MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negmod0 Structured version   Unicode version

Theorem negmod0 12106
Description:  A is divisible by  B iff its negative is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
negmod0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  B )  =  0  <->  ( -u A  mod  B )  =  0 ) )

Proof of Theorem negmod0
StepHypRef Expression
1 rerpdivcl 11332 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
2 recn 9631 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
3 znegclb 10976 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  (
( A  /  B
)  e.  ZZ  <->  -u ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  e.  ZZ  <->  -u ( A  /  B
)  e.  ZZ ) )
5 recn 9631 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
65adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
7 rpcn 11312 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
87adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
9 rpne0 11319 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  =/=  0 )
109adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  =/=  0 )
116, 8, 10divnegd 10398 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -u ( A  /  B
)  =  ( -u A  /  B ) )
1211eleq1d 2492 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( -u ( A  /  B )  e.  ZZ  <->  (
-u A  /  B
)  e.  ZZ ) )
134, 12bitrd 257 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  e.  ZZ  <->  (
-u A  /  B
)  e.  ZZ ) )
14 mod0 12104 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  B )  =  0  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
15 renegcl 9939 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
16 mod0 12104 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( -u A  mod  B )  =  0  <-> 
( -u A  /  B
)  e.  ZZ ) )
1715, 16sylan 474 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( -u A  mod  B )  =  0  <-> 
( -u A  /  B
)  e.  ZZ ) )
1813, 14, 173bitr4d 289 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  B )  =  0  <->  ( -u A  mod  B )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   -ucneg 9863    / cdiv 10271   ZZcz 10939   RR+crp 11304    mod cmo 12097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fl 12029  df-mod 12098
This theorem is referenced by:  absmod0  13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator