MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Unicode version

Theorem negnegd 9910
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9858 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   CCcc 9479   -ucneg 9795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  10042  ltnegcon2  10043  lenegcon1  10045  lenegcon2  10046  infm3lem  10490  infmsup  10510  infmrcl  10511  zeo  10935  zindd  10951  negn0  11157  supminf  11158  zsupss  11160  max0sub  11384  xnegneg  11402  ceilid  11934  expneg  12130  expaddzlem  12164  expaddz  12165  cjcj  12923  cnpart  13023  sincossq  13761  bitsf1  13944  pcid  14244  4sqlem10  14313  mulgnegnn  15945  mulgsubcl  15949  mulgneg  15953  mulgz  15956  mulgass  15965  ghmmulg  16067  cyggeninv  16670  tgpmulg  20320  xrhmeo  21174  cphsqrcl3  21362  iblneg  21937  itgneg  21938  ditgswap  21991  lhop2  22144  vieta1lem2  22434  ptolemy  22615  tanabsge  22625  tanord  22651  tanregt0  22652  lognegb  22695  logtayl  22762  logtayl2  22764  cxpmul2z  22793  isosctrlem2  22874  dcubic  22898  dquart  22905  atans2  22983  amgmlem  23040  basellem5  23079  basellem9  23083  lgsdir2lem4  23322  dchrisum0flblem1  23414  ostth3  23544  gxnn0neg  24791  ipasslem3  25274  lgamucov  28070  risefallfac  28573  ftc1anclem6  29523  rexzrexnn0  30192  acongsym  30369  acongneg2  30370  acongtr  30371  znnn0nn  30885  itgsin0pilem1  31086  itgsinexplem1  31090  itgsincmulx  31111  stoweidlem13  31132  fourierdlem39  31265  fourierdlem43  31269  fourierdlem44  31270  sigariz  31366  sigaradd  31369
  Copyright terms: Public domain W3C validator