MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Unicode version

Theorem negsub 9653
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9594 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6101 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9374 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9616 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1297 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9565 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6105 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2479 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278    + caddc 9281    - cmin 9591   -ucneg 9592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593  df-neg 9594
This theorem is referenced by:  negdi2  9663  negsubdi2  9664  resubcli  9667  resubcl  9669  negsubi  9682  negsubd  9721  submul2  9781  mulsub  9783  divsubdir  10023  elz2  10659  zsubcl  10683  qsubcl  10968  rexsub  11199  fzsubel  11490  ceim1l  11682  modcyc2  11740  expsub  11907  binom2sub  11979  seqshft  12570  resub  12612  imsub  12620  cjsub  12634  cjreim  12645  absdiflt  12801  absdifle  12802  abs2dif2  12817  subcn2  13068  efsub  13380  efi4p  13417  sinsub  13448  cossub  13449  demoivreALT  13481  dvdssub  13569  modgcd  13716  gzsubcl  13997  psgnunilem2  15994  cnfldsub  17803  itg1sub  21146  plyremlem  21729  sineq0  21942  logneg2  22023  ang180lem2  22165  asinsin  22246  atanneg  22261  atancj  22264  atanlogadd  22268  atanlogsublem  22269  atanlogsub  22270  2efiatan  22272  tanatan  22273  cosatan  22275  atans2  22285  dvatan  22289  wilthlem1  22365  wilthlem2  22366  basellem8  22384  lgsvalmod  22613  gxsuc  23694  gxadd  23697  gxsub  23698  vcsubdir  23869  cnnvm  24008  cncph  24154  hvsubdistr2  24387  lnfnsubi  25385  zetacvg  26931  subfacval2  27005  bpoly2  28129  bpoly3  28130  itg2addnclem3  28370  pellexlem6  29100  pell14qrdich  29135  rmxm1  29200  rmym1  29201  zlmodzxzequap  30882
  Copyright terms: Public domain W3C validator