MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Unicode version

Theorem negnegd 9811
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9760 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   CCcc 9381   -ucneg 9697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-ltxr 9524  df-sub 9698  df-neg 9699
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9941  ltnegcon2  9942  lenegcon1  9944  lenegcon2  9945  infm3lem  10389  infmsup  10409  infmrcl  10410  zeo  10828  zindd  10844  negn0  11042  supminf  11043  zsupss  11045  max0sub  11267  xnegneg  11285  ceilid  11791  expneg  11974  expaddzlem  12008  expaddz  12009  cjcj  12731  cnpart  12831  sincossq  13562  bitsf1  13744  pcid  14041  4sqlem10  14110  mulgnegnn  15739  mulgsubcl  15743  mulgneg  15747  mulgz  15750  mulgass  15759  ghmmulg  15861  cyggeninv  16464  tgpmulg  19780  xrhmeo  20634  cphsqrcl3  20822  iblneg  21396  itgneg  21397  ditgswap  21450  lhop2  21603  vieta1lem2  21893  ptolemy  22074  tanabsge  22084  tanord  22110  tanregt0  22111  lognegb  22154  logtayl  22221  logtayl2  22223  cxpmul2z  22252  isosctrlem2  22333  dcubic  22357  dquart  22364  atans2  22442  amgmlem  22499  basellem5  22538  basellem9  22542  lgsdir2lem4  22781  dchrisum0flblem1  22873  ostth3  23003  gxnn0neg  23885  ipasslem3  24368  lgamucov  27158  risefallfac  27661  ftc1anclem6  28610  rexzrexnn0  29280  acongsym  29457  acongneg2  29458  acongtr  29459  itgsin0pilem1  29928  itgsinexplem1  29932  stoweidlem13  29946  sigariz  30037  sigaradd  30040
  Copyright terms: Public domain W3C validator