MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Unicode version

Theorem negnegd 9358
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9307 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   CCcc 8944   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9485  ltnegcon2  9486  lenegcon1  9488  lenegcon2  9489  infm3lem  9922  infmsup  9942  infmrcl  9943  zeo  10311  zindd  10327  negn0  10518  supminf  10519  zsupss  10521  max0sub  10738  xnegneg  10756  expneg  11344  expaddzlem  11378  expaddz  11379  cjcj  11900  cnpart  12000  sincossq  12732  bitsf1  12913  pcid  13201  4sqlem10  13270  mulgnegnn  14855  mulgsubcl  14859  mulgneg  14863  mulgz  14866  mulgass  14875  ghmmulg  14973  cyggeninv  15448  tgpmulg  18076  xrhmeo  18924  cphsqrcl3  19103  iblneg  19647  itgneg  19648  ditgswap  19699  lhop2  19852  vieta1lem2  20181  ptolemy  20357  tanabsge  20367  tanord  20393  tanregt0  20394  lognegb  20437  logtayl  20504  logtayl2  20506  cxpmul2z  20535  isosctrlem2  20616  dcubic  20639  dquart  20646  atans2  20724  amgmlem  20781  basellem5  20820  basellem9  20824  lgsdir2lem4  21063  dchrisum0flblem1  21155  ostth3  21285  gxnn0neg  21804  ipasslem3  22287  lgamucov  24775  risefallfac  25292  rexzrexnn0  26754  acongsym  26931  acongneg2  26932  acongtr  26933  itgsin0pilem1  27611  itgsinexplem1  27615  stoweidlem13  27629  sigariz  27720  sigaradd  27723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator