Theorem negsub 6336

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4700	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) + -uB))
2		opreq1 4700	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
3	1, 2	eqeq12d 1736	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A + -uB) = (A - B) <-> (if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) - B)))
4		negeq 6310	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> -uB = -uif(B e. CC, B, 0))
5	4	opreq2d 4709	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)))
6		opreq2 4701	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
7	5, 6	eqeq12d 1736	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) - B) <-> (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))))
8		0cn 6277	. . . 4 |- 0 e. CC
9	8	elimel 2849	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
10	8	elimel 2849	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
11	9, 10	negsubi 6334	. 2 |- (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))
12	3, 7, 11	dedth2h 2839	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  ifcif 2806  (class class class)co 4695  CCcc 6180  0cc0 6182   + caddc 6185   - cmin 6241  -ucneg 6242

This theorem is referenced by:  addsubass 6337  subneg 6350  subcan2 6358  subcan 6368  resubcl 6397  negdi2 6417  negsubdi 6418  negsubdi2 6419  submul2 6421  subsub2 6422  subsub4 6425  nnncan1OLD 6429  addsub4 6436  mulsub 6440  pnncan 6443  lesub1 6645  lesub2 6646  ltsub1 6647  ltsub2 6648  subge0 6659  divsubdir 6747  zaddcl 7169  zsubcl 7172  zltp1le 7185  qsubcl 7247  ceim1l 7285  modcyc2 7312  icoshftf1oii 7373  fzsubel 7468  seqzval2 7591  resub 7851  imsub 7854  cjsub 7861  recj 7863  cjreim 7873  cj11OLD 7876  absdiflt 7930  absdifle 7931  fsumshftm 8087  climge0 8167  climsub 8185  clim2serz 8189  clim2serzi 8200  geolimilem 8292  efsub 8428  efi4p 8495  efmival 8508  sinsub 8515  cossub 8516  sincossq 8521  demoivre 8547  gxsuc 9190  gxadd 9193  gxsub 9194  gxmodid 9197  vcsubdir 9302  cnnvm 9440  ipval2 9491  cnph 9614  ipasslem2 9627  ipsubdir 9644  shftefif1olem 9890  hvsubdistr2 10341  his2sub 10383  lnfnsubi 11404  dvdssub 13482  modgcd 13530  mslb1 14717  mettrifi2 15530  iccbnd 15708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-sub 6307  df-neg 6309

Copyright terms: Public domain