Theorem neibastop1 31086

Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }

Assertion

Ref	Expression
neibastop1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Distinct variable groups:   x, v, J   v, o, w, x, F   ph, o, v, w, x   o, X, v, w, x

Allowed substitution hints:   J( w, o)   V( x, w, v, o)

Proof of Theorem neibastop1

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> y C_ J )
2		neibastop1.4	. . . . . . . . . 10 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
3		ssrab2 3500	. . . . . . . . . 10 |- { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) } C_ ~P X
4	2, 3	eqsstri 3448	. . . . . . . . 9 |- J C_ ~P X
5	1, 4	syl6ss 3430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> y C_ ~P X )
6		sspwuni 4360	. . . . . . . 8 |- ( y C_ ~P X <-> U. y C_ X )
7	5, 6	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> U. y C_ X )
8		vex 3034	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9	8	uniex 6606	. . . . . . . 8 |- U. y e. _V
10	9	elpw 3948	. . . . . . 7 |- ( U. y e. ~P X <-> U. y C_ X )
11	7, 10	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> U. y e. ~P X )
12		eluni2 4194	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. y <-> E. z e. y x e. z )
13		elssuni 4219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
14	13	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> z C_ U. y )
15		sspwb 4649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ U. y <-> ~P z C_ ~P U. y )
16	14, 15	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ~P z C_ ~P U. y )
17		sslin 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P z C_ ~P U. y -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) )
19	1	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ z e. y ) -> z e. J )
20	19	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> z e. J )
21		pweq 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o = z -> ~P o = ~P z )
22	21	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
23	22	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = z -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = z -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
25	24, 2	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. J <-> ( z e. ~P X /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
26	25	simprbi 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. J -> A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
28		simprr 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> x e. z )
29		rsp 2773	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) -> ( x e. z -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
30	27, 28, 29	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
31		ssn0 3770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) )
32	18, 30, 31	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y C_ J ) /\ ( z e. y /\ x e. z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) )
33	32	rexlimdvaa 2872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> ( E. z e. y x e. z -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
34	12, 33	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> ( x e. U. y -> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
35	34	ralrimiv 2808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> A. x e. U. y ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) )
36		pweq 3945	. . . . . . . . . 10 |- ( o = U. y -> ~P o = ~P U. y )
37	36	ineq2d 3625	. . . . . . . . 9 |- ( o = U. y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) )
38	37	neeq1d 2702	. . . . . . . 8 |- ( o = U. y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
39	38	raleqbi1dv 2981	. . . . . . 7 |- ( o = U. y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. U. y ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
40	39, 2	elrab2 3186	. . . . . 6 |- ( U. y e. J <-> ( U. y e. ~P X /\ A. x e. U. y ( ( F ` x ) i^i ~P U. y ) =/= (/) ) )
41	11, 35, 40	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
42	41	ex 441	. . . 4 |- ( ph -> ( y C_ J -> U. y e. J ) )
43	42	alrimiv 1781	. . 3 |- ( ph -> A. y ( y C_ J -> U. y e. J ) )
44		pweq 3945	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = y -> ~P o = ~P y )
45	44	ineq2d 3625	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
46	45	neeq1d 2702	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
47	46	raleqbi1dv 2981	. . . . . . . 8 |- ( o = y -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
48	47, 2	elrab2 3186	. . . . . . 7 |- ( y e. J <-> ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
49	48, 25	anbi12i 711	. . . . . 6 |- ( ( y e. J /\ z e. J ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) /\ ( z e. ~P X /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) )
50		an4 840	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~P X /\ A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) /\ ( z e. ~P X /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) )
51	49, 50	bitri 257	. . . . 5 |- ( ( y e. J /\ z e. J ) <-> ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) )
52		inss1 3643	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i z ) C_ y
53		elpwi 3951	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
54	52, 53	syl5ss 3429	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> ( y i^i z ) C_ X )
55	54	ad2antrl 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) -> ( y i^i z ) C_ X )
56	55	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ X )
57	8	inex1 4537	. . . . . . . 8 |- ( y i^i z ) e. _V
58	57	elpw 3948	. . . . . . 7 |- ( ( y i^i z ) e. ~P X <-> ( y i^i z ) C_ X )
59	56, 58	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. ~P X )
60		ssralv 3479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i z ) C_ y -> ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) ) )
61	52, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) )
62		inss2 3644	. . . . . . . . . . 11 |- ( y i^i z ) C_ z
63		ssralv 3479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i z ) C_ z -> ( A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) )
65	61, 64	anim12i 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
66		r19.26 2904	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) <-> ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
67	65, 66	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) )
68		n0 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) <-> E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
69		n0 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) <-> E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
70	68, 69	anbi12i 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) <-> ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) )
71		eeanv 2093	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v E. w ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) <-> ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) )
72		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` x ) i^i ~P y ) C_ ~P y
73		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) )
74	72, 73	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v e. ~P y )
75	74	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v C_ y )
76		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ~P z
77		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) )
78	76, 77	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w e. ~P z )
79	78	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w C_ z )
80		ss2in 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v C_ y /\ w C_ z ) -> ( v i^i w ) C_ ( y i^i z ) )
81	75, 79, 80	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( v i^i w ) C_ ( y i^i z ) )
82		sspwb 4649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v i^i w ) C_ ( y i^i z ) <-> ~P ( v i^i w ) C_ ~P ( y i^i z ) )
83	81, 82	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ~P ( v i^i w ) C_ ~P ( y i^i z ) )
84		sslin 3649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P ( v i^i w ) C_ ~P ( y i^i z ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) )
86		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ph )
87	55	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ X )
88		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> x e. ( y i^i z ) )
89	87, 88	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> x e. X )
90		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) i^i ~P y ) C_ ( F ` x )
91	90, 73	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> v e. ( F ` x ) )
92		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) i^i ~P z ) C_ ( F ` x )
93	92, 77	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> w e. ( F ` x ) )
94		neibastop1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
95	86, 89, 91, 93, 94	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
96		ssn0 3770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) C_ ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) )
97	85, 95, 96	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) /\ ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) )
98	97	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
99	98	exlimdvv 1788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( E. v E. w ( v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
100	71, 99	syl5bir 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( ( E. v v e. ( ( F ` x ) i^i ~P y ) /\ E. w w e. ( ( F ` x ) i^i ~P z ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
101	70, 100	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) /\ x e. ( y i^i z ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
102	101	ralimdva 2805	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) -> ( A. x e. ( y i^i z ) ( ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
103	67, 102	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) ) -> ( ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
104	103	impr 631	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) )
105		pweq 3945	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( y i^i z ) -> ~P o = ~P ( y i^i z ) )
106	105	ineq2d 3625	. . . . . . . . 9 |- ( o = ( y i^i z ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) )
107	106	neeq1d 2702	. . . . . . . 8 |- ( o = ( y i^i z ) -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
108	107	raleqbi1dv 2981	. . . . . . 7 |- ( o = ( y i^i z ) -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
109	108, 2	elrab2 3186	. . . . . 6 |- ( ( y i^i z ) e. J <-> ( ( y i^i z ) e. ~P X /\ A. x e. ( y i^i z ) ( ( F ` x ) i^i ~P ( y i^i z ) ) =/= (/) ) )
110	59, 104, 109	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( y e. ~P X /\ z e. ~P X ) /\ ( A. x e. y ( ( F ` x ) i^i ~P y ) =/= (/) /\ A. x e. z ( ( F ` x ) i^i ~P z ) =/= (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. J )
111	51, 110	sylan2b 483	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ z e. J ) ) -> ( y i^i z ) e. J )
112	111	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( ph -> A. y e. J A. z e. J ( y i^i z ) e. J )
113		neibastop1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
114		sspwuni 4360	. . . . . . . 8 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
115	4, 114	mpbi 213	. . . . . . 7 |- U. J C_ X
116	115	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> U. J C_ X )
117	113, 116	ssexd 4543	. . . . 5 |- ( ph -> U. J e. _V )
118		uniexb 6620	. . . . 5 |- ( J e. _V <-> U. J e. _V )
119	117, 118	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
120		istopg 20002	. . . 4 |- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. y ( y C_ J -> U. y e. J ) /\ A. y e. J A. z e. J ( y i^i z ) e. J ) ) )
121	119, 120	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. y ( y C_ J -> U. y e. J ) /\ A. y e. J A. z e. J ( y i^i z ) e. J ) ) )
122	43, 112, 121	mpbir2and 936	. 2 |- ( ph -> J e. Top )
123		pwidg 3955	. . . . . 6 |- ( X e. V -> X e. ~P X )
124	113, 123	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ~P X )
125		neibastop1.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
126	125	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
127		eldifi 3544	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P ~P X \ { (/) } ) -> ( F ` x ) e. ~P ~P X )
128		elpwi 3951	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ~P ~P X -> ( F ` x ) C_ ~P X )
129	126, 127, 128	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) C_ ~P X )
130		df-ss 3404	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) C_ ~P X <-> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) = ( F ` x ) )
131	129, 130	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) = ( F ` x ) )
132		eldifsni 4089	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P ~P X \ { (/) } ) -> ( F ` x ) =/= (/) )
133	126, 132	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) =/= (/) )
134	131, 133	eqnetrd 2710	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) )
135	134	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) )
136		pweq 3945	. . . . . . . . 9 |- ( o = X -> ~P o = ~P X )
137	136	ineq2d 3625	. . . . . . . 8 |- ( o = X -> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) = ( ( F ` x ) i^i ~P X ) )
138	137	neeq1d 2702	. . . . . . 7 |- ( o = X -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) ) )
139	138	raleqbi1dv 2981	. . . . . 6 |- ( o = X -> ( A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) <-> A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) ) )
140	139, 2	elrab2 3186	. . . . 5 |- ( X e. J <-> ( X e. ~P X /\ A. x e. X ( ( F ` x ) i^i ~P X ) =/= (/) ) )
141	124, 135, 140	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ph -> X e. J )
142		elssuni 4219	. . . 4 |- ( X e. J -> X C_ U. J )
143	141, 142	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X C_ U. J )
144	143, 116	eqssd 3435	. 2 |- ( ph -> X = U. J )
145		istopon 20017	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
146	122, 144, 145	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   -->wf 5585   ` cfv 5589   Topctop 19994  TopOnctopon 19995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-top 19998  df-topon 20000

This theorem is referenced by:  neibastop2  31088  neibastop3  31089