 191	1 |- ( ( ph /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ ( ( F ` P ) i^i ~P N ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586   omcom 6678   reccrdg 7072   Topctop 19158  TopOnctopon 19159   neicnei 19361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-top 19163  df-topon 19166  df-nei 19362

This theorem is referenced by:  neibastop3  29781