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Theorem neibastop1 26278
Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
neibastop1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Distinct variable groups:    x, v, J    v, o, w, x, F    ph, o, v, w, x    o, X, v, w, x
Allowed substitution hints:    J( w, o)    V( x, w, v, o)

Proof of Theorem neibastop1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  y  C_  J )
2 neibastop1.4 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
3 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }  C_  ~P X
42, 3eqsstri 3338 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  ~P X
51, 4syl6ss 3320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  y  C_ 
~P X )
6 sspwuni 4136 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  C_  X )
8 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
98uniex 4664 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
109elpw 3765 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P X  <->  U. y  C_  X )
117, 10sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  ~P X )
12 eluni2 3979 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. y  <->  E. z  e.  y  x  e.  z )
13 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1413ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  z  C_  U. y )
15 sspwb 4373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  U. y  <->  ~P z  C_ 
~P U. y )
1614, 15sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ~P z  C_ 
~P U. y )
17 sslin 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P z  C_  ~P U. y  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P U. y
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y ) )
191sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  J )
2019adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
21 pweq 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  =  z  ->  ~P o  =  ~P z
)
2221ineq2d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
2322neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  z  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
2423raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  =  z  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
2524, 2elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  J  <->  ( z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) )
2625simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  J  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
2720, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
28 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
29 rsp 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  ->  (
x  e.  z  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
3027, 28, 29sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
31 ssn0 3620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P U. y
)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) )
3218, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) )
3332rexlimdvaa 2791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  ( E. z  e.  y  x  e.  z  ->  ( ( F `  x
)  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) ) )
3412, 33syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  (
x  e.  U. y  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
3534ralrimiv 2748 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  A. x  e.  U. y ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) )
36 pweq 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  U. y  ->  ~P o  =  ~P U. y )
3736ineq2d 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  U. y  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =  ( ( F `  x
)  i^i  ~P U. y
) )
3837neeq1d 2580 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  U. y  -> 
( ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) 
<->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
3938raleqbi1dv 2872 . . . . . . 7  |-  ( o  =  U. y  -> 
( A. x  e.  o  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  U. y ( ( F `
 x )  i^i 
~P U. y )  =/=  (/) ) )
4039, 2elrab2 3054 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  J  <->  ( U. y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  U. y ( ( F `
 x )  i^i 
~P U. y )  =/=  (/) ) )
4111, 35, 40sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  J )
4241ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
) )
4342alrimiv 1638 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y ( y 
C_  J  ->  U. y  e.  J ) )
44 pweq 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  y  ->  ~P o  =  ~P y
)
4544ineq2d 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
4645neeq1d 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
4746raleqbi1dv 2872 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  y  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
4847, 2elrab2 3054 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
4948, 25anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  J  /\  z  e.  J )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) ) )
50 an4 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( y  e. 
