Theorem negn0 13655

Description: The image under negation of a nonempty set of reals is nonempty. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
negn0	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/))

Distinct variable group:   z,A

Proof of Theorem negn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
2		renegcl 6600	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
3		negeq 6514	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = -ux -> -uz = -u-ux)
4	3	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (z = -ux -> (-uz e. A <-> -u-ux e. A))
5	4	elrab3 2415	. . . . . . . . . 10 |- (-ux e. RR -> (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -u-ux e. A))
6	2, 5	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -u-ux e. A))
7		recn 6466	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. CC)
8		negneg 6553	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CC -> -u-ux = x)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> -u-ux = x)
10	9	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (-u-ux e. A <-> x e. A))
11	6, 10	bitrd 587	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} <-> x e. A))
12	11	biimprd 171	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (x e. A -> -ux e. {z e. RR | -uz e. A}))
13	1, 12	syli 65	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> (x e. A -> -ux e. {z e. RR | -uz e. A}))
14		negex 6522	. . . . . . 7 |- -ux e. _V
15		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (y = -ux -> (y e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -ux e. {z e. RR | -uz e. A}))
16	14, 15	cla4ev 2371	. . . . . 6 |- (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} -> E.y y e. {z e. RR | -uz e. A})
17	13, 16	syl6 25	. . . . 5 |- (A C_ RR -> (x e. A -> E.y y e. {z e. RR | -uz e. A}))
18		n0 2884	. . . . 5 |- ({z e. RR | -uz e. A} =/= (/) <-> E.y y e. {z e. RR | -uz e. A})
19	17, 18	syl6ibr 230	. . . 4 |- (A C_ RR -> (x e. A -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/)))
20	19	19.23adv 1584	. . 3 |- (A C_ RR -> (E.x x e. A -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/)))
21		n0 2884	. . 3 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
22	20, 21	syl5ib 223	. 2 |- (A C_ RR -> (A =/= (/) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/)))
23	22	imp 377	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875  CCcc 6384  RRcr 6385  -ucneg 6446

This theorem is referenced by:  supminf 13656  suprzcl 13658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513

Copyright terms: Public domain