MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Unicode version

Theorem negsub 9657
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9598 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6102 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9378 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9620 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1302 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9569 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6106 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2481 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282    + caddc 9285    - cmin 9595   -ucneg 9596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423  df-sub 9597  df-neg 9598
This theorem is referenced by:  negdi2  9667  negsubdi2  9668  resubcli  9671  resubcl  9673  negsubi  9686  negsubd  9725  submul2  9785  mulsub  9787  divsubdir  10027  elz2  10663  zsubcl  10687  qsubcl  10972  rexsub  11203  fzsubel  11494  ceim1l  11686  modcyc2  11744  expsub  11911  binom2sub  11983  seqshft  12574  resub  12616  imsub  12624  cjsub  12638  cjreim  12649  absdiflt  12805  absdifle  12806  abs2dif2  12821  subcn2  13072  efsub  13384  efi4p  13421  sinsub  13452  cossub  13453  demoivreALT  13485  dvdssub  13573  modgcd  13720  gzsubcl  14001  psgnunilem2  16001  cnfldsub  17844  itg1sub  21187  plyremlem  21770  sineq0  21983  logneg2  22064  ang180lem2  22206  asinsin  22287  atanneg  22302  atancj  22305  atanlogadd  22309  atanlogsublem  22310  atanlogsub  22311  2efiatan  22313  tanatan  22314  cosatan  22316  atans2  22326  dvatan  22330  wilthlem1  22406  wilthlem2  22407  basellem8  22425  lgsvalmod  22654  gxsuc  23759  gxadd  23762  gxsub  23763  vcsubdir  23934  cnnvm  24073  cncph  24219  hvsubdistr2  24452  lnfnsubi  25450  zetacvg  27001  subfacval2  27075  bpoly2  28200  bpoly3  28201  itg2addnclem3  28445  pellexlem6  29175  pell14qrdich  29210  rmxm1  29275  rmym1  29276  zlmodzxzequap  31041
  Copyright terms: Public domain W3C validator