~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )
5149, 50bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  J  /\  z  e.  J )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )
52 inss1 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
53 elpwi 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5452, 53syl5ss 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( y  i^i  z
)  C_  X )
5554ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
5655adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
578inex1 4304 . . . . . . . 8  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5857elpw 3765 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P X  <->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
5956, 58sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P X )
60 ssralv 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  y  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) ) )
6152, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )
62 inss2 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  z )  C_  z
63 ssralv 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z 
( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) )
6561, 64anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  -> 
( A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
66 r19.26 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  /\  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  <->  ( A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
6765, 66sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  (
y  i^i  z )
( ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
68 n0 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  <->  E. v 
v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
69 n0 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7068, 69anbi12i 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  <->  ( E. v  v  e.  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )
71 eeanv 1933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v E. w ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
) )  <->  ( E. v  v  e.  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )
72 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) 
C_  ~P y
73 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
) )
7472, 73sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ~P y )
7574elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  C_  y
)
76 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) 
C_  ~P z
77 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
) )
7876, 77sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ~P z )
7978elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  C_  z
)
80 ss2in 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  C_  y  /\  w  C_  z )  -> 
( v  i^i  w
)  C_  ( y  i^i  z ) )
8175, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  C_  (
y  i^i  z )
)
82 sspwb 4373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  i^i  w ) 
C_  ( y  i^i  z )  <->  ~P (
v  i^i  w )  C_ 
~P ( y  i^i  z ) )
8381, 82sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ~P ( v  i^i  w )  C_  ~P ( y  i^i  z
) )
84 sslin 3527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P ( v  i^i  w
)  C_  ~P (
y  i^i  z )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w
) )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( v  i^i  w ) )  C_  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) ) )
86 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ph )
8755ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
88 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  x  e.  ( y  i^i  z ) )
8987, 88sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  x  e.  X
)
90 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) 
C_  ( F `  x )
9190, 73sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ( F `  x ) )
92 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) 
C_  ( F `  x )
9392, 77sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ( F `  x ) )
94 neibastop1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
9586, 89, 91, 93, 94syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( v  i^i  w ) )  =/=  (/) )
96 ssn0 3620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w
) )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w ) )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
9785, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
9897ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
9998exlimdvv 1644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( E. v E. w ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
10071, 99syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( E. v 
v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  E. w  w  e.  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
10170, 100syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
)  =/=  (/) ) )
102101ralimdva 2744 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
10367, 102syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  (
y  i^i  z )
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
104103impr 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
105 pweq 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  ~P o  =  ~P (
y  i^i  z )
)
106105ineq2d 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) ) )
107106neeq1d 2580 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
108107raleqbi1dv 2872 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
109108, 2elrab2 3054 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  J  <->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P X  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
11059, 104, 109sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  J
)
11151, 110sylan2b 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  z  e.  J ) )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  J )
112111ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z
)  e.  J )
113 neibastop1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
114 sspwuni 4136 . . . . . . . 8  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
1154, 114mpbi 200 . . . . . . 7  |-  U. J  C_  X
116115a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. J  C_  X
)
117113, 116ssexd 4310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
118 uniexb 4711 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  <->  U. J  e. 
_V )
119117, 118sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
120 istopg 16923 . . . 4  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
)  /\  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z )  e.  J
) ) )
121119, 120syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
)  /\  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z )  e.  J
) ) )
12243, 112, 121mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
123 pwidg 3771 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ~P X )
124113, 123syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ~P X
)
125 neibastop1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
126125ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } ) )
127 eldifi 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } )  ->  ( F `  x )  e.  ~P ~P X )
128 elpwi 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ~P ~P X  ->  ( F `  x
)  C_  ~P X
)
129126, 127, 1283syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  C_ 
~P X )
130 df-ss 3294 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) 
C_  ~P X  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =  ( F `  x
) )
131129, 130sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =  ( F `
 x ) )
132 eldifsni 3888 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } )  ->  ( F `  x )  =/=  (/) )
133126, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =/=  (/) )
134131, 133eqnetrd 2585 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =/=  (/) )
135134ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) )
136 pweq 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  X  ->  ~P o  =  ~P X
)
137136ineq2d 3502 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  X  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P X ) )
138137neeq1d 2580 . . . . . . 7  |-  ( o  =  X  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) ) )
139138raleqbi1dv 2872 . . . . . 6  |-  ( o  =  X  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) ) )
140139, 2elrab2 3054 . . . . 5  |-  ( X  e.  J  <->  ( X  e.  ~P X  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =/=  (/) ) )
141124, 135, 140sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
142 elssuni 4003 . . . 4  |-  ( X  e.  J  ->  X  C_ 
U. J )
143141, 142syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  U. J )
144143, 116eqssd 3325 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
145 istopon 16945 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
146122, 144, 145sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   -->wf 5409   ` cfv 5413   Topctop 16913  TopOnctopon 16914
This theorem is referenced by:  neibastop2  26280  neibastop3  26281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-top 16918  df-topon 16921
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