MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Unicode version

Theorem negnegd 9927
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9874 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   CCcc 9493   -ucneg 9811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  10059  ltnegcon2  10060  lenegcon1  10062  lenegcon2  10063  infm3lem  10507  infmsup  10527  infmrcl  10528  zeo  10954  zindd  10970  negn0  11177  supminf  11178  zsupss  11180  max0sub  11404  xnegneg  11422  ceilid  11957  expneg  12153  expaddzlem  12188  expaddz  12189  cjcj  12952  cnpart  13052  sincossq  13788  bitsf1  13973  pcid  14273  4sqlem10  14342  mulgnegnn  16026  mulgsubcl  16030  mulgneg  16034  mulgz  16037  mulgass  16046  ghmmulg  16153  cyggeninv  16760  tgpmulg  20465  xrhmeo  21319  cphsqrtcl3  21507  iblneg  22082  itgneg  22083  ditgswap  22136  lhop2  22289  vieta1lem2  22579  ptolemy  22761  tanabsge  22771  tanord  22797  tanregt0  22798  lognegb  22846  logtayl  22913  logtayl2  22915  cxpmul2z  22944  isosctrlem2  23025  dcubic  23049  dquart  23056  atans2  23134  amgmlem  23191  basellem5  23230  basellem9  23234  lgsdir2lem4  23473  dchrisum0flblem1  23565  ostth3  23695  gxnn0neg  25137  ipasslem3  25620  lgamucov  28453  risefallfac  29121  ftc1anclem6  30070  rexzrexnn0  30712  acongsym  30889  acongneg2  30890  acongtr  30891  znnn0nn  31438  itgsin0pilem1  31638  itgsinexplem1  31642  itgsincmulx  31663  stoweidlem13  31684  fourierdlem39  31817  fourierdlem43  31821  fourierdlem44  31822  sigariz  31918  sigaradd  31921
  Copyright terms: Public domain W3C validator