Theorem negsubt 5382

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
negsubt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))

Proof of Theorem negsubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) + -uB))
2		opreq1 3968	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
3	1, 2	eqeq12d 1489	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A + -uB) = (A - B) <-> (if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) - B)))
4		negeq 5359	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> -uB = -uif(B e. CC, B, 0))
5	4	opreq2d 3976	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)))
6		opreq2 3969	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
7	5, 6	eqeq12d 1489	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) - B) <-> (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))))
8		0cn 5328	. . . 4 |- 0 e. CC
9	8	elimel 2394	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
10	8	elimel 2394	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
11	9, 10	negsub 5381	. 2 |- (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))
12	3, 7, 11	dedth2h 2387	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237   - cmin 5292  -ucneg 5293

This theorem is referenced by:  addsubasst 5383  subnegt 5394  subcan2t 5402  subcant 5412  resubclt 5438  negdi2t 5456  negsubdit 5457  negsubdi2t 5458  submul2t 5460  subsub2t 5461  subsub4t 5464  nnncan1t 5467  addsub4t 5473  mulsubt 5477  pnncant 5480  lesub1t 5660  lesub2t 5661  ltsub1t 5662  ltsub2t 5663  subge0t 5674  divsubdirtOLD 5775  zaddclt 6165  zsubclt 6168  zltp1let 6181  ceim1lt 6249  qsubclt 6272  icoshftf1oi 6409  fzsubelt 6501  seqzval2t 6553  resubt 6806  imsubt 6809  cjsubt 6816  recjt 6818  cjreimt 6828  cj11t 6830  absdifltt 6883  absdiflet 6884  fsumshftm 7032  climge0 7112  climsub 7130  clim2serzt 7134  clim2serz 7145  geolimilem 7235  efsubt 7371  efi4pt 7435  efmivalt 7448  sinsubt 7455  cossubt 7456  sincossqt 7461  demoivre 7484  vcsubdir 8175  cnnvm 8313  ipval2 8357  cnph 8478  ipasslem2 8491  ipsubdir 8508  shftefif1olem 8741  hvsubdistr2t 8917  his2subt 8958  lnfnsub 9975  mslb1 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain