MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Unicode version

Theorem negsub 9867
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9808 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6295 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9588 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9830 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1312 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9779 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6299 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2514 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    + caddc 9495    - cmin 9805   -ucneg 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  negdi2  9877  negsubdi2  9878  resubcli  9881  resubcl  9883  negsubi  9897  negsubd  9936  submul2  9997  mulsub  9999  divsubdir  10240  elz2  10881  zsubcl  10905  qsubcl  11201  rexsub  11432  fzsubel  11719  ceim1l  11942  modcyc2  12000  expsub  12181  binom2sub  12253  seqshft  12881  resub  12923  imsub  12931  cjsub  12945  cjreim  12956  absdiflt  13113  absdifle  13114  abs2dif2  13129  subcn2  13380  efsub  13696  efi4p  13733  sinsub  13764  cossub  13765  demoivreALT  13797  dvdssub  13885  modgcd  14033  gzsubcl  14317  psgnunilem2  16326  cnfldsub  18245  itg1sub  21879  plyremlem  22462  sineq0  22675  logneg2  22756  ang180lem2  22898  asinsin  22979  atanneg  22994  atancj  22997  atanlogadd  23001  atanlogsublem  23002  atanlogsub  23003  2efiatan  23005  tanatan  23006  cosatan  23008  atans2  23018  dvatan  23022  wilthlem1  23098  wilthlem2  23099  basellem8  23117  lgsvalmod  23346  gxsuc  24978  gxadd  24981  gxsub  24982  vcsubdir  25153  cnnvm  25292  cncph  25438  hvsubdistr2  25671  lnfnsubi  26669  zetacvg  28225  subfacval2  28299  bpoly2  29424  bpoly3  29425  itg2addnclem3  29673  pellexlem6  30402  pell14qrdich  30437  rmxm1  30502  rmym1  30503  itgsbtaddcnst  31328  fourierdlem101  31536  zlmodzxzequap  32199
  Copyright terms: Public domain W3C validator