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Theorem neibastop1 28551
Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
neibastop1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Distinct variable groups:    x, v, J    v, o, w, x, F    ph, o, v, w, x    o, X, v, w, x
Allowed substitution hints:    J( w, o)    V( x, w, v, o)

Proof of Theorem neibastop1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  y  C_  J )
2 neibastop1.4 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
3 ssrab2 3432 . . . . . . . . . 10  |-  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }  C_  ~P X
42, 3eqsstri 3381 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  ~P X
51, 4syl6ss 3363 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  y  C_ 
~P X )
6 sspwuni 4251 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  C_  X )
8 vex 2970 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
98uniex 6371 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
109elpw 3861 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P X  <->  U. y  C_  X )
117, 10sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  ~P X )
12 eluni2 4090 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. y  <->  E. z  e.  y  x  e.  z )
13 elssuni 4116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1413ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  z  C_  U. y )
15 sspwb 4536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  U. y  <->  ~P z  C_ 
~P U. y )
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ~P z  C_ 
~P U. y )
17 sslin 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P z  C_  ~P U. y  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P U. y
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y ) )
191sselda 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  J )
2019adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
21 pweq 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  =  z  ->  ~P o  =  ~P z
)
2221ineq2d 3547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
2322neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  z  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
2423raleqbi1dv 2920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  z  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
2524, 2elrab2 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  J  <->  ( z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) )
2625simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  J  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
2720, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
28 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
29 rsp 2771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  ->  (
x  e.  z  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
3027, 28, 29sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
31 ssn0 3665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P U. y
)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) )
3218, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) )
3332rexlimdvaa 2837 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  ( E. z  e.  y  x  e.  z  ->  ( ( F `  x
)  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) ) )
3412, 33syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  (
x  e.  U. y  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
3534ralrimiv 2793 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  A. x  e.  U. y ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) )
36 pweq 3858 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  U. y  ->  ~P o  =  ~P U. y )
3736ineq2d 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  U. y  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =  ( ( F `  x
)  i^i  ~P U. y
) )
3837neeq1d 2616 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  U. y  -> 
( ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) 
<->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
3938raleqbi1dv 2920 . . . . . . 7  |-  ( o  =  U. y  -> 
( A. x  e.  o  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  U. y ( ( F `
 x )  i^i 
~P U. y )  =/=  (/) ) )
4039, 2elrab2 3114 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  J  <->  ( U. y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  U. y ( ( F `
 x )  i^i 
~P U. y )  =/=  (/) ) )
4111, 35, 40sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  J )
4241ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
) )
4342alrimiv 1685 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y ( y 
C_  J  ->  U. y  e.  J ) )
44 pweq 3858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  y  ->  ~P o  =  ~P y
)
4544ineq2d 3547 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
4645neeq1d 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
4746raleqbi1dv 2920 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  y  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
4847, 2elrab2 3114 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
4948, 25anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  J  /\  z  e.  J )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) ) )
50 an4 820 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( y  e. 
~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )
5149, 50bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  J  /\  z  e.  J )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )
52 inss1 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
53 elpwi 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5452, 53syl5ss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( y  i^i  z
)  C_  X )
5554ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
5655adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
578inex1 4428 . . . . . . . 8  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5857elpw 3861 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P X  <->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
5956, 58sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P X )
60 ssralv 3411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  y  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) ) )
6152, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )
62 inss2 3566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  z )  C_  z
63 ssralv 3411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z 
( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) )
6561, 64anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  -> 
( A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
66 r19.26 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  /\  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  <->  ( A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
6765, 66sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  (
y  i^i  z )
( ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
68 n0 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  <->  E. v 
v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
69 n0 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7068, 69anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  <->  ( E. v  v  e.  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )
71 eeanv 1932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v E. w ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
) )  <->  ( E. v  v  e.  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )
72 inss2 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) 
C_  ~P y
73 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
) )
7472, 73sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ~P y )
7574elpwid 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  C_  y
)
76 inss2 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) 
C_  ~P z
77 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
) )
7876, 77sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ~P z )
7978elpwid 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  C_  z
)
80 ss2in 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  C_  y  /\  w  C_  z )  -> 
( v  i^i  w
)  C_  ( y  i^i  z ) )
8175, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  C_  (
y  i^i  z )
)
82 sspwb 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  i^i  w ) 
C_  ( y  i^i  z )  <->  ~P (
v  i^i  w )  C_ 
~P ( y  i^i  z ) )
8381, 82sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ~P ( v  i^i  w )  C_  ~P ( y  i^i  z
) )
84 sslin 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P ( v  i^i  w
)  C_  ~P (
y  i^i  z )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w
) )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( v  i^i  w ) )  C_  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) ) )
86 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ph )
8755ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
88 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  x  e.  ( y  i^i  z ) )
8987, 88sseldd 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  x  e.  X
)
90 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) 
C_  ( F `  x )
9190, 73sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ( F `  x ) )
92 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) 
C_  ( F `  x )
9392, 77sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ( F `  x ) )
94 neibastop1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
9586, 89, 91, 93, 94syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( v  i^i  w ) )  =/=  (/) )
96 ssn0 3665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w
) )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w ) )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
9785, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
9897ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
9998exlimdvv 1691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( E. v E. w ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
10071, 99syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( E. v 
v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  E. w  w  e.  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
10170, 100syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
)  =/=  (/) ) )
102101ralimdva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
10367, 102syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  (
y  i^i  z )
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
104103impr 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
105 pweq 3858 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  ~P o  =  ~P (
y  i^i  z )
)
106105ineq2d 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) ) )
107106neeq1d 2616 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
108107raleqbi1dv 2920 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
109108, 2elrab2 3114 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  J  <->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P X  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
11059, 104, 109sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  J
)
11151, 110sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  z  e.  J ) )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  J )
112111ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z
)  e.  J )
113 neibastop1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
114 sspwuni 4251 . . . . . . . 8  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
1154, 114mpbi 208 . . . . . . 7  |-  U. J  C_  X
116115a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. J  C_  X
)
117113, 116ssexd 4434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
118 uniexb 6381 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  <->  U. J  e. 
_V )
119117, 118sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
120 istopg 18488 . . . 4  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
)  /\  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z )  e.  J
) ) )
121119, 120syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
)  /\  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z )  e.  J
) ) )
12243, 112, 121mpbir2and 913 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
123 pwidg 3868 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ~P X )
124113, 123syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ~P X
)
125 neibastop1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
126125ffvelrnda 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } ) )
127 eldifi 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } )  ->  ( F `  x )  e.  ~P ~P X )
128 elpwi 3864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ~P ~P X  ->  ( F `  x
)  C_  ~P X
)
129126, 127, 1283syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  C_ 
~P X )
130 df-ss 3337 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) 
C_  ~P X  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =  ( F `  x
) )
131129, 130sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =  ( F `
 x ) )
132 eldifsni 3996 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } )  ->  ( F `  x )  =/=  (/) )
133126, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =/=  (/) )
134131, 133eqnetrd 2621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =/=  (/) )
135134ralrimiva 2794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) )
136 pweq 3858 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  X  ->  ~P o  =  ~P X
)
137136ineq2d 3547 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  X  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P X ) )
138137neeq1d 2616 . . . . . . 7  |-  ( o  =  X  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) ) )
139138raleqbi1dv 2920 . . . . . 6  |-  ( o  =  X  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) ) )
140139, 2elrab2 3114 . . . . 5  |-  ( X  e.  J  <->  ( X  e.  ~P X  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =/=  (/) ) )
141124, 135, 140sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
142 elssuni 4116 . . . 4  |-  ( X  e.  J  ->  X  C_ 
U. J )
143141, 142syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  U. J )
144143, 116eqssd 3368 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
145 istopon 18510 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
146122, 144, 145sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   -->wf 5409   ` cfv 5413   Topctop 18478  TopOnctopon 18479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-top 18483  df-topon 18486
This theorem is referenced by:  neibastop2  28553  neibastop3  28554
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