MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 8975
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 8920 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 5721 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 8711 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 8941 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1270 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 8892 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 5725 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2291 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617    + caddc 8620    - cmin 8917   -ucneg 8918
This theorem is referenced by:  negdi2  8985  negsubdi2  8986  resubcli  8989  resubcl  8991  negsubi  9004  negsubd  9043  submul2  9100  mulsub  9102  divsubdir  9336  elz2  9919  zsubcl  9940  qsubcl  10214  rexsub  10438  fzsubel  10705  ceim1l  10835  modcyc2  10878  expsub  11027  binom2sub  11098  seqshft  11457  resub  11489  imsub  11497  cjsub  11511  cjreim  11522  absdiflt  11678  absdifle  11679  abs2dif2  11694  subcn2  11945  efsub  12254  efi4p  12291  sinsub  12322  cossub  12323  demoivreALT  12355  dvdssub  12443  modgcd  12589  gzsubcl  12861  cnfldsub  16234  itg1sub  18896  plyremlem  19516  sineq0  19721  logneg2  19801  ang180lem2  19852  asinsin  20020  atanneg  20035  atancj  20038  atanlogadd  20042  atanlogsublem  20043  atanlogsub  20044  2efiatan  20046  tanatan  20047  cosatan  20049  atans2  20059  dvatan  20063  wilthlem1  20138  wilthlem2  20139  basellem8  20157  lgsvalmod  20386  gxsuc  20769  gxadd  20772  gxsub  20773  vcsubdir  20942  cnnvm  21081  cncph  21227  hvsubdistr2  21459  lnfnsubi  22456  zetacvg  22860  subfacval2  22889  bpoly2  23966  bpoly3  23967  mslb1  24773  pellexlem6  26085  pell14qrdich  26120  rmxm1  26185  rmym1  26186  psgnunilem2  26584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919  df-neg 8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator