Theorem neibastop1 31008

Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }

Assertion

Ref	Expression
neibastop1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Distinct variable groups:   x, v, J   v, o, w, x, F   ph, o, v, w, x   o, X, v, w, x

Allowed substitution hints:   J( w, o)   V( x, w, v, o)

Proof of Theorem neibastop1

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> y C_ J )
2		neibastop1.4	. . . . . . . . . 10 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
3		ssrab2 3513	. . . . . . . . . 10 |- { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) } C_ ~P X
4	2, 3	eqsstri 3461	. . . . . . . . 9 |- J C_ ~P X
5	1, 4	syl6ss 3443	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> y C_ ~P X )
6		sspwuni 4366	. . . . . . . 8 |- ( y C_ ~P X <-> U. y C_ X )
7	5, 6	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> U. y C_ X )
8		vex 3047	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9	8	uniex 6584	. . . . . . . 8 |- U. y e. _V
10	9	elpw 3956	. . . . . . 7 |- ( U. y e. ~P X <-> U. y C_ X )
11	7, 10	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> U. y e. ~P X )
12		eluni2 4201	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. y <-> E. z e. y x e. z )
13		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
14	13	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> z C_ U. y )
15		sspwb 4648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ U. y <-> ~P z C_ ~P U. y )
16	14, 15	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ~P z C_ ~P U. y )
17		sslin 3657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P z C_ ~P U. y -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) )
19	1	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ z e. y ) -> z e. J )
20	19	adantrr 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> z e. J )
21		pweq 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o = z -> ~P o = ~P z )
22	21	ineq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
23	22	neeq1d 2682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = z -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = z -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
25	24, 2	elrab2 3197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. J <-> ( z e. ~P X /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
26	25	simprbi 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. J -> A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
28		simprr 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> x e. z )
29		rsp 2753	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) -> ( x e. z -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
31		ssn0 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) )
32	18, 30, 31	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) )
33	32	rexlimdvaa 2879	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> ( E. z e. y x e. z -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
34	12, 33	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> ( x e. U. y -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
35	34	ralrimiv 2799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> A. x e. U. y ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) )
36		pweq 3953	. . . . . . . . . 10 |- ( o = U. y -> ~P o = ~P U. y )
37	36	ineq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( o = U. y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) )
38	37	neeq1d 2682	. . . . . . . 8 |- ( o = U. y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
39	38	raleqbi1dv 2994	. . . . . . 7 |- ( o = U. y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. U. y ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
40	39, 2	elrab2 3197	. . . . . 6 |- ( U. y e. J <-> ( U. y e. ~P X /\ A. x e. U. y ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
41	11, 35, 40	sylanbrc 669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
42	41	ex 436	. . . 4 |- ( ph -> ( y C_ J -> U. y e. J ) )
43	42	alrimiv 1772	. . 3 |- ( ph -> A. y ( y C_ J -> U. y e. J ) )
44		pweq 3953	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = y -> ~P o = ~P y )
45	44	ineq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
46	45	neeq1d 2682	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
47	46	raleqbi1dv 2994	. . . . . . . 8 |- ( o = y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
48	47, 2	elrab2 3197	. . . . . . 7 |- ( y e. J <-> ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
49	48, 25	anbi12i 702	. . . . . 6 |- ( ( y e. J /\ z e. J ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) /\ ( z e. ~P X /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) )
50		an4 832	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) /\ ( z e. ~P X /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) )
51	49, 50	bitri 253	. . . . 5 |- ( ( y e. J /\ z e. J ) <-> ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) )
52		inss1 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i z ) C_ y
53		elpwi 3959	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
54	52, 53	syl5ss 3442	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> ( y i^i z ) C_ X )
55	54	ad2antrl 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) -> ( y i^i z ) C_ X )
56	55	adantrr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ X )
57	8	inex1 4543	. . . . . . . 8 |- ( y i^i z ) e. _V
58	57	elpw 3956	. . . . . . 7 |- ( ( y i^i z ) e. ~P X <-> ( y i^i z ) C_ X )
59	56, 58	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. ~P X )
60		ssralv 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i z ) C_ y -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
61	52, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) )
62		inss2 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( y i^i z ) C_ z
63		ssralv 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i z ) C_ z -> ( A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
65	61, 64	anim12i 569	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
66		r19.26 2916	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) <-> ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
67	65, 66	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
68		n0 3740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) <-> E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
69		n0 3740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) <-> E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
70	68, 69	anbi12i 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) <-> ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) )
71		eeanv 2077	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v E. w ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) <-> ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) )
72		inss2 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` x ) i^i ~P y ) C_ ~P y
73		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
74	72, 73	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v e. ~P y )
75	74	elpwid 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v C_ y )
76		inss2 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P z
77		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
78	76, 77	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w e. ~P z )
79	78	elpwid 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w C_ z )
80		ss2in 3658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v C_ y /\ w C_ z ) -> ( v i^i w ) C_ ( y i^i z ) )
81	75, 79, 80	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( v i^i w ) C_ ( y i^i z ) )
82		sspwb 4648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v i^i w ) C_ ( y i^i z ) <-> ~P ( v i^i w ) C_ ~P ( y i^i z ) )
83	81, 82	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ~P ( v i^i w ) C_ ~P ( y i^i z ) )
84		sslin 3657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P ( v i^i w ) C_ ~P ( y i^i z ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) )
86		simplll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ph )
87	55	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ X )
88		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> x e. ( y i^i z ) )
89	87, 88	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> x e. X )
90		inss1 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) i^i ~P y ) C_ ( F ` x )
91	90, 73	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v e. ( F ` x ) )
92		inss1 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( F ` x )
93	92, 77	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w e. ( F ` x ) )
94		neibastop1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
95	86, 89, 91, 93, 94	syl13anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
96		ssn0 3766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) )
97	85, 95, 96	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) )
98	97	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
99	98	exlimdvv 1779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( E. v E. w ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
100	71, 99	syl5bir 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
101	70, 100	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
102	101	ralimdva 2795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) -> ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
103	67, 102	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) -> ( ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
104	103	impr 624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) )
105		pweq 3953	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( y i^i z ) -> ~P o = ~P ( y i^i z ) )
106	105	ineq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( o = ( y i^i z ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) )
107	106	neeq1d 2682	. . . . . . . 8 |- ( o = ( y i^i z ) -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
108	107	raleqbi1dv 2994	. . . . . . 7 |- ( o = ( y i^i z ) -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
109	108, 2	elrab2 3197	. . . . . 6 |- ( ( y i^i z ) e. J <-> ( ( y i^i z ) e. ~P X /\ A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
110	59, 104, 109	sylanbrc 669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. J )
111	51, 110	sylan2b 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ z e. J ) ) -> ( y i^i z ) e. J )
112	111	ralrimivva 2808	. . 3 |- ( ph -> A. y e. J A. z e. J ( y i^i z ) e. J )
113		neibastop1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
114		sspwuni 4366	. . . . . . . 8 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
115	4, 114	mpbi 212	. . . . . . 7 |- U. J C_ X
116	115	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> U. J C_ X )
117	113, 116	ssexd 4549	. . . . 5 |- ( ph -> U. J e. _V )
118		uniexb 6598	. . . . 5 |- ( J e. _V <-> U. J e. _V )
119	117, 118	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
120		istopg 19918	. . . 4 |- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. y ( y C_ J -> U. y e. J ) /\ A. y e. J A. z e. J ( y i^i z ) e. J ) ) )
121	119, 120	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. y ( y C_ J -> U. y e. J ) /\ A. y e. J A. z e. J ( y i^i z ) e. J ) ) )
122	43, 112, 121	mpbir2and 932	. 2 |- ( ph -> J e. Top )
123		pwidg 3963	. . . . . 6 |- ( X e. V -> X e. ~P X )
124	113, 123	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ~P X )
125		neibastop1.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
126	125	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
127		eldifi 3554	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P ~P X \ { (/) } ) -> ( F ` x ) e. ~P ~P X )
128		elpwi 3959	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ~P ~P X -> ( F ` x ) C_ ~P X )
129	126, 127, 128	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) C_ ~P X )
130		df-ss 3417	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) C_ ~P X <-> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) = ( F ` x ) )
131	129, 130	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) = ( F ` x ) )
132		eldifsni 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P ~P X \ { (/) } ) -> ( F ` x ) =/= (/) )
133	126, 132	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) =/= (/) )
134	131, 133	eqnetrd 2690	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) )
135	134	ralrimiva 2801	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) )
136		pweq 3953	. . . . . . . . 9 |- ( o = X -> ~P o = ~P X )
137	136	ineq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( o = X -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P X ) )
138	137	neeq1d 2682	. . . . . . 7 |- ( o = X -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) ) )
139	138	raleqbi1dv 2994	. . . . . 6 |- ( o = X -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) ) )
140	139, 2	elrab2 3197	. . . . 5 |- ( X e. J <-> ( X e. ~P X /\ A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) ) )
141	124, 135, 140	sylanbrc 669	. . . 4 |- ( ph -> X e. J )
142		elssuni 4226	. . . 4 |- ( X e. J -> X C_ U. J )
143	141, 142	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X C_ U. J )
144	143, 116	eqssd 3448	. 2 |- ( ph -> X = U. J )
145		istopon 19933	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
146	122, 144, 145	sylanbrc 669	1 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   A.wal 1441   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   -->wf 5577   ` cfv 5581   Topctop 19910  TopOnctopon 19911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-top 19914  df-topon 19916

This theorem is referenced by:  neibastop2  31010  neibastop3  31011