MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negneg Unicode version

Theorem negneg 9307
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negneg  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )

Proof of Theorem negneg
StepHypRef Expression
1 df-neg 9250 . . 3  |-  -u -u A  =  ( 0  - 
-u A )
2 0cn 9040 . . . 4  |-  0  e.  CC
3 subneg 9306 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0  -  -u A
)  =  ( 0  +  A ) )
42, 3mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  -  -u A
)  =  ( 0  +  A ) )
51, 4syl5eq 2448 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  ( 0  +  A ) )
6 addid2 9205 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
75, 6eqtrd 2436 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    + caddc 8949    - cmin 9247   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  neg11  9308  negcon1  9309  negreb  9322  negnegi  9326  negnegd  9358  mul2neg  9429  divneg2  9694  nnnegz  10241  znegclb  10270  expneg2  11345  shftcan2  11854  sqreulem  12118  sqreu  12119  dvdsnegb  12822  lognegb  20437  logcj  20454  argimgt0  20460  cxpsqr  20547  gxneg  21807  eldmgm  24759  fallrisefac  25293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator