MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Unicode version

Theorem negsub 9886
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9827 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6307 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9605 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9849 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1312 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9797 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2504 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    + caddc 9512    - cmin 9824   -ucneg 9825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827
This theorem is referenced by:  negdi2  9896  negsubdi2  9897  resubcli  9900  resubcl  9902  negsubi  9916  negsubd  9956  submul2  10018  mulsub  10020  divsubdir  10261  elz2  10902  zsubcl  10927  qsubcl  11226  rexsub  11457  fzsubel  11744  ceim1l  11976  modcyc2  12034  expsub  12215  binom2sub  12287  seqshft  12929  resub  12971  imsub  12979  cjsub  12993  cjreim  13004  absdiflt  13161  absdifle  13162  abs2dif2  13177  subcn2  13428  efsub  13846  efi4p  13883  sinsub  13914  cossub  13915  demoivreALT  13947  dvdssub  14037  modgcd  14185  gzsubcl  14469  psgnunilem2  16646  cnfldsub  18572  itg1sub  22241  plyremlem  22825  sineq0  23039  logneg2  23125  ang180lem2  23267  asinsin  23348  atanneg  23363  atancj  23366  atanlogadd  23370  atanlogsublem  23371  atanlogsub  23372  2efiatan  23374  tanatan  23375  cosatan  23377  atans2  23387  dvatan  23391  wilthlem1  23467  wilthlem2  23468  basellem8  23486  lgsvalmod  23715  gxsuc  25400  gxadd  25403  gxsub  25404  vcsubdir  25575  cnnvm  25714  cncph  25860  hvsubdistr2  26093  lnfnsubi  27091  zetacvg  28732  subfacval2  28806  bpoly2  29981  bpoly3  29982  itg2addnclem3  30230  pellexlem6  30932  pell14qrdich  30967  rmxm1  31032  rmym1  31033  zlmodzxzequap  33202
  Copyright terms: Public domain W3C validator